Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Современные алгоритмы оптимизации автоматизированных производств. Учебное пособие.pdf
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
————————————
Федеральное государственное автономное
образовательное учреждение высшего образования
«Омский государственный технический университет»
СОВРЕМЕННЫЕ АЛГОРИТМЫ ОПТИМИЗАЦИИ
АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ ПРОИЗВОДСТВ
Учебное текстовое электронное издание
локального распространения
Рекомендовано редакционно-издательским советом
Омского государственного технического университета
Омск
Издательство ОмГТУ
2023
———————————————————––––—————————————
Сведения об издании: 1, 2
© ОмГТУ, 2023
1
Составители:
В. Г. Хомченко, Т. В. Гоненко, Е. А. Чигринова
Рецензент К. В. Хацевский, д-р техн. наук
Современные алгоритмы оптимизации автоматизированных производств :
учеб. пособие / Минобрнауки России, Ом. гос. техн. ун-т ; сост.: В. Г. Хомченко,
Т. В. Гоненко, Е. А. Чигринова. – Омск : Изд-во ОмГТУ, 2023. – 1 CD-ROM (2,09 Мб). –
Систем. требования: процессор с частотой 800 МГц и выше ; 128 Мб RAM и более ; свободное место на жестком диске 300 Мб и более ; Linux / Windows XP и выше ; MacOS X
10.4 и выше ; CD/DVD-ROM-дисковод ; ПО для просмотра pdf- и mp4-файлов. – Загл.
с титул. экрана.
Изложены основы теории оптимизации и методы ее практической реализации
в виде соответствующих алгоритмов. Кратко описаны классические методы линейного и нелинейного математического программирования и их алгоритмическое воплощение. На примерах объяснены принципы многокритериальной оптимизации. Уделено внимание современным алгоритмам поиска оптимальных решений, полученных
в подражание процессам, происходящим в природе.
Издание предназначено для студентов всех форм обучения по направлению под-
готовки магистров 15.04.04 «Автоматизация технологических процессов и производств».
Редактор О. В. Маер
Компьютерная верстка Ю. П. Шелехиной
Для дизайна этикетки использованы материалы
В. Г. Хомченко, Т. В. Гоненко
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Сводный темплан 2023 г. © ОмГТУ, 2023
Подписано к использованию 17.10.23.
Объем 2,09 Мб.
2
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ......................................................................................................... 4
1. Критерии оценки качества проектных решений при создании систем
и средств автоматизации. Методы оптимизации ............................................ 8
1.1. Понятие оптимального проектирования.
Критериальные, штрафные и целевые функции ............................. 8
1.2. Пространство критериев и параметров. Нормализация
пространства критериев и параметров ............................................ 14
1.3. Классификация методов оптимизации проектных решений ......... 17
Вопросы для самопроверки ............................................................................. 20
2. Детерминированные методы оптимизации................................................ 21
2.1. Линейное математическое программирование ............................... 21
2.2. Нелинейное математическое программирование ........................... 31
2.2.1. Однопараметрические целевые функции ............................. 31
2.2.2. Многопараметрическая оптимизация ................................... 46
Вопросы для самопроверки ............................................................................. 54
3. Многокритериальная оптимизация ............................................................. 55
3.1. Основные положения многокритериальной оптимизации ............ 55
Вопросы для самопроверки ............................................................................. 62
4. Стохастические методы решения оптимизационных задач .................... 63
4.1. Метод Монте-Карло ........................................................................... 63
4.2. Генетические алгоритмы ................................................................... 64
4.3. Муравьиные алгоритмы..................................................................... 74
4.4. Жадные алгоритмы ............................................................................ 84
4.5. Алгоритм роя частиц ......................................................................... 88
Вопросы для самопроверки ............................................................................. 92
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ................................................................................................. 93
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ............................................................. 95
3
ВВЕДЕНИЕ
Самое ценное в научном и техническом
образовании – это развитие универсального
мыслительного аппарата, который будет служить
вам на протяжении всей жизни.
Джордж Форсайт (George Forsythe)
В современных условиях существенно повысилась ответственность
лиц, принимающих решения, за качество и своевременность выполнения
проектных работ. При принятии технических (инженерных), производственных и организационных решений приходится учитывать много факторов часто противоречивых, противоположные интересы сторон, участвующих в разработке проектов, и многое другое.
В связи с этим в последние десятилетия все большее значение приоб-
ретают методы математической поддержки процесса принятия решений.
Любое инженерное решение должно сопровождаться предваритель-
ным поиском такого сочетания значений параметров объекта проектирования, которое при его оптимальном функционировании в процессе эксплуатации обеспечивало бы наибольший технико-экономический эффект.
Именно создание методов поиска таких значений параметров и является предметом исследования теории оптимизации. Понятно, что и разработка нового, и выбор известного метода оптимизации существенным образом зависят от природы проектируемого объекта или процесса и от принятой для их описания математической модели.
