Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Современные алгоритмы оптимизации автоматизированных производств. Учебное пособие.pdf
=[, … ,
]
– вектор назначаемых параметров;
=[, … ,
]
– вектор свободных параметров;
, , – соответственно число признаков объекта или процесса, при-
нятых за критерии их качества, число задаваемых и число свободных параметров.
Зависимость (1.1) можно трактовать как математическую модель оп-
тимизации проектируемого объекта или процесса. Она может быть представлена различным образом: аналитически, таблично или каким-либо
другим способом.
Если параметры вектора известны и зафиксированы, то модель (1.1)
является детерминированной математической моделью оптимизации объекта или процесса.
Если параметры вектора являются случайными величинами, то оп-
тимизационная модель (1.1) называется стохастической (вероятностной)
моделью оптимизации.
В дальнейшем в учебном пособии будем рассматривать оптимизацию
как поиск минимума функции (1.1). Если какой-либо критерий по своей
физической сущности должен быть максимизирован, то такая задача легко
сводится к задаче минимизации.
В зависимости от числа экстремумов (минимумов) критериальная
функция (1.1) на заданном интервале изменения свободных параметров может быть унимодальной (иметь один минимум (рис. 1.1, а)) или мультимодальной (иметь несколько минимумов (рис. 1.1, б)). В первом случае критерий, соответствующий функции (1.1), называют унимодальным критерием
оптимальности на этом интервале, а во втором – мультимодальным критерием оптимальности.
Оптимальное значение унимодального критерия однозначно определя-
ется локальным минимумом критериальной функции (рис. 1.1, а). В случае
мультимодального критерия решение оптимизационной задачи сводится
к поиску глобального минимума (наименьшего из локальных минимумов
(рис. 1.1, б)). На рис. 1.1, б глобальному минимуму функции (1.1) соответ-
ствует решение при =
.
11
В инженерных задачах критериальные функции составляют так, чтобы
отражающие их аналитические зависимости были по возможности как можно проще. Это достигается заменой математической модели, довольно точно
описывающей оптимизируемый объект, некоторой другой более простой
функцией, эквивалентной в определенном смысле исходной. Так, например,
при минимизации площади, занимаемой оборудованием роботизированного
комплекса, можно в качестве критериальной функции принять аналитическую зависимость для подсчета площади выпуклого многоугольника
(на рис. 1.2 линия 1), соединяющего центры оснований оборудования, а не
действительной площади, описываемой ломаной линией 2. Что существенно
проще.
а
б
Рис. 1.1. К определению локального Х
минимумов функции (1.1); Х
неопределенности параметра Х
и Х2 – границы интервала
1
*
(а) и глобального Х**(б)
12
Основное требование при такой замене сводится к тому, чтобы ис-
ходная и заменяющая ее функции были согласными, т. е. чтобы совпадали
интервалы их возрастания и убывания и, главное, чтобы совпадали их экстремумы.
Рис. 1.2. Эквивалентная 1 и исходная 2 площади
роботизированного комплекса:
ПР – промышленный робот; ВхН и ВыхН – соответственно входной
и выходной накопители; ТО1, ТО2, ТО3 – технологическое оборудование
На свободные параметры хi вектора Х могут быть наложены ограни-
чения либо в виде равенств
= (
), (1.2)
либо в виде неравенств
(
)
(
)
, (1.3)
где (), (
)
, (
)
– некоторые векторы известных функций от
параметров вектора
– -й параметр вектора Х ( = 1, …, );
;
– число свободных параметров.
13
Совокупность функций (), ()
, ()
определяет область
допустимых значений свободных параметров
.
Тогда в общем виде функцию (1.1) можно записать в виде
= (, ).
.
В некоторых случаях особенно при первичном изучении рельефа критериальной функции (1.1) ее рассматривают в отсутствие ограничений (1.2)
и (1.3).
Оптимум функции, найденный без учета ограничений, называется
безусловным оптимумом, а при наличии ограничений – условным.
1.2. ПРОСТРАНСТВО КРИТЕРИЕВ И ПАРАМЕТРОВ. НОРМАЛИЗАЦИЯ
ПРОСТРАНСТВА КРИТЕРИЕВ И ПАРАМЕТРОВ
По количеству критериев в векторе К различают однокритериальные
задачи оптимизации, когда вектор К содержит один признак качества объекта
(
= 1
)
, и многокритериальные задачи, когда этот вектор содержит
число признаков больше единицы (> 1).
