Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Современные алгоритмы оптимизации автоматизированных производств. Учебное пособие.pdf
4. Овражные методы поиска локальных минимумов. В некоторых
случаях целевая функция имеет так называемые овраги, когда по какомуто направлению она изменяется существенно медленнее, чем по другим.
В качестве примера такой овражной функции часто приводят функцию
Розенброка, предложенную им в 1960 г. в качестве тестовой:
(,
)
= 100(
)
+ (1
)
.
Эта функция (рис. 2.17) имеет минимум в точке = 1;
= 1, рав-
ный 0. Она часто используется для отработки и сопоставления по эффективности многих методов оптимизации, особенно предназначенных для
поисков в условиях овражных рельефов функции.
Рис. 2.17. Функция Розенброка
Следует заметить, что обычные методы нелинейного математического
программирования (метод Гаусса – Зейделя, градиентный метод и др.) сравнительно плохо работают в условиях овражного характера функции цели.
51
Существует достаточно большое число методов для движения по дну
оврага. Суть всех методов сводится к тому, что из двух различных начальных точек осуществляется движение до положения, близкого к дну оврага.
Эти две точки дают направление движения по дну оврага (рис. 2.18).
Рис. 2.18. Траектория поиска в случае овражного рельефа функции
По этому направлению движение происходит до тех пор, пока функция не достигнет некоторого большего значения. Из полученной точки
вновь происходит движение ко дну оврага. Новая и предыдущая точки
дают скорректированное движение в направлении оврага.
Для поиска локального минимума многопараметрических функций
разработано большое число методов, эффективность которых различна
и зависит от рельефа целевой функции.
Назовем некоторые из них:
− метод наискорейшего спуска;
− метод сопряженных градиентов;
− симплекс метод;
− метод Хука – Дживса и др.
52
В заключение этой главы приведем пример рельефа (рис. 2.19, а) и ли-
zvv
ний уровня (рис. 2.19, б) некоторой двухпараметрической целевой функции,
представляющей собой сумму критериальной и штрафной функций.
а
б
Рис. 2.19. Рельеф (а) и линии уровня (б)
некоторой двухпараметрической целевой функции
Большие значения целевой функции в центральной части рисунка со-
ответствуют значениям функции штрафа из-за невыполнения дополнительных условий проектирования. По мере удаления от центральной части
53
значение штрафной функция уменьшается до нуля, что соответствует границе допустимой области свободных параметров.
Увеличение целевой функции на периферии рисунка вызвано ростом
критериальной функции. Таким образом, оптимальное (минимальное) значение целевой функции будет находиться на границе, соответствующей нулевым значениям функции штрафа. На рис. 2.19, б можно видеть три зоны,
в которых находятся три локальных минимума целевой функции.
Вопросы для самопроверки
1. Дайте определение линейного математического программирования.
2. В чем заключается графический подход решения оптимизационных
задач в методе линейного математического программирования?
3. Поясните суть целочисленного линейного математического про-
граммирования, в частности метода ветвей и границ.
4. Дайте определение нелинейного математического программирования.
5. Поясните понятие «функция штрафа».
6. Каким образом задачи поиска максимума целевых функций сводят-
ся к задачам их минимизации?
7. Поясните алгоритм однопараметрического метода деления интер-
вала неопределенности пополам (метода дихотомии).
8. Поясните алгоритм метода золотого сечения.
9. Поясните алгоритм однопараметрического градиентного метода.
10. Поясните алгоритм однопараметрического метода равномерного
деления.
11. Поясните алгоритм многопараметрического метода Гаусса – Зей-
деля на примере функции Химмельблау.
12. Поясните алгоритм многопараметрического метода релаксации.
13. Поясните алгоритм многопараметрического градиентного метода.
14. Поясните принцип овражных методов оптимизации на примере
функции Розенброка.
54
3. МНОГОКРИТЕРИАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ
Пусть никто не думает, будто можно принимать безошибочные
решения. Напротив, всякие решения сомнительны; ибо в порядке вещей,
что, стараясь избежать одной неприятности, попадаешь в другую.
Мудрость заключается только в том, чтобы, взвесив
все возможные неприятности, наименьшее зло почесть за благо.
Н. Макиавелли (1469–1527)
Агафья Тихоновна: «Если бы губы Никанора Ивановича
да приставить к носу Ивана Кузьмича, да взять сколько-нибудь
развязности, какая у Балтазара Балтазарыча, да, пожалуй, прибавить
к этому еще дородности Ивана Павловича – я бы тогда тотчас же решилась».
Н. В. Гоголь. Женитьба, 1833 г.
3.1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ
При проектировании технических систем, в частности систем и средств
автоматизации технологических процессов и производств, объект проектирования характеризуется несколькими критериями: стоимостью прибора,
точностью измерения, скоростью срабатывания, массой робота, его грузоподъемностью, точностью позиционирования и другими. На каком-то интервале изменения параметров эти критерии могут быть согласными, когда
увеличение или уменьшение одного критерия сопровождается увеличением
или уменьшением других, и противоречивыми, когда увеличение одного
критерия ведет к уменьшению другого. Например, быстродействие того или
иного исполнительного механизма и точность позиционирования его рабочего органа; длительность переходного процесса и величина перерегулирования и т. д.
Поясним проблему многокритериальной оптимизации на примере.
