Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Современные алгоритмы оптимизации автоматизированных производств. Учебное пособие.pdf
10. Производим переобозначение границ интервалов неопределенно-
сти по приведенным выше условиям:
11. Рассчитываем величину =
.
и т. д.
Расчет прекращается по условию .
За окончательное решение может быть принято значение любой из
границ интервала неопределенности на последнем шаге итерации, т. е.
ai или bi, или значение, равное 0,5(a
+ bi).
i
2. Метод золотого сечения. Золотым называют деление отрезка та-
ким образом, чтобы выполнялось соотношение (рис. 2.10):
1
=
1
.
1
Рис. 2.10. Деление отрезка методом золотого сечения
Решим приведенное соотношение относительно x:
= (1 )
;
2+ 1 = ;
3+ 1 = 0;
= 1.5 ± 2,25 1 = 1.5 ± 1,118;
,
0,382;
= 2,618 > 1 лишний результат, поскольку находится вне допусти-
мой зоны.
41
Таким образом, = 0,382; 1 0,618.
Иногда величину (1 ) представляют как
0,618.
Золотое сочетание нашло широкое применение в античной и средне-
вековой архитектуре, да и в настоящее время его нередко используют.
Используем метод золотого сечения при решении задачи поиска мини-
мума унимодальной функции на интервале неопределенности ab (рис. 2.11).
Алгоритм метода золотого сечения
1. Присваиваем границам интервала значения, соответствующие оче-
редному шагу: = ; = .
2. Рассчитываем координаты X1 и X2 в соответствии с соотношениями
золотого сечения
= + 0,382(
= 0,382(
);
)
.
3. Вычисляем значения функции () в точках
4. Сопоставляем значения (
)
(
) и по результатам сравнения
и
.
выбираем очередной интервал неопределенности.
Если (
)
< (
очередного интервала будут: = ; =
Если (
)
> (
)
, как в нашем примере (рис. 2.11), то границами
;
), то =
; =
.
Замечательной особенностью метода золотого сечения является эконо-
мия на каждом шаге двух вычислительных операций, так как при (
(
) нет необходимости вычислять аргумент и функцию в двух точках,
)
<
как в методе дихотомии. Для этого достаточно вычисления в одной допол-
нительной точке
с соответствующим уже ранее вычисленным значением (
(
)
= (
). Эта небольшая экономия дает существенный временной
= +0,382(), а за вторую точку
принять
), т. е.
выигрыш при многократно повторяемых вычислительных итерациях.
42
Рис. 2.11. Поиск оптимума функции методом золотого сечения
Если же (
)
> (
), то абсцисса дополнительной точки опреде-
ляется как
= 0,382 (
)
= 0,382 (
)
,
а за точки
принимается точка
, т. е.
=
.
Итерация прекращается при достижении состояния, когда .
3. Градиентный метод поиска минимума унимодальной функции.
В предыдущих двух случаях направленного поиска движение к минимуму
обеспечивалось за счет соответствующей алгоритмизации вычислений.
Можно предложить другой метод, в котором движение к минимуму
происходит автоматически (рис. 2.12). В основу этого метода положен,
если говорить в терминах теории автоматического управления, «автоматизм» обратной отрицательной связи.
В соответствии с градиентным методом движение к минимуму про-
исходит при вычислении очередного значения абсциссы (свободного параметра) по формуле
43
)
,
=
(+ )(
где и
– текущее и очередное значение свободного параметра соот-
ветственно;
– шаг по параметру ;
– приращение параметра
.
Рис. 2.12. Поиск минимума градиентным методом
Движение в этом случае происходит из некоторой начальной точки
(начального решения).
При удачном выборе начального решения , шага и малого прира-
щения вычислительный процесс заканчивается достаточно быстро.
«Автоматизм» движения к минимуму функции обеспечивается знаком
«минус» перед вычитаемым и знаком численно определяемой производной.
Величина шага по параметру (
) при приближении к минимуму
автоматически уменьшается, так как приближение к минимуму сопровождается уменьшением величины производной. Это в определенной степени повышает точность вычислений, однако при малых значениях производной
вычислительный процесс может сильно замедлиться.
44
Движение прекращается при достижении условия (
) .
Наиболее целесообразно при наличии ограничений использовать гра-
диентный метод поиска локального минимума.
Кроме изложенных, существует еще ряд детерминированных методов
поиска минимума унимодальных функций:
− метод чисел Фибоначчи;
− метод Ньютона;
− метод Пауэлла;
− метод хорд;
− метод касательных и др.
4. Метод равномерного деления. Данный метод заключается в деле-
нии заданного интервала неопределенности AB параметра Х на N равных
частей (рис. 2.13) с последующим последовательным вычислением значений функции на границах каждой части и выборке из полученных значений минимального (или максимального в зависимости от постановки задачи) значения.
Рис. 2.13. Равномерное деление
Этот метод носит разные названия: метод сканирования, метод поиска
на равномерной сетке, метод перебора, в последнее время появилось еще
одно название – метод грубой силы.
45
К преимуществам метода относится его простота и возможность опре-
деления глобального минимума, а к недостаткам – большой объем и малая
точность вычислений. Последнее связано с тем, что за решение задачи принимается одна из границ участка. Для повышения точности надо уменьшать
шаг, а это приводит к увеличению объема вычислений. Кроме того, при переходе к многопараметрической оптимизации на увеличение объема вычислений существенно влияет число параметров: каждое их увеличение на единицу способствует росту числа расчетов на порядок и более. Это обстоятельство переводит такие задачи в класс NP-трудных.
