Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Современные алгоритмы оптимизации автоматизированных производств. Учебное пособие.pdf
или хромосомой, а набор всех пробных решений – популяцией. Как извест-
№
1 2 010
−0,33
2 3 011
7,25
3 5 101
7,92
4 4 100
10,33
но, принцип естественного отбора заключается в том, что в конкурентной
борьбе выживает наиболее приспособленный. В данном случае приспособленность особи определяется целевой функцией: чем меньше значение целевой функции, тем более приспособленной является особь. Исходная популяция представлена в табл. 4.1.
Таблица 4.1
Исходная популяция
Целое число Двоичное число Приспособленность
особи
Далее приступают к процессу размножения (селекции): на основе исходной популяции создают новую, чтобы пробные решения в новой популяции были ближе к искомому глобальному минимуму целевой функции.
Для этого из исходной популяции формируются пары для скрещивания.
Поставим в соответствие каждой особи исходной популяции случайное целое число из диапазона от 1 до 4. Будем рассматривать эти числа
как номера членов популяции. При таком выборе какие-то из членов популяции не будут участвовать в процессе размножения, так как образуют
пару сами с собой. Какие-то члены популяции примут участие в процессе
размножения неоднократно с различными особями популяции. Процесс
размножения заключается в обмене участками хромосом между родителями.
Для данной популяции процесс создания первого поколения потомков
представлен в табл. 4.2.
71
Результаты селекции
№ члена
Особи
Результат
№ члена
Особи
Результат
0|10
10|1
1|00
10|0 2 0|11
10|0
0|10
10|1
№
Приспособленность
1
000
0,1 3 001
5
−5,42
2
010
0,6 – 010
–0,33
–0,33
3
100
0,5 – 100
10,33
10,33
4
101
0,2 2 111
7,92
12,58
Таблица 4.2
популяции
1
родители
селекции
000 3
010 4
популяции
родители
селекции
100
101
Следующим шагом в работе генетического алгоритма являются мута-
ции, т. е. случайные изменения полученных в результате скрещивания
хромосом. Пусть вероятность мутации равна 0,3. Для каждого потомка
возьмем случайное число на отрезке [0; 1], и если это число меньше 0,3, то
инвертируем случайно выбранный ген (табл. 4.3).
Таблица 4.3
Мутация потомков
потом-
ка
Потомки Число
Выбранный
ген
После
мутации
до после
Как видно, мутации способны улучшить (первый потомок) или ухуд-
шить (четвертый потомок) приспособленность особи-потомка.
Теперь из четырех особей-родителей и четырех полученных особей-
потомков необходимо сформировать новую популяцию. В новую популяцию отберем четыре наиболее приспособленных особи из числа «старых»
особей и особей-потомков (табл. 4.4).
72
Формирование новой популяции из особей-родителей
№
Начальная
Приспособлен-
Новая
Приспособлен-
1
010
−0,33
001
−5,42
2
011
7,25
010
−0,33
3
101
7,92
011
7,25
4
100
10,33
101
7,92
и особей-потомков*
Таблица 4.4
особи
популяция
ность
популяция
ность
*Подчеркнуты в табл. 4.3 и в первой колонке данной таблицы.
В результате появилось новое поколение (рис. 4.6). Получившуюся популяцию можно вновь подвергнуть кроссоверу, мутации и отбору особей
в новое поколение. Значение приспособленности наиболее «хорошей» особи
(или средняя приспособленность по популяции) и будет являться решением
задачи. Следуя этому, в данном случае, взяв наиболее приспособленную
особь «001» во втором поколении, говорим, что минимумом целевой функции является значение –5,42, соответствующее аргументу x = 1.
Рис. 4.6. Особи новой популяции на графике функции
73
В заключение скажем, что генетические алгоритмы являются универ-
сальным методом оптимизации многопараметрических функций, что позволяет решать широкий спектр задач, а также они имеют множество модификаций и сильно зависят от параметров. Зачастую небольшое изменение одного из них может привести к неожиданному улучшению результата. Но следует помнить, что применение генетических алгоритмов полезно лишь в тех случаях, когда для данной задачи нет подходящего специального алгоритма решения.
4.3. МУРАВЬИНЫЕ АЛГОРИТМЫ
Одной из достаточно сложных задач является соединение объектов
различного назначения коммуникационными сетями наименьшей протяженности. К таким задачам можно отнести проводку коммуникационных
трасс в микросхемах, соединение микросхем на платах, разводку проводов
в шкафах управления и производственных помещениях. Весьма актуальна
эта проблема при проектировании траекторий трубных и кабельных сетей
промышленных предприятий, а также магистральных трубопроводов.