Как правило, экстремумы математических моделей инженерных задач
не представляется возможным найти методами прямого дифференцирования ввиду их сложности, тем более что часто эти модели являются и не
дифференцируемыми. Это вынуждает проектировщиков прибегать к использованию численных методов.
Конкретные численные решения проектной задачи являются результатом работы соответствующей программы, созданной на основе предва-
4
рительно разработанного алгоритма решения этой задачи и реализованной
с использованием того или иного машинного языка.
Можно утверждать, что алгоритм является в определенном смысле
интерфейсом, соединяющим, стыкующим теоретические основы решения
конкретной проектной задачи, ее математическую модель, и их программным воплощением в кодах машинного языка. Алгоритм решения оптимизационных задач есть инвариантное по отношению к тому или иному
машинному языку описание последовательности получения численного
результата, в общем случае независящее от семантики применяемого машинного языка высокого уровня.
В настоящем пособии принята вербальная (словесная) форма алгоритмической интерпретации теоретических основ методов оптимизации,
не претендующая на строгую их трактовку. Это объясняется тем, что студенты на практических занятиях и при выполнении соответствующих заданий должны самостоятельно, применяя стандартные начертания символов, принятые для изображения операторов на блок-схемах алгоритмов,
разработать подробные алгоритмы, пригодные для машинной реализации,
используя вербальное представление алгоритмов лишь в качестве основы.
Алгоритм, представленный блок-схемой, при реализации в машинных кодах часто требует более глубокого понимания будущего вычислительного
процесса, чем его словесное представление. Это понимание и должен демонстрировать студент в ходе разработки блок-схемы алгоритма.
Понятно, что в современных условиях большинство методов оптимизации ориентировано на применение вычислительной техники. В некоторых
программных продуктах имеются встроенные функции поиска оптимумов
критериев. Например, в программном обеспечении MathCAD представлены
встроенные функции Minimize (f, x1, …, xn) и Maximize (f, x1, …, xn), позволяющие находить значения параметров x1, …, xn, при которых функция
f(x1, …, xn) имеет локальные экстремумы – соответственно минимумы и максимумы. В случае если функция f(x1, …, xn) есть математическая модель того
или иного объекта либо процесса, эти ее экстремальные значения в зависи-
5
мости от постановки задачи и будут представлять собой оптимальные значения критериев качества исследуемых объектов или процессов.
Учебная дисциплина «Современные алгоритмы оптимизации автома-
тизированных производств» в определенном смысле обобщает ряд специальных дисциплин, изучаемых студентами, на уровне как бакалаврской,
так и магистерской подготовки. В ходе изучения данной дисциплины
осуществляется подготовка студентов-магистрантов направления «Автоматизация технологических процессов и производств» и других родственных направлений в области методов поиска оптимальных проектных решений при разработке систем и средств автоматизации технологических
процессов и производств и, в частности, приобретение практических
навыков и умений в составлении алгоритмов наиболее востребованных
методов оптимизации.
При изложении учебной дисциплины ставятся и решаются следую-
щие задачи:
− приобретение студентами-магистрантами необходимых знаний
и навыков формирования критериев для оценки качества проектных решений и выявления существенных параметров, влияющих на качественные показатели;
− приобретение навыков разработки математических моделей, уста-
навливающих функциональные связи между критериями качества и определяющими их параметрами в аналитической или иной формах;
− практическое овладение навыками алгоритмизации математических
моделей с целью поиска оптимальных проектных решений на основе как
считающихся классическими, так и современных численных методов;
− практическое овладение методами разработки вычислительных
программ для решения оптимизационных задач на основе созданных студентами алгоритмов с использованием языков высокого уровня, в частности пакетов С++, С#, Pithon и других (предполагается, что студенты
владеют одним из упомянутых или другими языками высокого уровня;
здесь сознательно не упомянуты MathCAD и Excel, имеющие встроенные
6
функции для поиска локальных экстремумов, поскольку цель пособия –
изложить методы разработки алгоритмов (с последующим самостоятельным составлением вычислительных программ) для численного поиска оптимальных решений инженерных задач, а не использовать готовые программы с программным решением в виде «черного ящика»);
− получение навыков коллективной работы при поиске оптимальных
проектных решений в области автоматизации технологических процессов
и производств.
Поскольку многие инженерные задачи, как правило, представляются
сложными полимодальными многопараметрическими математическими моделями, отличаются большими массивами входных данных, наличием разнообразных дополнительных условий проектирования и развитыми логическими соотношениями, предлагаемые в программных продуктах встроенные
функции, как правило, не могут быть использованы в достаточно больших
инженерных проектах. Решение таких задач подразумевает необходимость
разработки алгоритмического обеспечения для конкретного класса проектов.
