Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие
.pdf
Пример 1.5. Решить систему
Решение.
Матрица коэффициентов для данной системы имеет вид:
Тогда
уравнение и решим его:
Таким образом, имеем комплексно сопряженные корни: k
– это собственные значения матрицы А. Найдем собственные вектора,
соответствующие значению 1 - 3i. Помним, что второй корень новых
решений не даст.
Имеем k = 1 - 3i. Тогда:
Пусть b1 = i, тогда b2 = -1. Собственный вектор, соответствующий
данному значению:
Воспользуемся формулой Эйлера:
Запишем решение, выделив действительную и мнимую части:
Действительная и мнимая части соответствуют разным решениям:
.
. Составим характеристическое
.
. Тогда решение будет:
.
= 1 3i
1,2
.
11
Общее решение системы имеет вид:
или
.
Пример 1.6. Решить систему
Решение.
Матрица коэффициентов для данной системы имеет вид:
.
Тогда
. Составим
характеристическое уравнение и решим его:
Таким образом, имеем один простой вещественный корень k1 = 1 и
комплексно сопряженные корни k
= 1 2i – это собственные значения
2,3
матрицы А. Найдем собственные вектора, соответствующие значению
k1 = 1. Имеем:
.
12
Пусть b2 = 1, тогда b3 = -1. Собственный вектор, соответствующий
данному значению:
Найдем решения, соответствующие комплексному собственному
значению k2 = 1 + 2i. Имеем:
Приведем матрицу к диагональному виду:
Таким образом, получим:
Пусть b2 = 1, тогда b3 = 3, b1 = 2i. Тогда найдем решение:
Выделяя действительную и мнимую части, получили два частных
решения:
. Тогда решение будет:
.
13
Окончательно, общее решение системы имеет вид:
Записав Х как вектор функций, можно найти общее решение по
каждой отдельной функции.
Пример 1.7. Решить систему
Решение.
Матрица коэффициентов для данной системы имеет вид:
Тогда
.
Составим характеристическое уравнение и решим его:
Таким образом, имеем трехкратный вещественный корень k
то есть кратность s = 3. Вычислим ранг матрицы ( ):
.
Значит ранг r = 1, тогда m = n – r = 3 – 1 = 2, где n = 3 – число уравнений
системы. Так как s – m = 1, то решение имеет вид: X = (U + tV)ekt, где
1,2,3
= 1,
14
Подставим Х в систему X’ = AX: kU + V + tkV = A(U + tV).
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях t:
.
То есть
Имеем:
Это матричное уравнение имеет решение, если ранг матрицы (
), который равен 1, равен рангу расширенной матрицы ( ):
Ранг равен 1, если
.
Из второго уравнения получаем
, тогда
,
где
– произвольная постоянная.
Найдем вектор U:
.
.
.
15
Следовательно, , где
выбираются произвольно.
Значит,
. Тогда решение системы имеет
вид:
.
Как и в примере 1.6, записав Х как вектор функций, можно найти
общее решение по каждой отдельной функции.
1.3. Метод интегрируемых комбинаций
В некоторых случаях решение системы дифференциальных
уравнений можно найти, используя метод интегрируемых комбинаций,
который состоит в следующем. Комбинируя уравнения системы и
проводя затем несложные преобразования, удается получить легко
интегрируемые уравнения.
Пример 1.8. Решить систему уравнений
условиях: x(0) = 1, y(0) = 2.
Решение.
Составляем первую интегрируемую комбинацию, разделив первое
уравнение на второе:
Разделяя переменные в полученном уравнении
и интегрируя, находим:
при начальных
16
.
Составляем вторую интегрируемую комбинацию, сложив первое и
удвоенное второе уравнения системы:
Отсюда получаем
Из системы уравнений
находим общее решение:
Используя начальные условия, определим произвольные постоянные:
Подставим найденные значения C1 и С2 в общее решение, получим
частное решение, которое удовлетворяет начальным условиям:
Пример 1.9. Решить систему уравнений, заданную в так называемой
симметричной форме:
Решение.
Рассмотрим первые две дроби:
,
.
.
.
.
.
17
Они образуют интегрируемую комбинацию. Разделяя переменные
и интегрируя, находим:
Для нахождения второй интегрируемой комбинации воспользуемся
свойством равных дробей: если
то при любых k1, k2,…, kn имеем
Полагаем k1 = z, k2 = z, тогда
Сократив на z и разделяя переменные, получаем:
откуда интегрируя, находим:
, где .
,
.
,
.
1.4. Применение систем линейных
дифференциальных уравнений для решения
задач естествознания
Пример 1.10. Траектория снаряда. Рассмотрим полет снаряда
массы m, который вылетает из орудия с начальной скоростью v0.
Считаем, что на снаряд действует только сила тяжести F, а силу
18
сопротивления воздуха для простоты не будем принимать во внимание.
Необходимо определить траекторию движения снаряда.
Решение.
За начало координат примем точку вылета снаряда из орудия, ось Oy
направим вертикально вверх, а Ox горизонтальна. Так как скорость v
полета снаряда всегда направлена по касательной к траектории, то
направление скорости меняется с течением времени t. Поэтому
разложим силу F на составляющие Fx и Fy и скорость v на составляющие
vx и vy в направлении осей координат. Тогда движение в плоскости Oxy
можно рассматривать как результат сложения двух движений:
движения вдоль оси Ox под действием силы Fx со скоростью vx и
движения вдоль оси Oу под действием силы Fу со скоростью vу.
Применяя к каждому их этих движений второй закон Ньютона, имеем:
В каждом из уравнений (6) сила и скорость направлены вдоль одной
прямой: в первом уравнении – вдоль оси Ох, а во втором вдоль оси Оу.
Пусть ствол орудия составляет угол с положительным направлением
оси Ох. Угол называют углом бросания. Поскольку сила тяжести F
направлена к земле, то Fx = 0, а Fу = -mg, где g – ускорение свободного
падения. В этом случае система уравнений (6) принимает вид:
Зададим начальные условия: пусть функции vx(t) и vy(t) в момент
вылета снаряда из орудия при t = 0 равны:
Решая систему уравнений (6) при начальных условиях (7) и (8),
находим:
(6)
(7)
,
. (8)
, (9)
19
. (10)
Для нахождения координат x и y применим определение проекции
вектора скорости на ось координат:
С учетом формул (9) и (10), из (11) имеем:
В начальный момент времени снаряд находился в начале координат,
поэтому
Интегрируя систему дифференциальных уравнений (12) от 0 до t и
используя начальные условия (13), получаем формулы для определения
положения снаряда в любой момент времени t:
Формулы (14) представляют собой параметрическое задание кривой
y = y(x) при различных значениях параметра t. Исключим параметр t из
этих формул. Из первого уравнения имеем:
Подставляем это значение во второе уравнение (14), находим:
Из (15) видно, что если не учитывать сопротивление воздуха, то
(11)
(12)
x = 0, y = 0 при t = 0. (13)
(14)
.
(15)
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]