Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие
.pdf
Запишем решение, выделив действительную и мнимую части:
Общее решение системы имеет вид:
В Mathcad для решения систем линейных ОДУ вида
есть встроенная функция
statespace(y0,t1,t2,M,A,B,u), где
• y
– вектор-столбец начальных условий, длина которого равна
0
числу неизвестных состояний;
• t1, t
– начальная и конечная точки интервала интегрирования;
2
• M – целое число, количество интервалов дискретизации,
используемое при интерполяции функции решения; количество
точек решения равняется количеству интервалов + 1.;
• A – матричная функция размера NN вида A(t), где n – число
неизвестных состояний. Элементами A(t) являются функции
независимой переменной t.
• B – (необязательный) – матрица Nk или вектор-функция вида B(t),
элементами которой являются функции t;
• u – (необязательный) – функция (скалярная, если k = 1; или
векторная размера k1 ). Аргумент u является обязательным, если
задан аргумент B.
Функция statespace возвращает матрицу решения (M + 1) × (N + 1),
где N – число неизвестных состояний. Первый столбец матрицы
содержит значения t, в которых вычисляются решения. Это (M + 1)
значений, равномерно распределенных между t1 и t2. Остальные
столбцы содержат значения решений x
значениям t из первого столбца.
Пример использования функции statespace приведен ниже (см. рис.
6, 7). Переменным D и D2 присвоили частные решения системы
дифференциальных уравнений. Решения системы представили в
фазовом пространстве.
, x1, ..., x
0
n-1
, соответствующие
31
Рис. 6.
32
Рис. 7.
Пример 1.15. Решить систему
условиях .
В системе Maple для решения системы дифференциальных
уравнений применяют функцию dsolve. На рис. 8, 9 представлено
решение системы дифференциальных уравнений различными методами
— в явном виде, в виде разложения в ряд, в виде графических
зависимостей.
Для получения графика решения использовали функцию dsolve с
параметром numeric. При этом решение возвращается в виде
специальной процедуры, по умолчанию реализующей широко
известный метод решения дифференциальных уравнений Рунге—
Кутта—Фелберга порядков 4 и 5 (в зависимости от условий адаптации
решения к скорости его изменения). Эта процедура называется rkf45 и
символически выводится (без тела) при попытке решения заданной
системы дифференциальных уравнений.
Указанная процедура возвращает особый тип данных, позволяющих
найти решение в любой точке или построить график решения (или
решений). Для построения графика полученного решения использовали
функцию plot[odeplot] из пакета odeplot, предназначенного для
визуализации решений дифференциальных уравнений. Применив
команду DEplot, построили фазовый портрет найденного решения.
при начальных
33
Рис. 8.
34
Рис. 9.
Пример 1.16. Решить систему
при
начальных условиях .
Решение.
Рассмотрим решение в Maple.
Для построения фазового портрета решения использовали функцию
phaseportrait. Функциональная окраска линии фазового портрета
достигается использованием параметра linecolor, в правой части
которого задана формула для цвета (см. рис. 10, 11).
Рис. 10.
35
Рис. 11.
36
Задачи для самостоятельного решения
Найти общие решения систем линейных дифференциальных
уравнений первого порядка:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Найти решение задачи Коши для систем линейных
дифференциальных уравнений первого порядка:
1.
2.
3.
4.
.
.
.
.
37
Вопросы для контроля
1. Каков общий вид системы линейных дифференциальных
уравнений первого порядка в нормальной форме с n неизвестными
функциями?
2. Что называется общим и частным решением такой системы?
3. Каков общий вид системы начальных условий для системы
линейных дифференциальных уравнений?
4. В чем суть метода исключения (сведения системы
дифференциальных уравнений к уравнению высшего порядка)?
5. Какая система дифференциальных уравнений называется
однородной?
6. В чем суть матричного метода решения системы линейных
дифференциальных уравнений?
7. В каком виде ищет решения системы линейных
дифференциальных уравнений, решаемой матричным методом?
8. Какое уравнение в матричном методе называется
характеристическим?
9. От чего зависит вид частного решения системы?
10. Какие возможные общие решения системы линейных
дифференциальных уравнений в зависимости от корней
характеристического уравнения?
38
2. НЕОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Цели и задачи изучения темы
Освоить понятия системы линейных неоднородных
дифференциальных уравнений.
Рассмотреть основные методы решения систем линейных
неоднородных дифференциальных уравнений.
Рассмотреть примеры решения задач естествознания с
применением систем линейных неоднородных
дифференциальных уравнений первого порядка.
2.1. Основные понятия теории линейных
неоднородных систем дифференциальных
уравнений
Линейное неоднородной системой дифференциальных уравнений
называется система вида
,
или в векторной записи
,
где
– вектор неизвестных функций, –
матрица, компонентами которой являются функции ; – вектор
функция с компонентами .
Интегрирование системы линейных неоднородных уравнений,
путем исключения неизвестных функций (и их производных), как
правило, можно свести к интегрированию одного линейного
дифференциального уравнения -го порядка относительно одной из
неизвестных функций
:
,
.
39
Остальные неизвестные функции выражаются через общий
интеграл этого уравнения посредством одних алгебраических действий
и дифференцирования.
Например, чтобы найти общее решение системы двух линейных
дифференциальных уравнений первого порядка
где и – искомые функции от независимой переменной ; , ,
– известные постоянные; , – известные функции от ,
дифференцируем по первое уравнение
и, исключая и
из трех уравнений (31) и (32), получим одно линейное
дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными
коэффициентами
, (33)
, ,
и с одной неизвестной функцией . Интегрируя уравнение (33), найдем
. Подставив найденное выражение функции и ее
производной
в первое уравнение системы (31), найдем вторую
искомую функцию . Совокупность функций и и
будет общим решением системы (31).
Чтобы найти частное решение системы линейных неоднородных
уравнений, удовлетворяющее заданным начальным условиям
следует из общего решения данной системы определить
соответствующие этим начальным условиям значения постоянных
.
Пример 2.1. Найти общее решение системы линейных
неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами:
(31)
(32)
(задача Коши),
,
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]