Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие
.pdf
траектория снаряда y – многочлен второй степени от x, следовательно,
его график – парабола (рис. 1).
Рис. 1.
Формула (15) показывает, что дальность стрельбы зависит от начальной
скорости v0 и от угла бросания .
Следует отметить, что при небольшой скорости v0 роль
сопротивления воздуха действительно невелика. Но, если увеличить
начальную скорость в 10 раз, то есть взять v0 = 800 м/с, то для снаряда
калибром (диаметром) 305 мм при угле бросания = 550 из-за
сопротивления воздуха его дальность полета уменьшится с 61 км до
22,2 км.
Поскольку в действительности снаряд испытывает сопротивление
воздуха, то реальные траектории снарядов не являются в точности
параболами. Плотность воздуха, а также вес снаряда и его форма
влияют на дальность стрельбы, высоту подъема снаряда, полетное
время и т. п.
Пример 1.11. Разложение вещества. Вещество А разлагается на два
вещества: Х и Y. Скорость образования каждого из них
пропорциональна количеству неразложившегося вещества. Требуется
определить закон изменения количеств веществ х и у в зависимости от
времени t при условии, что х = у = 0 при t = 0, а через час x = a/8, y = 3a/8,
где a – первоначальное количество вещества А.
Решение.
Согласно условию задачи в момент времени t количество
неразложившегося вещества А равно a – x - y. Введем обозначения:
скорость образования вещества Х;
– скорость образования вещества
–
Y. Тогда получаем систему дифференциальных уравнений:
21
Для решения системы (16) применим метод интегрируемых
комбинаций. Разделим обе части второго уравнения системы на
соответствующие части первого уравнения, будем иметь:
Интегрируя (17), получаем:
где С1 – произвольная постоянная.
Так как при t = 0 имеем х = у = 0, то из уравнения (18) находим С1 = 0,
следовательно,
Функцию (19) подставляем в первое уравнение системы (16),
получаем линейное неоднородное дифференциальное уравнение
первого порядка
. (20)
Общее решение уравнения (20) имеет вид:
Итак, получаем общее решение системы уравнений (16):
(16)
(17)
(18)
(19)
22
Произвольную постоянную С2 находим из начального условия х = 0
при t = 0:
Следовательно, частное решение системы уравнений (16) имеет вид:
Определим коэффициенты k1 и k2 из условия, что x = a/8, y = 3a/8 при
t = 0. Имеем:
или
откуда
Таким образом, искомое решение системы уравнений (16), т. е. закон
изменения во времени количеств веществ х и у веществ X и Y, принимает
следующий вид:
.
23
Пример 1.12. Фильтр низких частот. Электрическая цепь (рис. 2)
содержит две равные индуктивности L, емкость С и сопротивление R,
которые подключены к источнику напряжения. Напряжение изменяется
по закону .
Рис. 2.
Ограничиваясь установившимся процессом, требуется определить
характер колебаний напряжения на сопротивлении.
Решение.
Обозначим через i1 и i2 токи в левом и правом электрических
контурах соответственно. Тогда ток через емкость С равен i1 – i2. По
закону Кирхгофа получаем систему дифференциальных уравнений
относительно токов i1 и i2:
(21)
Решим систему уравнений (21) методом исключения.
Дифференцируя второе уравнений системы по t, получаем:
.
Откуда имеем:
. (22)
Уравнение (22) дифференцируем по t, подставляем в первое
уравнение системы (21), в результате получаем неоднородное
24
дифференциальное уравнений третьего порядка с постоянными
коэффициентами:
Общее решение уравнения (23) запишем в виде:
Составляем характеристическое уравнение однородного
дифференциального уравнения
соответствующего уравнению (23):
. (25)
Уравнение (24) содержит в левой части только положительные
слагаемые, поэтому оно не имеет действительных корней. Покажем, что
у комплексных корней действительные части отрицательные.
Необходимым и достаточным условием отрицательности
действительных частей всех корней многочлена (24) является
положительность всех главных диагональных миноров матрицы РаусаГурвица
Вычисляем главные миноры этой матрицы:
Так как все миноры матрицы Рауса-Гурвица положительны, то
действительные части комплексных корней уравнения (25) являются
отрицательными. Поэтому все слагаемые общего решения
. (23)
.
,
.
(24)
.
25
однородного уравнения (24) содержат экспоненты с отрицательными
показателями, следовательно, убывают при увеличении t.
