Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие
.pdf
Если , то частное решение неоднородной системы ищем в виде
, .
Подставляя эти выражения в данную систему уравнений и
приравнивая коэффициенты при и , получим уравнения
для определения коэффициентов
, , ,
Решая эти уравнения, найдем
. Искомое частное решение есть
,
Поэтому общее решение запишем в виде
Рассмотрим случай б. Если , то частное решение
неоднородной системы ищем в виде
,
.
Подставив эти выражения в данную систему уравнений, получим
уравнения для определения коэффициентов , (
, , ,
, .
Из этих уравнений находим
. Таким образом, искомое частное решение
есть
:
.
,
.
.
):
51
Рис. 12.
,
а общее решение имеет вид
,
,
.
2.4. Неоднородные системы уравнений,
описывающие процессы естествознания.
Пример 2.10. (Задача о гашении колебаний.)
На тело массы
вертикальном направлении действует
возмущающая сила (см. рис. 12).
Чтобы уменьшить амплитуду колебаний этого тела,
к нему также на пружине прикрепляется другое
тело массы . Каковы должны быть масса
второго тела и коэффициент упругости пружины, к
которой оно прикреплено, чтобы тело массы
совершало колебаний с частотой вынуждающей
силы ?
Решение.
За исходное положение примем положение
равновесия этих двух тел. Обозначим через и
вертикальные смещения центров тяжести этих тел
во время колебаний. Обозначим силы упругости,
действующие на два тела, соответственно через
и . Согласно закону Гука, ,
, где и
пружин (растяжение нижней пружины равно разности смещения
ее концов).
На тело массы действует сила , направленная вверх (при
); на тело массы кроме возмущающей силы действуют еще сила
, направленная вверх (при ), и сила
). На основании второго закона Ньютона составляем уравнения
движения:
, подвешенное на пружине, в
– коэффициенты упругости
, направленная вниз (при
не
52
или, учитывая выражения для , и , имеем
.
Если обозначить
;
приходим к системе уравнений
.
Дифференцируя дважды первое из этих уравнений и исключая , для
определения смещения получаем линейное дифференциальное
уравнение четвертого порядка:
Характеристическое уравнение, соответствующее однородному
уравнению, есть
.
Отсюда
поэтому выражения
Так как
,
.
и
и
;
;
,
;
;
;
.
. Подкоренное выражение
,
– действительные.
,
, то
, то
53
Обозначив
характеристического уравнения: , , ,
и общее решение однородного уравнения запишем в виде
или
.
Величины и
системы. Предполагая, что частота вынуждающей силы отлична
от и
, частное решение неоднородного уравнения ищем в виде
(здесь нет смысла искать решение в виде
, так как неоднородное решение содержит только производные
четного порядка, а в правой части нет члена ).
Для определения постоянной получим уравнение
Отсюда
неоднородного уравнения имеет вид
Так как из первого уравнения
то, подставляя в это выражение найденное решение , получим
и
, найдем корни
называются частотами собственных колебаний
.
. Следовательно, общее решение
.
системы следует, что
,
.
54
Отсюда видно, что тело массы
частотой вынуждающей силы, если , т. е. если
Но
– это собственная частота гасителя колебаний (тела массы
подвешенного на пружине с коэффициентом упругости
образом, чтобы максимально уменьшить колебания тела массы
нужно массу и коэффициент упругости
не будет совершать колебаний с
). Таким
подобрать так, чтобы
частота свободных колебаний гасителя совпадала с частотой
возмущающей силы.
Пример 2.11. (Задача о движении точки относительно земного
шара). Дифференциальные уравнения движения свободной
материальной точки относительно земного шара под действием силы
тяжести имеют вид
,
,
,
где – широта точки, – угловая скорость вращения земного шара.
Определить зависимость положения точки от времени, если при
точка находилась в начале координат.
Решение.
Дифференцируя обе части первого уравнения и подставляя вместо
его значение из второго уравнения, получим относительно
линейное дифференциальное уравнение третьего порядка:
.
Общее решение однородного уравнения, соответствующего
данному, есть
.
Его частное решение ищем в виде . Легко находим, что
, .
Таким образом,
.
,
,
55
.
.
,
,
,
.
