Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие
.pdf
Решение.
Дифференцируем по первое уравнение системы (34):
,
Заменяем
, используя второе уравнение системы (34). Получим
. (35)
Выразим из первого уравнения системы (34):
и подставим в равенство (35). В результате получаем уравнение
,
которое является линейным неоднородным дифференциальным
уравнением второго порядка:
Решением уравнения (37) является сумма решения однородного
уравнения и частного решения неоднородного уравнения:
.
Для однородного уравнения характеристическим
уравнением является уравнение вида: . Его корни:
, . Тогда решение однородного уравнением имеет вид:
Частное решение неоднородного уравнения (37) будем искать в
виде:
(34)
(36)
. (37)
.
41
.
Коэффициенты найдем, подставив
и второго порядка от в уравнение
Тогда и .
Следовательно, общее решение неоднородного уравнения (37):
. (38)
Вторую неизвестную функцию находим из первого уранвения
системы (36):
, подставляя в него найденное выражение
для функции из формы (38) и ее прозводной
:
. (39)
Совокупность двух найденных функций (формулы 38 и 39) является
общим решением данной системы.
Пример 2.2. Найти частное решение системы линейных
неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами:
удовлетворяющее начальным условиям: .
Решение.
Сначал находим общее решение данной системы. Дифференцируем
по первое уравнение:
,
и производные первого
:
.
42
и, заменяя в результате производную ее выражением через и
определяемым из данной системы, получим уравнение второго порядка
с одной неизвестной функцией :
.
Решая его как простейшее уравнение высшего порядка путем
двукратного интегрирования обеих частей или как линейное
неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами, найдем
.
Подставляя найденную функцию и ее производную
в первое уравнение данной системы, найдем
Совокупность функций и есть общее решение данной системы.
Далее, исходя из заданных начальных условий, определяем значения
постоянных и . Из первого условия: при и равенства
имеем уравнение
а из условия: при и равенства
имеем второе уравнение с неизвестными и
Решая эти уравнения как систему, найдем и .
Подставляя эти значения и
частное решение данной системы, удовлетворяющее данным
начальным условиям:
, .
.
,
в общее решение, получим искомое
:
,
2.2. Метод интегрируемых комбинаций и метод
вариации произвольных постоянных
Систему линейных неоднородных уравнений можно решать путем
приведения их к одному уравнению более высокого порядка методом
43
интегрируемых комбинаций или методом вариации произвольных
постоянных.
Для метода интегрируемых комбинаций обычно более удобна
симметричная (или симметрическая) форма записи системы
дифференциальных уравнений:
При интегрировании системы методом интегрируемых комбинаций
часто оказывается полезным свойство равных дробей (или производных
пропорций):
Метод вариации произвольных постоянных применяется в том
случае, если удается решить соответствующую однородную систему
уравнений:
Если , где
, – произвольный постоянный вектор, – общее
решение однородной системы
неоднородной системы
Компоненты вектора определяются из системы уравнений
Общее решение линейной неоднородной системы есть сумма
общего решения соответствующей ей однородной системы и какогонибудь одного решения неоднородной системы.
Пример 2.3. Решить систему уравнений
Решение.
Сложив почленно оба уравнения, получим линейное уравнение с
неизвестной функцией :
если
, то
.
, то общее решение
– фундаментальная матрица системы
ищем в виде .
.
.
.
44
.
Решение соответствующего ему однородного уравнения есть
. Решение неоднородного уравнения ищем в виде
т. е.
. Функцию
определяем из уравнения
. Таким образом,
,
.
Вычитая почленно из первого уравнения данной системы второе,
имеем
. Отсюда находим
.
Из уравнений для суммы и разности функций получим
,
.
Пример 2.4. Решить систему методом интегрируемых комбинаций:
Решение.
Запишем систему в симметричной форме:
,
.
Из равенства первой и третьей дроби получим один первый
интеграл:
, ,
45
,
Другой первый интеграл системы получим, используя свойства
равных дробей:
, ,
или
.
Убедимся, что найденные первые интегралы
и
независимы, составив и вычислив якобиан. Имеем:
и ,
.
Таким образом, первые интегралы действительно независимы и
общий интеграл системы имеет вид
Пример 2.5. Решить систему уравнений
Решение.
Общее решение соответствующей однородной системы
есть ,
.
.
46
Общее решение данной системы уравнений ищем в виде
,
Функции
и
определяем из уравнений
,
,
Отсюда получим
,
где и
– произвольные постоянные. Подставляя найденные
выражения в выражения для функций и , находим общее решение
данной системы:
,
Пример 2.6. Решить систему уравнений
Решение.
Общее решение однородной системы
, .
Решение неоднородной системы ищем в виде
, .
Для определения функций
,
и
имеем уравнения
Отсюда
.
.
.
.
есть
.
,
47
,
.
Интегрируя, находим
,
,
Поэтому , .
2.3. Метод неопределенных коэффициентов
Для линейной неоднородной системы с постоянными
коэффициентами, т. е. системы
в которой матрица – постоянная, в некоторых случаях частное
решение может быть найдено методом неопределенных
коэффициентов. Это можно сделать в том случае, если функции
состоят из сумм и произведений функций ,
, .
В случае, когда
, частное решение неоднородной линейной системы
дифференциальных уравнений ищем в виде
где
– многочлены степени с неизвестными
коэффициентами, , , если не является собственным
числом матрицы , а если – собственное число матрицы , то можно
взять равным кратности этого числа (или, точнее, на единицу больше
наибольшей из степеней многочленов, на которые умножаются
общем решении однородной системы).
Неизвестные коэффициенты многочленов
подстановки выражения
коэффициентов подобных членов.
Аналогично определяются степени многочленов и в случае, когда
,
, где
,
– многочлен степени
,
определяются путем
в данную систему и сравнения
,
48
в
,
a является собственным числом матрицы .
Пример 2.7. Решить систему уравнений
Решение.
Найдем общее решение однородной системы:
,
Частное решение неоднородной системы найдем методом не-
определенных коэффициентов, полагая
, .
Подставляя эти выражения в данную систему уравнений, получим
уравнения для определения коэффициентов
, , ,
.
Решая эти уравнения, найдем .
Общее решение данной системы уравнений запишем в виде
,
.
Пример 2.8. Решить систему уравнений
Решение.
Находим корни характеристического уравнения соответствующей
однородной системы:
.
:
49
Общее решение однородной системы есть
Поскольку – корень характеристического уравнения однородной
системы, частное решение данной системы ищем в виде:
,
Подставляя эти выражения в данную систему, получаем уравнения
для определения неизвестных коэффициентов , (
, , ,
Из этих уравнений находим
. Частное решение неоднородной системы
а ее общее решение
,
Пример 2.9. Решить систему уравнений
Решение.
Корнями характеристического уравнения соответствующей
однородной системы являются , .
Общее решение однородной системы есть
, .
Частное решение неоднородной системы ищем методом
неопределенных коэффициентов.
Возможны два случая: а) ; б) . Рассмотрим случай а.
, , , .
,
, .
,
.
,
.
):
.
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]