В связи с этим авторы пособия считают, что инженер должен быть готов
к самостоятельному составлению достаточно сложных алгоритмов оптимизации и к последующей их программной реализации.
Вполне естественно, что прежде чем приступать к поиску значений
параметров, доставляющих оптимум тому или иному критерию, необходимо аналитически описать объект и процесс проектирования, т. е. создать их адекватную математическую модель, отражающую функциональную связь принятого критерия качества и определяющих его свободных параметров синтеза.
7
1. КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА ПРОЕКТНЫХ РЕШЕНИЙ
ПРИ СОЗДАНИИ СИСТЕМ И СРЕДСТВ
АВТОМАТИЗАЦИИ. МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
Конструктор достигает совершенства
не тогда, когда ему нечего добавить к сво-
ему детищу, а тогда, когда нечего удалить.
Джон Бентли (Jon Bentley).
Жемчужина программирования, 2002 г.
1.1. ПОНЯТИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ. КРИТЕРИАЛЬНЫЕ,
ШТРАФНЫЕ И ЦЕЛЕВЫЕ ФУНКЦИИ
При разработке большинства инженерных проектов ставится задача
поиска оптимального варианта проектируемого объекта или процесса по
тому или иному одному критерию или одновременно по нескольким критериям, по которым так или иначе можно оценить качество принимаемого
проектного решения.
Проектирование средств и систем автоматизации также всегда включает в себя элементы оптимизации – стремление получить лучший вариант из возможных. Это стремление реализуется либо поиском оптимального варианта структуры объекта (структурная оптимизация), либо варьированием значений параметров объекта при заданной структуре (параметрическая оптимизация).
В настоящем учебном пособии рассматриваются вопросы параметрической оптимизации.
Объектами оптимального проектирования в области автоматизации
технологических процессов и производств могут быть:
− элементы систем автоматизации (микропроцессорные устройства,
программируемые логические контроллеры, интерфейсные устройства систем управления и т. п.);
8
− системы управления технологическими процессами и производ-
ствами (информационно-измерительные системы, системы выработки
управляющих воздействий, исполнительные механизмы, программное
обеспечение и т. п.);
− робототехнические комплексы;
− алгоритмы работы систем управления отдельными производствами
и предприятием в целом;
− компоновка технологического основного и вспомогательного обо-
рудования автоматизированных производств;
− планы размещения систем управления в производственных подраз-
делениях и многое другое.
В качестве критериев качества проекта при создании средств и систем
автоматизации могут выступить как технические, так и экономические
показатели:
− стоимость проектируемого изделия;
− помехоустойчивость;
− производительность робототехнического комплекса;
− потребляемая изделием мощность;
− габариты и масса изделия;
− трудозатраты, необходимые для изготовления изделия;
− точность позиционирования предмета манипулирования роботом;
− быстродействие проектируемого устройства;
− надежность и ремонтопригодность проектируемого изделия;
− количество типовых и оригинальных элементов, включаемых в со-
став проектируемых систем и средств автоматизации;
− параметры переходных процессов при решении задач регулирования;
− затраты на транспортировку предметов труда и многое другое.
Таким образом, критериями оптимальности (эффективности, полезно-
сти) могут быть любые полезные признаки объекта или процесса, по которым в данной проектной ситуации целесообразно оценивать их качество.
9
Критерии оптимальности, как правило, зависят от параметров двух
типов:
− параметры, которые в процессе проектирования объекта разработ-
чик не может изменять. Они чаще всего задаются условиями проектирования заранее и остаются неизменными в процессе поиска оптимального
решения. К таким параметрам можно отнести, например, технические характеристики объекта автоматизации, заданную технологическим процессом циклограмму работы исполнительных механизмов машины-автомата,
скорость срабатывания тех или иных средств автоматизации, постоянные
времени различных устройств систем автоматизации, напряжение питания
в сети, выбранную предварительно фирму-изготовитель средств и систем
автоматизации и т. п. Такие параметры называют назначаемыми, задаваемыми, а иногда априорными;
− параметры, которые в процессе проектирования объекта разработ-
чик может изменять: может выбирать, находить такие их значения, которые бы доставляли оптимум (минимум или максимум) критерию оценки
качества проектного решения. Такие параметры называют свободными,
варьируемыми, параметрами управления и т. п. В качестве свободных параметров можно привести, например, коэффициенты усиления пропорциональной, интегральной и дифференциальной составляющих при использовании ПИД-регуляторов, выборе программируемых контроллеров и исполнительных механизмов, их технические характеристики и т. д. Собственно поиск значений именно свободных параметров, доставляю-
щих оптимум (минимум или максимум) принятым критериям качества, и составляет задачу оптимизации.
На основании изложенного критериальную функцию можно представить в общем виде следующим образом:
= (,
где =[ , … ,
]
– вектор критериев;
10
)
, (1.1)