Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие
.pdf
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Белгородский государственный технологический университет
им. В. Г. Шухова
М. В. Шевцова, М. В. Бронникова, Л.Н. Куртова
СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
Утверждено ученым советом университета в качестве учебного пособия
для студентов направлений подготовки 09.03.04 – Программная инженерия
направленности «Разработка программно-информационных систем»,
09.03.01 – Информатика и вычислительная техника направленности
«Вычислительные машины, комплексы, системы и сети»
Белгород
2021
УДК 517.91
Ш37
Системы обыкновенных дифференциальных уравнений:
учебное пособие / М. В. Шевцова, М. В. Бронникова,
Л. Н. Куртова — Белгород: Изд-во БГТУ, 2021. — 73 с.
ISBN 978-5-361-00938-1
ББК 22.17
Ш37
Рецензенты:
Кандидат технических наук, доцент
Белгородского государственного национального
исследовательского университета (НИУ«БелГУ») А. З. Ядута
Кандидат технических наук, доцент
Белгородского государственного технологического университета
им. В.Г. Шухова Г. Л. Окунева
Шевцова, М. В.
В пособии изложены основные понятия и способы решения систем обыкновенных
дифференциальных уравнений и методы их решения. Все способы решения
иллюстрируются на примерах. Для задач рассмотрен вариант решения в системах
компьютерной математики. Каждая глава снабжена контрольными вопросами и
заданиями для самостоятельной работы, что может быть полезно при самоподготовке
студентов.
Учебное пособие предназначено для студентов направлений подготовки 09.03.04 –
Программная инженерия направленности «Разработка программно-информационных
систем», 09.03.01 – Информатика и вычислительная техника направленности
«Вычислительные машины, комплексы, системы и сети».
Данное издание публикуется в авторской редакции.
УДК 517.91
ББК 22.17
ISBN 978-5-361-00938-1 © Белгородский государственный
технологический университет
(БГТУ) им. В. Г. Шухова, 2021
ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………......
4
1. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА В НОРМАЛЬНОЙ
ФОРМЕ………………………………………………………….
5
1.1. Основные понятия теории систем линейных
дифференциальных уравнений……………………….………
5
1.2. Матричный метод решения систем линейных однородных
дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами………………………………………………
7
1.3. Метод интегрируемых комбинаций……………….…………
16
1.4. Применение систем линейных дифференциальных
уравнений для решения задач естествознания………………
18
1.5. Решение систем линейных дифференциальных уравнений в
системах компьютерной математики………………………...
27
Задачи для самостоятельного решения………………………
37
Вопросы для контроля………………………………………...
38
2. НЕОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ.............................................................................
39
2.1. Основные понятия теории линейных неоднородных систем
дифференциальных уравнений……………………………….
39
2.2. Метод интегрируемых комбинаций и метод вариации
произвольных постоянных……………………………………
43
2.3. Метод неопределенных коэффициентов……………………..
48
2.4. Неоднородные системы уравнений, описывающие
процессы естествознания……………………………………..
52
2.5. Решение неоднородных систем дифференциальных
уравнений в системах компьютерной математики………….
59
Задачи для самостоятельного решения………………………
69
Вопросы для контроля……………………………………......
70
ПРИЛОЖЕНИЕ Правила отыскания частного решения
линейного неоднородного уравнения второго порядка
71
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК……………………......
72
Оглавление
3
ВВЕДЕНИЕ
Данное пособие предназначено для студентов специальностей
09.03.04 – Программная инженерия (направленность «Разработка
программно-информационных систем»), 09.03.01 – Информатика и
вычислительная техника (направленность «Вычислительные машины,
комплексы, системы и сети»), а также рекомендуется для направления
09.03.03 – Прикладная информатика. Оно может быть полезно
студентам при изучении дисциплин «Математический анализ» и
«Математика» в плане самоподготовки, выполнения домашних и
контрольных заданий, самостоятельной работы, поскольку содержит
сведения по методам решения систем дифференциальных уравнений, в
том числе и средствами компьютерной математики.