новые
Отсюда
Наконец, дважды интегрируя третье уравнение данной системы,
находим
Вводя в равенствах для и вместо постоянных и
постоянные и по формулам , ,
преобразуем указанные равенства к виду
.
Из начальных условий при находим
; ; . Окончательно получим
,
(здесь вместо написано ).
Зависимость положения точки от времени определяется
уравнениями
,
.
56
Пример 2.12. (Конкурентное уравнение Лотки–Вольтерры и его
обобщения) Первой содержательной математической моделью,
описывающей биологические сообщества (если не считать
исследований Фибоначчи популяции кроликов, приведших его к
знаменитым числам, носящим его имя, а также исследований Мальтуса,
приведших впоследствии к известному уравнению
мальтузианского роста) была модель Лотки–Вольтерры. Она описывает
популяцию, состоящую из двух взаимодействующих видов. Первый из
них, именуемый хищниками, при отсутствии второго вымирает по
закону
(),
а второй – жертвы – при отсутствии хищников неограниченно
размножается в соответствии с законом Мальтуса. Взаимодействие
двух этих видов моделируется так. Жертвы вымирают со скоростью,
равной числу встреч хищников и жертв, которое в данной модели
предполагается пропорциональным численности обеих популяций, т. е.
равной (). Поэтому
.
Хищники же размножаются со скоростью, пропорциональной числу
съеденных жертв:
().
Система уравнений
описывающая такую популяцию хищник – жертва и называется
системой (или моделью) Лотки–Вольтерры.
Система имеет две стационарные точки: и
интегралом этой системы является функция:
Таким образом, численности популяций хищников и жертв совершают
()
. Первым
.
57
рассогласованные по фазе автоколебания (см. рис. 13).
Рис 13.
Такое поведение часто наблюдается в природе. Однако, система
Лотки–Вольтерры обладает одним существенным недостатком: она
неустойчива по отношению к малым возмущениям самой модели,
точнее, не является грубой.
Поскольку в реальных популяциях присутствует много
возмущающих факторов, не учтенных в модели Лотки–Вольтерры, эта
модель вряд ли может претендовать на адекватное описание
реальности. Этого недостатка лишена модель Холлинга–Тэннера,
учитывающая большее число реальных факторов. В этой модели
скорость изменения популяции хищников задается выражением
Оно выбрано из следующих соображений. Когда пищи (жертв)
много, популяция хищников растет по правилу Мальтуса с показателем
. С уменьшением числа жертв скорость роста популяции хищников
падает и при
становится отрицательной (последнее, грубо
говоря, является следствием предположения, что для поддержания
жизни одного хищника необходимо
Скорость изменения популяции жертв состоит из трех компонент.
Первый член соответствует закону Мальтуса, второй
описывает внутривидовую конкуренцию и вызван ограниченностью
ресурсов экологической ниши, занимаемой популяцией жертв. При
отсутствии хищников жертвы подчиняются уравнению
Наконец, третий компонент скорости изменения популяции жертв в
модели Холлинга–Тэннера описывает ее взаимодействие с хищниками
.
жертв).
.
58
и имеет вид
описывает межвидовое взаимодействие, нежели соответствующий член
модели Лотки–Вольтерры. В последней число жертв, убиваемых
одним хищником за единицу времени, равно и растет
пропорционально числу жертв, что неправдоподобно. В модели
Холлинга–Тэннера коэффициент хищничества равен
превышать величины
стремится, монотонно возрастая, к числу
естественную потребность хищников в пище. В результате получается
следующая система уравнений (модель Холлинга–Тэннера):
( ). Это выражение правдоподобнее
. Он не может
и при неограниченном росте популяции жертв
, выражающему
2.5. Решение неоднородных систем
дифференциальных уравнений в системах
компьютерной математики
Пример 2.13. Найти частное решение системы линейных
неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами:
условиям .
Решение.
Рассмотрим решение в системе Maple.
Для решения неоднородной системы дифференциальных уравнений
применим функцию dsolve. На рис. 14, 15 представлено решение
системы дифференциальных уравнений различными методами — в
явном виде, в виде разложения в ряд, а также численное решение виде
графических зависимостей.
удовлетворяющее начальным
59
Рис.14.
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]