Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Современные алгоритмы оптимизации автоматизированных производств. Учебное пособие.pdf
Ветвление:
= 11 max;
= 11 max;
10 – 40;
10 – 40;
+ 20,5;
+ 20,5;
5;
6;
0;
0;
0;
0.
Проведя прямые = 5
= 6, получим окончательное решение.
Оно заключается в том, что необходимо найти точки пересечения (точку
входа в допустимую область) прямых:
Отсюда
= 10.
10
= 40;
= 5.
Тогда окончательно:
= 11 = 55 10 = 45,
что заметно больше (на 12,5 %), чем при простом округлении значения
параметра
.
2.2. НЕЛИНЕЙНОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
2.2.1. Однопараметрические целевые функции
Для пояснения сути методов нелинейного математического програм-
мирования решим простую оптимизационную задачу.
Пусть предприятие для хранения технологических продуктов произ-
водит емкости из металлических листов квадратной формы различных
31
размеров. В соответствии с принятой технологией изготовления для этого
надо вырезать в каждом углу квадрата малые квадраты со стороной ,
а затем подогнуть оставшиеся части большого квадрата (рис. 2.5).
Рис. 2.5. Квадрат со стороной
Понятно, что полезный объем емкости зависит от размера Х, являю-
щегося в данном случае свободным параметром синтеза. Требуется найти
такое значение параметра Х, при котором емкость имела бы максимально
возможный объем.
Получим аналитическое выражение (математическую модель) для
расчета объема емкости:
1) площадь основания емкости (2)
;
2) высота емкости ;
3) объем емкости
() = (2)
. (2.7)
Заметим, что полином (2.7) является полиномом 3-й степени и имеет
два экстремума (рис. 2.6).
32
Рис. 2.6. График функции (2.7). Полином 3-й степени
В этом простейшем случае точки экстремумов (кандидатов на точки,
доставляющие максимум) легко найти аналитически как корни первой
производной выражения (2.7), приравненной к нулю.
Продифференцируем зависимость (2.7)
()
(
=
2
и приравняем результат к нулю
(
2
)
4(2)= 128+
Найдем два корня и
8 64 4 12
=
24
8+ 64 4 12
=
24
)
4(2
)
последнего уравнения:
8 16
=
24
8+ 16
=
24
= 0.
= 0,1667 ;
= 0,5 .
33
Отступив далее от строго математического подхода нахождения максимального возможного объема емкости (переход ко 2-й производной и т. д.),
из физических соображений и по рис 2.6 (на рисунке в целях наглядности
принято = 100 мм) можем утверждать, что максимальный объем емкости
будет соответствовать корню Х*, а при Х** он будет равен нулю.
Подставив найденное значение корня Х
*
при = 100 мм в целевую
(критериальную) функцию (2.7), получим максимально возможный при
заданном размере металлического листа объем:
() = (2
)
= 16, 667 (100 2 16, 667)= 74074,07
.
Приведенный выше пример иллюстрирует метод безусловной оптимизации, когда на свободные параметры не накладывается каких-либо
ограничений, дополнительных условий проектирования объектов или
процессов.
При разработке технических проектов свободные параметры синтеза
могут принимать значения в определенном диапазоне. К ним предъявляется ряд требований в виде равенств или неравенств, ограничивающих область возможных значений свободных параметров.
В случае, когда ограничения заданы в виде равенств, эти равенства
можно ввести в аналитическую запись целевой функции и далее проводить оптимизацию как безусловную.
Наиболее общим случаем является запись дополнительных условий
синтеза в форме неравенств, которые и определяют область
допусти-
мых значений свободных параметров (рис. 2.7).
Дополнительные условия могут быть выражены как линейными, так
и нелинейными зависимостями.
В данном простейшем случае из физических и геометрических (по
рис. 2.6) соображений можно легко установить и выполнить ограничения
на свободный параметр синтеза . В нашем случае параметр может меняться в диапазоне 0 50 .
34
Математические модели технических объектов, как правило, являют-
ся достаточно сложными. Во многих случаях, особенно при большом числе параметров, аналитическое решение таких задач весьма затруднено или
в принципе невозможно, поэтому приходится использовать численные методы поиска оптимума целевой (критериальной) функции.
Рис. 2.7. Пример допустимой области свободных параметров
При численном автоматизированном поиске значений свободных параметров, доставляющих в зависимости от постановки задачи максимум
или минимум критериальной функции, необходимо обеспечивать автоматическое выполнение ограничений на эти параметры.
Для этого вводят понятие функции штрафа, принимающей нулевое
значение при выполнении ограничений (дополнительных условий синтеза), а при невыполнении – некоторое положительное значение, возрастающее по мере удаления значения свободного параметра синтеза от допустимой области.
35
В частности, в данном примере можно воспользоваться следующими
функциями штрафа:
0, 0,
()
=
, 0;
0, 50,
()
=
(50), 50.