Учебное пособие содержит изложение основных теоретических
сведений по методам решения систем линейных дифференциальных
уравнений в нормальной форме, а также неоднородных систем
дифференциальных уравнений. Рассмотрены примеры применения
данных систем для решения прикладных задач. А также предложены
решения примеров средствами компьютерной математики. Материал
пособия разбит на два раздела. Первый раздел посвящен системам
линейных дифференциальных уравнений в нормальной форме и
методам их решения – непосредственно математическим и средствами
компьютерной математики. Помимо этого, здесь представлены
примеры задач естествознания, решаемых с применением систем
дифференциальных уравнений. Второй раздел посвящен изучению
неоднородных систем дифференциальных уравнений. В приложении
приведены таблицы правил отыскания частного решения линейного
неоднородного уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами в зависимости от вида правой части уравнения,
которые используются в примерах.
Каждый раздел пособия начинается с целей и задач изучения темы и
заканчивается вопросами для повторения и заданиями для
самостоятельного решения. Таким образом, для освоения каждого
раздела необходимо ознакомится с задачами изучения темы, найти
решение этих задач внутри раздела, и проверить себя в конце раздела.
4
1. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА В НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ
Цели и задачи изучения темы
Освоить понятия системы линейных дифференциальных
уравнений в общем виде, однородной системы и системы
дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами.
Рассмотреть основные методы решения систем линейных
дифференциальных уравнений.
Рассмотреть примеры решения задач естествознания с
применением систем линейных дифференциальных уравнений
первого порядка.
1.1. Основные понятия теории систем линейных
дифференциальных уравнений
Система линейных дифференциальных уравнений первого порядка в
нормальной форме с n неизвестными функциями y1(t), y2(t),…, yn(t)
имеет вид:
В данном определении функции p11(x),…, pnn(x), y1(t), y2(t),…, yn(t)
определены и непрерывны на некотором интервале (a;b).
Если в (1) вместо функций p11(x),…, pnn(x) имеют место постоянные
числа aij, то система будет с постоянными коэффициентами.
Общим решением системы (1) называется множество наборов
функций y1(t), y2(t),…, yn(t), превращающих каждое уравнение системы
в верное равенство для любого аргумента t. Каждый элемент этого
множества называется частным решением (1).
Система начальных условий для (1) имеет вид:
(1)
5
Каждая система начальных условий (2) позволяет выделить одно
частное решение.
Систему из n уравнений первого порядка можно последовательно
свести к одному линейному уравнению n-го порядка, решить его, а
затем последовательно найти другие функции из остальных уравнений.
Такой метод называется методом исключения.
Пример 1.1. Решить систему
Решение.
Продифференцируем первое уравнение еще раз: и
выразим из полученного y’:
выразим y:
. Подставим полученные равенства во второе
уравнение, имеем линейное уравнение второго порядка с постоянными
коэффициентами:
.
Составляя характеристическое уравнения, получаем его корни:
k1 = 6, k
= 1 – действительные и различные. Поэтому
2
Находя x’ и подставляя в выражение для y, получаем:
Пример 1.2. Решить систему
условиями x(0) = 0, y(0) = 1.
Решение.
Продифференцируем первое уравнение еще раз: и
выразим из полученного y’: . Также из первого уравнения
выразим y: . Подставим полученные равенства во второе
уравнение, имеем линейное уравнение второго порядка с постоянными
коэффициентами:
.
(2)
.
. Также из первого уравнения
.
с начальными
.
6
Составляя характеристическое уравнения, имеем его корни k1 = 3,
k
= -1 – действительные и различные. Поэтому
2
Находя x’ и подставляя в выражение для y, получаем:
.
Подставим найденное общее решение в начальные условия,
получим систему уравнений относительно с1 и с2:
из которой
. Поэтому окончательное решение имеет вид:
,
.
Пример 1.3. Решить систему
Решение.