По размерности вектора Х различают однопараметрические задачи
оптимизации, если размерность вектора Х равна единице
(
= 1
)
, и мно-
гопараметрические, если размерность вектора Х больше единицы (> 1).
В тех случаях, когда вектор =[, … ,
]
содержит > 1 компо-
нентов, говорят об - мерном пространстве критериев. Как правило, компоненты
(
= 1, … ,
)
имеют разные размерности и в ходе вычислений мо-
14
гут принимать сильно разнящиеся друг от друга значения. Если ставится задача получения решения, улучшенного по нескольким критериям одновременно (многокритериальная оптимизация), то это обстоятельство может оказаться серьезным препятствием процессу оптимизации. Например, компо-
нентами вектора могут быть: производительность, себестоимость, темпе-
ратура, расход, давление, материалоемкость, площадь, габариты и т. д.
Для успешного выполнения процесса многокритериальной оптимизации, как правило, предварительно производится операция нормализации
критериев. Обычно в результате нормализации критерии приводят к безразмерному (относительному) виду так, что интервал изменения их значений оказывается близок к интервалу (0…1) и критерии по принимаемым
ими значениям становятся сопоставимыми друг с другом.
Нормализованное относительное значение
критериев можно по-
лучить различными методами. Наиболее распространенным является ме-
тод деления абсолютной величины критерия
ющую величину той же размерности, а именно
на некоторую нормализу-
=
.
В качестве нормализующей величины в зависимости от характера изменения критерия могут быть приняты:
− максимальное, минимальное или среднее значение критерия;
− разность между максимально и минимально возможными значени-
ями критерия;
− некоторая характерная для возможного интервала изменения кри-
терия постоянная величина.
Подобным образом поступают и в случае нормализации свободных
параметров (= 1, … , ). При > 1 параметры образуют - мерное ев-
клидово пространство свободных параметров. Поскольку интервалы изменения свободных параметров либо заранее известны, либо легко вычисляются, то их нормализация сводится обычно к получению единичного
гиперкуба путем деления текущей величины свободного параметра на
возможный диапазон изменения этого параметра.
15
При оптимизационном проектировании объекта или процесса целесообразно использовать понятия целевой, критериальной и штрафной функций, представляющих собой математическую модель рассматриваемых
объектов или процессов.
Каждая из критериальных функций вектора К выражает зависимость
критерия (= 1, … , ) от свободных параметров (= 1, … , ) проек-
тирования.
Получение этой функции является первым и очень важным этапом
оптимизационного процесса, от которого в полной мере зависит корректность постановки оптимизационной задачи. Эта функция может быть получена аналитически, экспериментально или из определенных логических
умозаключений и представлена в виде формул, таблиц либо графиков. Как
отмечалось, адекватность критериальной функции оценивается не всегда
степенью точности отражения физической сущности объекта или процесса, а в большей степени – совпадением характера поведения и, главное,
совпадением расположения экстремумов этой функции с функцией, точно
отражающей физическую сущность объекта или процесса.
Функции типа (1.3) в теории оптимизации принято называть функциями штрафа (штрафными функциями). Эти функции (в дальнейшем будем
использовать обозначение F(X)) ограничивают область возможных значений свободных параметров. Функции штрафа в зависимости от используемого вида программирования имеют различную форму записи.
В методах линейного математического программирования они записываются в виде отдельных равенств или неравенств, а в методах нелинейного
программирования их часто представляют в виде одной комплексной функции, объединяющей несколько дополнительных условий проектирования
объекта или процесса. В этом случае, кроме составляющих, строго отвечающих за функциональную связь между ограничениями и свободными параметрами, проектировщик может вводить некоторые коэффициенты для регулирования влияния штрафной функции на рельеф целевой функции с целью улучшения сходимости вычислительного процесса.
16
В линейном программировании понятия целевой и критериальной
функций являются синонимами, так как дополнительные условия, выражающие ограничения на свободные параметры, записываются отдельно
в виде равенств или неравенств.
Иначе дело обстоит при использовании методов нелинейного программирования. В этом методе критериальная и штрафная функции могут
объединяться в целевую, представляющую собой некоторую их линейную
комбинацию типа
() = () + (), (1.4)
,
где – коэффициент, регулирующий влияние штрафной функции на рель-
еф целевой функции.
Такое объединение позволяет достичь алгоритмического автоматизма
учета дополнительных условий проектирования при итерационном процессе поиска оптимума целевой функции численными методами.