Пусть в допустимой области свободных параметров область Ω воз-
можных значений критериев U и V имеет вид, представленный на рис. 3.1.
В точке М критерий U принимает значение
55
(
, … ,
, … ,
)
, а кри-
терий V – значение
(
, … ,
, … ,
)
. Таким образом, каждая точка
возможных значений критериев определяется в результате расчета этих
критериев при одних и тех же значениях параметров
, … ,
, … ,
.
На границах области Ω возможных значений критериев U и V можно
выделить несколько характерных точек и участков. Точки A и F (и участки
1
AA
и FF1) соответствуют минимумам критериев U и V, а точки В и D и от-
резки ВС и DЕ – максимумам критериев соответственно U и V. Из рис. 3.1
видно, что в общем случае нельзя найти такое сочетание значений пара-
метров , … , , … ,
, при которых оба критерия одновременно прини-
мали бы минимальное или максимальное значение. Точки 1 и 2, соот-
ветствующие одновременно минимальным и максимальным значениям
критериев, находятся вне их возможной области Ω и называются точками
утопии по минимальному и максимальному значениям.
Рис. 3.1. Область Ω возможных значений критериев U и V
Внутри области Ω всегда существуют направления одновременного
увеличения или уменьшения обоих критериев. Предельные значения (и минимальные и максимальные) находятся на границе области Ω, на которой
можно в общем случае выделить три типа участков:
– участки, на которых оба критерия одновременно увеличиваются или
уменьшаются (участки АВ и FE), т. е. они являются согласными;
56
– участки, на которых можно увеличивать или уменьшать один кри-
терий при постоянстве другого (участки ,
);
– участки, на которых увеличение или уменьшение одного критерия ве-
дет соответственно к уменьшению или увеличению другого (участки
); это участки, на которых критерии являются противоречивыми.
Такие участки при максимизации критериев находятся на «северовостоке» допустимой области Ω, а при минимизации – на «юго-западе».
Эти участки называются Парето-оптимальными. На Парето-оптимальных
участках нельзя улучшить один критерий, не ухудшая другого. Поэтому
в качестве окончательного решения обычно принимается точка, наиболее
близкая к точке утопии. Однако это далеко не обязательно. На этих участках рекомендуется искать некоторое компромиссное решение, за которое
обычно ответственно лицо, принимающее решение (ЛПР). Такие решения
принимаются на основе каких-либо дополнительных трудно формализуемых условий: предпочтение определенной фирме производителя, сложившейся на предприятии культуре и условиям производства, удобство
монтажа и обслуживания и многое другое.
Известны два наиболее распространенных метода определения окончательного решения на Парето-оптимальном фронте:
– метод уступок;
– метод идеальной точки.
При методе уступок ЛПР работает в режиме диалога со специалистами (заказчиком, разработчиками), анализирует точки на Парето-оптимальных участках и в итоге принимает окончательное решение.
Метод идеальной точки состоит в отыскании на участках Парето такой
«идеальной» точки, которая наиболее близка к точке утопии (на рис. 3.1
это точки 1 и 2, в зависимости от того минимум или максимум нас инте-
ресует).
57
Поясним процесс поиска «идеальной» точки на примере.
Пусть заданы две критериальные (целевые) функции следующими за-
висимостями:
= +
=
+ 2;
+ 6.
Требуется найти решение задачи
mах, mах
при условии, что допустимая область значений свободных параметров
определяется следующей системой неравенств:
0 4;
0 2;
+ 26.
Приведенные неравенства описывают пятиугольник АВСDЕ (рис. 3.2)
с координатами вершин: А(0,0), В(0,2), С(2,2), D(4,1), Е(4,0).
Рис. 3.2. Допустимая область параметров
и
58
Рассчитаем значения критериев и в вершинах пятиугольника.
Точка А:
Точка В:
Точка С:
Точка D:
Точка Е:
= 0,
= 0,
= 2,
= 4,
= 4,
= 0: = 2; = 6.
= 2: = 4; = 4.
= 2: = 6; = 6.
= 1: = 7; = 9.
= 0: = 6; = 10.
Так как целевые функции линейные, то полученных значений этих
функций достаточно для построения области возможных значений и
(рис. 3.3).
Рис. 3.3. Допустимая область Ω критериев U и V
Если решать задачи из условия максимизации целевых функций U
и V, то Парето-оптимальным отрезком будет отрезок
. Точка Z утопии
будет иметь координаты, равные максимальным значениям критериев U
и V, т. е. координаты (7; 10).
При нахождении окончательного решения методом уступок резуль-
тирующая точка не подлежит расчету, а устанавливается методом экс-
пертных оценок на отрезке
.
59
При использовании метода «идеальной» точки точка
окончательного
решения должна являться ближайшей к границе Парето точкой и может
быть рассчитана аналитически.
Продолжим решение примера. Найдем на множестве Парето точку,
ближайшую к точке утопии Z.
Проведем через точки
прямую и запишем ее уравнение V(U):
=
9
=
10 9
7
6 7
7 = 9 .
Окончательно уравнение прямой примет вид
+ = 16. (3.1)
Найдем уравнение прямой , перпендикулярной к отрезку
и проходящей через точку Z.
Представим уравнение (3.1) в виде
= + 16.
Тогда угловой коэффициент прямой
будет равен
=
= 1,
а уравнение этой прямой
= (
)
или 10 = 7 .
60