(2.8)
Следует заметить, что функции штрафа в недопустимой области
можно придавать любой вид с учетом того, чтобы, во-первых, ее значение
возрастало по мере удаления значения параметра от допустимой области,
а во-вторых, было положительным. В связи с этим приведенным выше зависимостям придана квадратичная форма.
Для автоматического учета дополнительных условий проектирования
их достаточно часто включают в целевую функцию в виде функций штрафа (2.8) так, что вычислительный процесс вначале обеспечивает вход
в допустимую область значений свободных параметров, а затем уже в допустимой области происходит минимизация целевой функции.
В рассмотренном примере оптимизационная задача заключалась
в поиске максимума целевой функции. Методы нелинейного математического программирования в целях определенности ориентированы на минимизацию целевых функций. Поэтому задачи поиска максимума обычно
сводятся к задачам нахождения минимума.
Покажем на рассматриваемом примере, как можно свести задачи максимизации к задаче минимизации. Для этого достаточно ввести число, заведомо большее предполагаемого максимума функции, и вычесть из него
исследуемую функцию. После этого найти значение параметра новой
функции 1(
)
(рис. 2.8), доставляющее минимум этой функции, которое
затем следует подставить в исходную критериальную функцию (2.7) для
расчета ее оптимального значения
36
(
)
.
1(
)
= 10
Рис. 2.8. Преобразование целевой функции (2.7)
В итоге целевую функцию (1.4), пригодную в рассматриваемом при-
мере для численного поиска в автоматическом режиме значения парамет-
ра , доставляющего максимум целевой функции (2.7), можно записать
в следующем виде:
() = 1()+
()
+
()
.
Существуют различные методы перехода от задач максимизации к за-
дачам минимизации. Укажем еще один из них, в котором исходная целе-
вая функция (
)
заменяется на некоторую условную
1() = 1/(1 + (
)
).
Здесь единица в знаменателе проставлена на случай, если целевая
функция (
)
примет нулевое значение.
Этот пример еще раз подтверждает тезис о том, что критериальные
и целевые функции являются достаточно условными аналитическими кон-
37
струкциями, главное требование к которым – обеспечить адекватное представительство исходных функций.
Таким образом, целевая функция () представляет собой линейную
комбинацию критериальной и штрафной функций.
Поскольку целевая функция (2.7) является унимодальной (имеет один
экстремум на допустимом интервале), то для поиска ее оптимального значения вполне можно использовать какой-либо из методов нелинейного
математического программирования.
Следует еще раз подчеркнуть, что в ходе поиска минимума целевой
функции вычислительный процесс вначале выйдет из недопустимой обла-
сти (при этом функция штрафа примет нулевое значение (
)
= 0), а за-
тем поиск будет происходить в направлении минимума критериальной
функции (
)
.
Известно несколько методов однопараметрической оптимизации.
Наибольшее распространение получили: метод равномерного деления,
метод дихотомии (метод деления интервала неопределенности пополам),
метод золотого сечения, градиентный метод и другие. Эти методы были
предложены достаточно давно, однако они с успехом применяются и при
решении современных инженерных задач.
Здесь же отметим, что методы однопараметрического поиска часто
используются как инструмент в алгоритмах многопараметрической оптимизации технических решений.
1. Метод деления интервала неопределенности пополам (метод ди-
хотомии). В этом методе испытания (пробы, вычисления) критериальной
функции на каждом шаге итерации проводятся в окрестности середины Xi
очередного интервала неопределенности, точнее в двух точках и
,
смещенных от середины отрезка на величину влево и вправо (рис. 2.9),
т. е. в точках = = + . Здесь i – номер итерации.
38
Рис. 2.9. Первый шаг итерации методом дихотомии
при (
)
< (
)
Очередной интервал неопределенности выбирается в зависимости
от соотношения значений функции в точках и
.
Алгоритм вычислений методом дихотомии
1. Выбираем интервал исследования унимодальной функции от а0 до
b
и задаемся величиной (, где – требуемая точность решения).
0
2. Рассчитываем абсциссу середины этого интервала:
+
=
.
2
3. Рассчитываем координаты точек, смещенных влево и вправо на
(первая итерация):
= ;
= + .
4. Рассчитываем значения функции Y в точках
(
)
(
).
39
и
:
5. Сравниваем значения (
)
(
).
6. Производим переобозначения границ интервала неопределенности,
т. е. переходим к следующему шагу итерации:
если (
)
< (
), то выполняем присваивание:
= ; =
,
иначе
= ; =
.
Таким образом, очередным интервалом неопределенности является
либо левая половина графика (при (
(при (
)
> (
)). Пусть в нашем примере (
)
< (
)), либо правая
)
< (
(рис. 2.9)
= ; =
.
), тогда
7. Производим расчет величины текущего интервала неопределенно-
сти
:
=
.
На очередном интервале неопределенности выполняем все действия
пунктов алгоритма, начиная со 2-го, а именно:
.
= + .
= ;
X
1
=
8. Рассчитываем значения (
) (
9. Выполняем сравнение значений (
)
в новых точках.
)
(
).
40