1.3. КЛАССИФИКАЦИЯ МЕТОДОВ ОПТИМИЗАЦИИ ПРОЕКТНЫХ РЕШЕНИЙ
Укрупненно методы оптимизации проектных решений можно разделить на три больших класса:
− детерминированные;
− стохастические;
− эвристические.
Понятно, что детерминированные и стохастические методы имеют
много общего, представляя собой математико-аналитический класс параметрической оптимизации. Однако будем придерживаться деления методов оптимизации на предложенные выше три класса.
17
В учебном пособии не ставится цель дать полный обзор существую-
щих в каждом из упомянутых классов методов оптимизации, перед авторами стоит задача представить основные, наиболее распространенные
и достаточно просто реализуемые алгоритмически и программно методы.
Детерминированные методы по виду критериальной функции (1.1)
и функций ограничения (1.2) и (1.3) можно разделить на следующие:
− линейное математическое программирование: функции (1.1), (1.2)
и (1.3) носят линейный характер;
− целочисленное линейное математическое программирование: об-
ласть допустимых значений свободных параметров есть множество целых
чисел;
− дробно-линейное математическое программирование: критериаль-
ная функция (1.1) есть отношение двух линейных функций;
− дискретное линейное математическое программирование: если
функция (1.1) есть конечное множество значений от параметров, носящих
дискретный характер;
− нелинейное математическое программирование: когда хотя бы одна
из функций (1.1), (1.2) или (1.3) носит нелинейный характер;
− динамическое математическое программирование: задачи, в которых
значение критериальной функции (1.1) вычисляется как результат некоторого числа этапов (шагов, прогонов) принятия решений. Оптимум критериальной функции при динамическом программировании определяется путем поиска соответствующей комбинации последовательно выполняемых этапов,
комбинаций пошаговых управлений.
Общим существенным недостатком большинства детерминированных
методов (исключая метод сканирования) является возможность поиска только локального оптимума. Использование их для поиска глобального оптимума возможно только в сочетании с другими методами с переходом к применению так называемых гибридных методов. Например, при использова-
18
нии градиентного метода начальные решения (начальные приближения)
можно генерировать случайным образом (мультистартный метод).
Стохастические методы в последнее время получают все большее
распространение и развитие, особенно эволюционные методы, инспирированные, подсказанные природой. Этому способствует их принципиальная возможность осуществлять поиск именно глобального оптимума (минимума или максимума в зависимости от постановки оптимизационной
задачи). К этому классу методов можно отнести следующие основные:
− метод Монте-Карло, являющийся исторически первым в этом клас-
се методов оптимизации и имеющий большое число модификаций. Можно в определенном смысле утверждать, что все другие ниже перечисленные методы этого класса являются развитием этого метода;
− метод ЛПτ-поиска Соболя – Статникова;
− генетический алгоритм;
− метод дифференциальной эволюции;
− муравьиный алгоритм;
− роевой алгоритм и многие другие.
Эвристические методы получили развитие и распространение для
решения задач, формализация которых весьма затруднена или в принципе
невозможна. Особую роль эти методы играют при структурной оптимизации проектных решений. Укажем основные методы оптимизации этого
класса:
− методы, изложенные в теории решения изобретательских задач
(ТРИЗ);
− методы, свойственные SWOT-анализу;
− мозговая атака;
− синектика;
− метод морфологических таблиц;
− метод анализа иерархий Саати (с элементами теоретических рас-
четов).
19
Далее в настоящем учебном пособии будут изложены некоторые из
детерминированных и стохастических методов поиска оптимальных проектных решений. Описание эвристических методов – предмет другого
учебного курса.
Вопросы для самопроверки
1. Какие объекты в области автоматизации технологических процес-
сов и производств могут быть предметами оптимального проектирования?
2. Какие признаки объекта или технологического процесса, подлежа-
щего проектированию, могут выступать в качестве критериев оценки их
качества?
3. Что понимается под назначаемыми параметрами, а что – под свободными?
4. Дайте определение критериальной функции.
5. Что понимается под однопараметрической и многопараметрической
оптимизацией?
6. Что понимается под унимодальными и мультимодальными крите-
риальными функциями?
7. Что понимается под однокритериальной и многокритериальной оп-
тимизацией?
8. Какова цель и каковы методы нормализации критериев и параметров?
9. Дайте характеристику целевой, критериальной и штрафной функ-
ций как составных частей математической модели рассматриваемых объектов или процессов.
10. Что понимается под детерминированными методами оптимизации?
11. Что понимается под стохастическими методами оптимизации?
20