Метод равномерного деления имеет ряд модификаций, сокращающих
объем вычислений. Он также широко используется в сочетании с другими
направленными методами поиска, когда точка минимума грубо определяется методом равномерного деления, а уточненно – с помощью метода золотого сечения или градиентного метода. Для повышения точности можно использовать и сам метод равномерного деления, применяя его для малых интервалов неопределенности, получаемых как результат на предыдущих прогонах.
Метод поиска на равномерной сетке при существенном увеличении
скорости вычислений и использовании методов параллельных вычислений
на нескольких вычислительных машинах может стать основным методом
поиска оптимальных технических решений, так как практически без какихлибо специальных математических подходов позволяет устойчиво находить
глобальный минимум целевых функций. Уже сейчас получает распространение метод так называемой грубой силы (Брутфорс – Brute force).
2.2.2. Многопараметрическая оптимизация
При решении оптимизационных задач часто приходится иметь дело
с математическими моделями, в которых отсутствуют аналитические зависимости или они очень сложны. Это приводит к тому, что использовать
классические методы дифференцирования либо невозможно в принципе,
46
либо это достаточно сложно и чревато возникновением большого числа
ошибок, связанных с так называемым человеческим фактором. Поэтому
поиск локального минимума приходится вести только на основе вычисле-
ний самой функции (), а производные от нее при необходимости нахо-
дить численно.
Приведем некоторые наиболее распространенные методы поиска ло-
кальных минимумов многопараметрических функций (, … ,
)
. Здесь
n – число свободных параметров синтеза.
1. Метод Гаусса – Зейделя. Метод предназначен для поиска локаль-
ных минимумов многопараметрических функций и реализуется путем поочередного движения по каждому из свободных параметров до точки минимума при фиксированных значениях других параметров. Движение
к минимуму по отдельному параметру может производиться любым из
ранее описанных однопараметрических методов: методом дихотомии, золотого сечения, градиентным и т. п.
Последовательность перехода от движения по одному параметру
к другому в методе Гаусса – Зейделя выбирается произвольно в начале
решения задачи и в ходе решения, как правило, не меняется.
Алгоритм метода Гаусса – Зейделя
1. Произвольно выбираем точку в n-мерном пространстве
, … ,
.
2. Выбираем последовательность смены параметров в ходе вычисле-
ний. Так как нумерация параметров обычно назначается случайным образом, то параметры можно менять в последовательности присвоенных им
номеров, а именно от первого к n-му.
3. Осуществляем поиск минимума функции по направлению пара-
метра . В результате получаем точку
минимума.
4. Повторяем действия п. 3 для всех параметров в выбранной после-
довательности. В результате определяем точки
47
,
, … ,
.
5. Повторяем действия п. 3, начиная с первого параметра, и опреде-
ляем точки
, … ,
, … ,
. Цикл выполняется до тех пор, пока локаль-
ный минимум не будет найден с достаточной точностью. В качестве признака прекращения цикла могут быть применены любые из обычно используемых: количество шагов или циклов, малые приращения свободных
параметров или целевой функции и т. д.
Ход вычисления по этому методу представлен на рис. 2.14 примени-
тельно к двухпараметрической оптимизации.
Рис. 2.14. Траектория поиска минимума методом Гаусса – Зейделя
В качестве примера на рис. 2.14 взят участок функции Химмельблау –
мультимодальной функции двух переменных, используемой в качестве тестовой для проверки эффективности алгоритмов оптимизации и определяемой формулой
(,
)
= (
+ 11)+ (+ 7)
.
48
На рис. 2.15 представлена поверхность и линии уровня (изогипсы)
функции Химмельблау в пределах полигона, используемого для тестирования методов оптимизации.
а б
Рис. 2.15. Функция Химмельблау:
а – 3D-поверхность; б – 2D-поверхность
2. Метод релаксации. Метод релаксации в основном совпадает с ме-
тодом Гаусса – Зейделя. Отличие состоит в том, что последовательность
смены свободных параметров назначается не произвольно, а подчинена
определенному требованию.
Движение к минимуму должно производиться по той координате, по
которой функция убывает наиболее быстро. Следовательно, для определения направления дальнейшего движения должны быть заданы градиенты по каждой из координат и произведено их сравнение. Выполнение этих
операций делает вычислительный процесс более трудоемким и длительным во времени, не привнося каких-либо преимуществ по сравнению
с методом Гаусса – Зейделя.
49
3. Градиентный метод поиска минимума целевой функции. Наибо-
лее универсальным методом поиска локального минимума многопараметрических целевых функций является градиентный метод, используемый в соответствии с алгоритмом, выраженным следующей формулой:
где
=
и
+, … , ) (, … ,
(, … ,
– соответственно следующее и текущее значения i-го па-
, … ,
)
,
раметра;
– шаг по i-му параметру;
– малое приращение по свободным параметрам целевой функции.
Алгоритм достаточно хорошо работает в большинстве задач оптимизации за исключением произвольно расположенных, «глубоких» оврагов
в рельефе целевой функции.
Траектория движения к минимуму целевой функции в этом методе располагается нормально по отношению к линиям уровней этой функции.
На рис. 2.16 показаны траектории движения к оптимуму из двух начальных
точек.
Рис. 2.16. Траектории движения к оптимуму
из двух начальных точек
50