По условию задачи ограничиваемся установившимся процессом,
который определяется частным решением неоднородного уравнения
(23). Частное решение ищем в общем виде
Дифференцируем уравнение (26) по t и подставляем в неоднородное
уравнение (23). В результате будем иметь систему уравнений:
решение которой равно
Вычислим амплитуду решения
Падение напряжения на сопротивлении можно получить из
выражения (26) с учетом (27) и (28), умножением обеих его частей
на R, так как
Исследуем влияние частоты колебаний на отношение амплитуд
напряжения на сопротивлении к выходному напряжению. При малых
частотах , пренебрегая величинами порядка
. (26)
:
. Имеем:
.
(27)
(28)
. (29)
и выше, из (29)
26
получаем:
Зависимость (30) показывает, что колебания малой частоты
проходят через электрическую цепь, представленную на рис. 2,
практически не изменяя амплитуды.
Для больших частот главным членом подкоренного выражения в
формуле (29) является член со старшей степенью . Поэтому для таких
частот из формулы (29) имеем:
следовательно,
т. е. колебания высокой частоты практически не проходят через
электрическую цепь, изображенную на рис. 2.
Таким образом, эта цепь пропускает низкие частоты и почти не
пропускает высокие. Поэтому такая схема электрической цепи
называется фильтром низких частот.
. Откуда
. (30)
,
,
1.5. Решение систем линейных дифференциальных
уравнений в системах компьютерной математики
Пример 1.13. Решить систему
при начальных условиях .
Рассмотрим решение в системе Mathcad. Решим систему, применим
вычислительный блок Given/odesolve. Функция odesolve для системы
дифференциальных уравнений возвращает вектор функций
составляющий решение системы. Поэтому в качестве первого
аргумента функции нужно ввести вектор, состоящий из имен функций,
использованных при вводе системы. Второй аргумент – независимая
переменная t на интервале интегрирования, третий аргумент – верхняя
граница отрезка интегрирования, четвертый аргумент (необязательный)
27
,
.
– величина шага по переменной интегрирования. Количество нулевых
условий в блоке должно быть равно сумме порядков всех уравнений.
Решение системы дифференциальных уравнений обычно
представляют в фазовом пространстве, по каждой из осей которого
откладываются значения каждой из найденных функций X(t) и Y(t), а
решение представляет собой кривую, выходящую из точки, координаты
которой соответствуют начальным условиям. Множество решений,
построенное для всевозможных начальных условий, образует фазовый
портрет динамической системы.
Рис. 3.
28
В нашем случае фазовое пространство является координатной
плоскостью, а решение «накручивается» на аттрактор (стационарную
точку), называемый в теории динамических систем фокусом (см. рис.
3).
Рассмотрим решение этой же системы линейных
дифференциальных уравнений с использованием встроенной функции
rkfixed(y,a,b,n,F(x,y)), где
• y – вектор начальных значений неизвестных функций, входящих в
систему; в случае одного уравнения и одной неизвестной функции –
это просто число;
• a – начало отрезка интегрирования; именно в этой точке значения
неизвестных функций принимаются равными элементам вектора y;
• b – конец отрезка интегрирования;
• n – количество частей, на которые разбивается отрезок [a, b] при
решении системы;
• F(x,y) – векторная функция, элементы которой содержат правые
части уравнений системы в нормальной форме.
Возвращаемым значением функции rkfixed является матрица
(см. рис. 4, 5), первый столбец которой содержит точки, на которые
разбивается отрезок [a, b], а остальные столбцы – это значения функций
системы в этих точках.
При решении системы заменили x на y0, y на y1. Переменной Z
присвоили решение системы дифференциальных уравнений. Затем
построили графики функций. Аргумент в найденных функциях входит
в них лишь параметрически.
Рис. 4.
29
Рис. 5.
Пример 4.14. Решить систему
Решение.
Матрица коэффициентов для данной системы имеет вид:
. Составим характеристическое уравнение и решим его:
Таким образом, имеем комплексно сопряженные корни: λ
= 1
вектора, соответствующие значению 1
i – это собственные значения матрицы А. Найдем собственные
i. Помним, что второй
корень новых решений не даст.
Имеем λ2 = 1 -
i. Тогда:
.
.
Пусть b1 = i, тогда b2 = -
соответствующий данному значению:
. Собственный вектор,
.
1,2
=
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]