Продифференцируем первое уравнение еще раз: и
выразим из полученного y’: . Также из первого уравнения
выразим y: . Подставим полученные равенства во второе
уравнение, имеем линейное уравнение второго порядка с постоянными
коэффициентами:
.
Составляя характеристическое уравнения, имеем его корни
k
= i – комплексные. Поэтому
1,2
.
Находя x’ и подставляя в выражение для y, получаем:
.
.
1.2. Матричный метод решения систем линейных
однородных дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами
Системой дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами называется следующая система, в которой числа aij -
константы:
7
Введем в рассмотрение векторы и матрицу:
Тогда систему (3) запишем в виде матричного уравнения: Y’ = AY+F.
Если F = 0, то система называется однородной:
Y’ = AY. (4)
Требуется найти n линейно независимых частных решений Y1, Y2,…,
Yn и построить общее решение системы (4): Y = C1Y1 + … + CnYn, где
С
– постоянные.
i
Будем искать частные решения в виде: , где
k, bi – некоторые числа.
Подставим Y
, получим (A - Ek) B = 0, где Е – единичная матрица.
в (4): . Сокращая данное уравнение на
i
Для существования ненулевого решения данного матричного
уравнения необходимо и достаточно, чтобы
|A - Ek| = 0. (5)
Уравнение (5) – это алгебраическое уравнение степени n
относительно чисел k, которое называется характеристическим. k –
собственные значения матрицы А, В – собственный вектор,
соответствующий числу k.
Совокупности решений k1, k2,…, kn характеристического уравнения
всегда соответствует набор n линейно независимых частных решений
системы (4).
Вид частного решения зависит от типа числа k. Возможны случаи:
1) k – вещественное;
2) k – комплексное;
3) k – кратный корень характеристического уравнения.
(3)
.
,
8
Рассмотрим решение системы (4) в каждом из указанных случаев.
1. Пусть k – однократный вещественный корень, тогда частные
решения имеют вид:
2. Пусть k = + i – комплексный корень, тогда частные решения
имеют вид:
Выделим действительную и мнимую часть решения: Yi = U + iV.
Функции U и V – также частные решения системы (4) и линейно
независимы. Комплексно-сопряженный корень ,
учитывая свойства тригонометрических функций, новых
линейно независимых решений не дает.
3. Пусть k – вещественный корень характеристического уравнения
кратности s. Пусть ранг матрицы (A - Ek) равен r, а n – порядок
этой матрицы. Тогда система имеет m=n-r линейно независимых
решений.
Если m = s, то существует s линейно независимых частных
решений
Если m < s, то
Yi в (4) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях t,
получим систему матричных уравнений относительно
неизвестных столбцов B, C, …, Q. Ее решение содержит s
произвольных параметров, которым можно дать произвольные
значения, а остальные вычислить по формулам уравнений.
Находя данные столбцы, мы получим необходимые частные
решения.
Пример 1.4. Решить систему
Решение.
Матрица коэффициентов для данной системы имеет вид:
Тогда
уравнение и решим его:
Таким образом, имеем два различных однократных вещественных
корня: k1 = 5, k2 = 1 – это собственные значения матрицы А. Найдем
собственные вектора, соответствующие каждому значению.
, где В – вещественный вектор.
, В может содержать комплексные числа.
, i = 1,…, s.
.
. Подставим
. Составим характеристическое
9
Сначала k1 = 5. Имеем:
.
.
Видно, что строки матрицы слева линейно зависимы, поэтому мы
можем использовать лишь одну из них:
.
Пусть b1 = 1, тогда b2 = 3. Собственный вектор, соответствующий
данному значению:
. Тогда первое частное решение будет:
Аналогично k2 = 1. Имеем:
Видно, что строки матрицы слева линейно зависимы, поэтому мы
можем использовать лишь одну из них:
.
Пусть b1 = 1, тогда b2 = -1. Собственный вектор, соответствующий
данному значению:
. Тогда второе частное решение будет:
Общее решение системы имеет вид:
или
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]