Одним из методов решения этих проблем является использование модели поведения муравьиной колонии, ищущей такой маршрут от колонии
к источнику питания, который бы был минимальным по протяженности
с учетом обхода возникающих на пути препятствий. В роли препятствий
при решении технических задач могут выступать те или иные функциональные элементы: микросхемы на платах, различные модули в шкафах
управления, те или иные здания или сооружения промышленных предприятий.
Муравьиный алгоритм представляет собой один из методов метаэвристической оптимизации.
В реальном мире муравьи первоначально ходят в произвольном порядке в поисках источника питания (рис. 4.7).
74
1 2 3
Рис. 4.7. Предпочтения муравьев:
1 – стохастическое поведение одного муравья; 2 – стохастическое движение
муравьиной колонии; 3 – сложившийся оптимальный путь
При нахождении продовольствия муравей возвращается обратно
в колонию, оставляя при этом на своем пути феромонный след. Феромон –
летучее вещество, которое муравей оставляет на своем пути как след.
Он воспринимается при перемещении другими муравьями, и чем выше
концентрация феромона на определенной тропе, тем выше привлекательность этой тропы для других муравьев колонии. Каждый муравей колонии
оставляет за собой феромон и укрепляет более короткий путь. С течением
времени феромон на тропе имеет свойство испаряться, следовательно, чем
больше времени муравей потратит на прохождение пути от цели и обратно, тем сильнее испарится феромон. Таким образом, на более коротких
участках плотность феромона будет выше, так как прохождение осуществляется за более короткое время и, как следствие, становится более
частым.
75
Основу «социального» поведения муравьев составляет самоорганиза-
ция – множество динамических механизмов, обеспечивающих достижение
системой глобальной цели в результате низкоуровневого взаимодействия
ее элементов. Самоорганизация является результатом взаимодействия
следующих четырех компонентов:
1) случайность. Когда в пространстве появляются феромонные следы,
случайная природа муравьев позволяет с какой-то вероятностью не пойти
по обогащенной феромоном тропе, а выбрать иную;
2) многократность. Для выбора оптимального пути понадобится не
один десяток муравьев. Необходимо использовать множество попыток,
чтобы исключить «лишние» тропы в пользу оптимальной (кратчайшей);
3) положительная обратная связь, также называемая стигмержи (stigmer-
gy). Стигмержи – это разнесенный во времени тип взаимодействия, когда
один субъект взаимодействия изменяет некоторую часть окружающей среды, а остальные используют информацию об ее состоянии позже, когда
находятся в ее окрестности. Таким образом, стигмержи осуществляется посредством взаимодействия муравьев с феромонами пространства;
4) отрицательная обратная связь. Испарение феромонов на клетках
с течением времени позволяет адаптировать свое поведение под изменение окружающей среды. Моделирование испарения феромона даст возможность муравьям искать другие пути и позволит убедиться, что
найденное локальное оптимальное решение будет не единственным.
Рассмотрим возможность реализации основ муравьиного алгоритма
при решении задачи поиска оптимальной кабельной трассы между объектами при наличии препятствий.
Имеется плоское дискретное рабочее поле, на которое нанесены пря-
моугольники, представляющие собой производственные здания и сооружения и являющиеся препятствиями для прокладки трасс между теми или
иными объектами. С рабочим полем связана двухмерная декартова систе-
76
ма координат. Муравьи перемещаются на плоскости, изменяя по соответ-
β
α
,,
,
β
α
τη
,,
1
ij ij
P
m
ij
ij ij
i
τη
⋅
=
⋅
∑
=
22
( )( )xx yy
jj
ff
− −−
ствующим правилам свои координаты относительно осей.
Важную роль играет правило вероятности перехода муравья из точки i
с координатами [xi, yi] в точку j с координатами [xj, yj]:
, (4.1)
где τ
– количество феромона между клетками i и j (на ребре i–j);
i,j
α – регулируемый параметр, контролирующий влияние феромона на
вероятность выбора клетки;
η – привлекательность клетки, величина, обратная евклидову рассто-
янию между клеткой j и финишной f, т. е.
η = 1/
;
β – регулируемый параметр, контролирующий влияние привлекатель-
ности на вероятность выбора клетки;
m – количество возможных для перемещения клеток от j клетки до
финишной.
Ключевым фактом является то, что по правилу (4.1) определяется
лишь вероятность выбора той или иной клетки. Тогда как сам выбор точки
осуществляется по принципу «колеса рулетки»: вероятность перехода на
каждую клетку имеет величину сектора, пропорциональную вероятности,
определенной по формуле (4.1). Для выбора необходимо сгенерировать
случайное число и определить, в какой сектор попадает полученное число.
77
При перемещении по маршруту муравей откладывает на каждой клетке
τ,
,Qij
L
∆=
τ (1 ρ) τ τ ,
, ,,ij ij ij
= − ⋅ +∆
своего пути количество феромона Δτ
, рассчитываемое по формуле
i,j
(4.2)
где Q – регулируемый параметр, определяющий концентрацию нанесения
феромона;
L – показатель качества, длина пути в клетках от начальной клетки до
конечной.
Обновление феромона на всем клеточном пространстве происходит
по формуле
(4.3)
где ρ – регулируемый параметр, контролирующий скорость испарения фе-
ромона (ρ [0…1]).
Построение пути завершается в случае, если конечная точка достиг-
нута или больше не остается возможных клеток для перехода. Завершение
самого алгоритма происходит, если L не изменяется на протяжении определенного количества итераций.
Поясним принцип муравьиного алгоритма на примере прокладки
маршрута от синей клетки с координатами: x = 0; y = 4 до красной клетки
с координатами x = 9; y = 8 (рис. 4.8). Здания, представляющие препятствия на пути муравья, отмечены черным цветом. Их координаты известны при инициализации задачи, и эти клетки не будут учитываться муравьем при построении пути. На рис. 4.8 показано рабочее пространство
и начальное количество феромона на клетках.
Для исходной точки определим множество возможных переходов. Это
точки с координатами x = 0; y = 5 и x = 1; y = 4. Клетка с координатами x = 0;
y = 3 не входит в множество, так как является частью здания, куда входит
начальная точка.
78
а б
1 2 21
1 / ( (0 9) (5 8) )
0,485;
[0,4] [0,5]
1 2 21 1 2 21
1 / ( (0 9) (5 8) ) 1 / ( (1 9) (4 8) )
1 2 21
1 / ( (1 9) (4 8) )
0,515.
[0,4] [1,4]
1 2 21 1 2 21
1 / ( (0 9) (5 8) ) 1 / ( (1 9) (4 8) )
P
P
− +−
= =
−
−+− + −+−
− +−
= =
−
−+− + −+−
Рис. 4.8. Дискретное рабочее поле:
а – исходное рабочее пространство; б – начальный уровень феромона
на клетках рабочего пространства
По формуле (4.1) находим вероятности перехода в каждую из клеток
(пусть α = 1, β = 1).
Определяем следующую клетку с использованием «колеса рулетки».
«Рулетка» имеет два сектора с размерами 0.485 и 0.515 (рис. 4.9). Генерируем случайное число для выбора: 0.67. Выбрана клетка: x = 1; y = 4. Происходит переход в следующую клетку. Далее проделываем ту же процедуру выбора клетки, пока это возможно (до выполнения условия завершения пути).
79
Рис. 4.9. Вероятность перехода между клетками
,
1
τ
12
ij
∆=
,
1
τ (1 0,5) 1 0,58.
12
ij
= − ⋅+ =
,
τ 0:
ij
∆=
,
τ (1 0,5) 1 0,5.
ij
= − ⋅=
Определяем длину пути маршрута и сохраняем ее. В последующих
итерациях будет сравниваться текущая длина пути с лучшей и при необходимости перезаписываться. В нашем случае L = 12.
Для клеток, входящих в путь первого муравья, по формуле (4.2) вы-
числим количество откладываемого феромона. Пусть Q = 1.
.
И, наконец, происходит обновление феромона на всех клетках по
формуле (4.3). Пусть ρ = 0.5. Для клеток, входящих в путь муравья:
Для клеток, не входящих в путь муравья,
На рис. 4.10, а представлено рабочее пространство после прохода
первого муравья (путь первого муравья отмечен желтым цветом), а также
обновленное значение феромонов на клетках пространства (у клеток, не
входящих в путь первого муравья, феромон испарился, а на клетках, составляющих путь муравья, добавилось значение Δτ
80
) (рис. 4.10, б).
i,j