Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Системный анализ в вопросах и ответах. Учебное пособие
.pdf
41
2. Расчет количества совпадений
nj
kjk
n
1
,
где
k
n
– число наблюдений k-го класса; n – общее число наблюдений.
3. Вычисление относительных частот классов, например:
частота k-го класса
n
n
p
k
k
.
4. Сравнение этих частот между собой, например:
k
k
pk maxar
max
,
где
max
k
– номер наиболее часто встречающегося класса.
5. Выполнение различных статистических процедур.
Вопрос 5.11. В чем заключаются особенности порядковых шкал?
Ответ. Порядковая шкала (или ранговая шкала) – это шкала, следу-
ющая по силе за номинальной шкалой, когда классы обозначаются символами и между символами устанавливаются отношения порядка (нумерация очередности, воинские звания, призовые места в конкурсе и т. д.).
Характерная особенность этих шкал в том, что наблюдения, за-
фиксированные в таких шкалах, не являются числами, даже если они
представлены цифрами (номера мест, занятых в соревновании, и т. п.).
Над ними нельзя производить арифметические операции и вообще любые действия, результат которых изменится при преобразованиях шкалы.
Допустимые операции над порядковыми наблюдениями вытекают
из отношений, определяющих эти шкалы, т. е. из отношений эквивалентности и предпочтения.
В порядковых шкалах можно выделить:
шкалы совершенного порядка;
шкалы квазипорядка;
шкалы частичного порядка.
Класс шкал совершенного порядка появляется, если, кроме аксиом
эквивалентности, 1‒3 классы удовлетворяют аксиомам упорядоченности:
4. Если А В, то либо А > В, либо В > А.
5. Если А > В и В > С, то А > С.
Примеры шкал совершенного порядка: нумерация очередности,
воинские звания, призовые места в конкурсе.
Шкалы квазипорядка возникают, если оказывается, что некоторые
пары классов считаются равными.
В таком случае аксиомы 4 и 5 видоизменяются:
42
4! Либо А В, либо А В.
5! Если А В и В С, то А С.
Примеры шкал квазипорядка: упорядочение по степени родства с
конкретным лицом (мать = отец > сын = дочь, дядя = тетя < брат = сестра и т. п.)
Шкалы частичного порядка возникают, если имеются пары клас-
сов, несравнимые между собой, т. е. ни А В, ни В А.
Такая ситуация возникает чаще всего в социологических исследо-
ваниях субъективных предпочтений.
Например, при изучении покупательского спроса субъект часто не
в состоянии оценить, какой именно из двух разнородных товаров ему
больше нравится (клетчатые носки или фруктовые консервы, велосипед
или магнитофон и т. д.); затрудняется человек и упорядочить по предпочтению любимые занятия (чтение литературы, плавание, вкусная еда,
слушание музыки).
Таким образом, порядковые шкалы могут быть различными. Разнообразие порядковых шкал не исчерпывается вышеперечисленными
шкалами.
Иногда число градаций в шкале задается заранее, и эксперимент
лишь определяет, к какому из упорядоченных классов относится
наблюдаемый объект (например, оценка на экзамене, сила землетрясения, воинское звание и т. д.).
В других случаях эталонные классы отсутствуют, а упорядочение
проводится непосредственным попарным сравнением самих рассматриваемых объектов (например, выстраивание солдат в шеренгу по росту,
определение мест в результате спортивных соревнований, музыкальных
конкурсов и т. д.).
Недостатки шкалы:
отношение порядка ничего не говорит о «дистанциях» между
классами или объектами;
наблюдения, зафиксированные в таких шкалах, не являются чис-
лами;
у этих шкал нет общепринятого или абсолютного стандарта;
над данными нельзя производить арифметические операции.
Например, нельзя вычислять среднее арифметическое порядковых измерений (примером заблуждения является «средний балл» в школах и
вузах, который недавно был отменен).
Допустимые операции над данными в порядковой шкале:
1) проверка принадлежности наблюдения к заданному классу с по-
мощью символа Кронекера
43
,;0;:1
jijiij
xxxx
где i – номер наблюдения; j – номер класса или другого наблюдения;
2) проверка отношения предпочтения:
ij
C
{1, если объект с индексом i предпочтительнее объекта с ин-
дексом j или эквивалентен ему; 0, если верно обратное предпочтение},
где
ij
C
– индикаторная функция.
Результаты этих операций
ij
и
ij
C
являются двоичными числами,
над ними уже можно производить арифметические и логические операции;
3) установление номера (ранга) i-го наблюдения в упорядоченном
ряду
1
,..., ,...,
in
x x x
:
nj
iji
CR
1
,
где i, j – номера наблюдений;
4) нахождение частот, как в номинальной шкале;
5) сравнение частот, как в номинальной шкале.
Пример порядковых шкал: испытание умственных способностей,
при котором измеряется время, затрачиваемое испытуемым на решение
тестовой задачи. Время хотя и измеряется в числовой шкале, но как мера интеллекта принадлежит порядковой шкале. Функциональная связь
(ее вид) между ними неизвестна.
Вопрос 5.12. В чем состоит различие между порядковыми шкалами
и модифицированными порядковыми шкалами?
Ответ. Модификация (усиление) порядковой шкалы заключается в
том, что с полученными данными начинают обращаться как с числами,
но это не выводит шкалу из класса порядковых шкал.
Рассмотрим некоторые из известных модификаций.
1. Шкала твердости по Моосу. Из двух минералов тверже тот, ко-
торый оставляет на другом минерале царапины или вмятины при достаточно сильном соприкосновении. «А тверже В» – типичное отношение
порядка.
В 1811 г. немецкий минералог Ф. Моос предложил установить
стандартную шкалу твердости. За эталоны приняты минералы с возрастающей твердостью:
1 – тальк; 4 – флюорит; 7 – кварц; 10 – алмаз.
2 – гипс; 5 – апатит; 8 – топаз;
3 – кальций; 6 – ортоклаз; 9 – корунд;
44
Промежуточных единиц градаций твердости эта шкала не имеет.
Градация твердости все равно не несет числового характера: нельзя
говорить, что алмаз в 2 раза тверже апатита и т. д.
2. Шкала десятибалльная для оценки общей коррозионной стой-
кости металлов.
Таблица 5.2
Балл
Скорость коррозии металла,
мм/год
Группа стойкости
1
Менее 0,001
Совершенно стойкие
2
0,001–0,005
Весьма стойкие
3
0,005–0,01
Весьма стойкие
4
0,01–0,05
Стойкие
5
0,05–0,1
Стойкие
6
0,1–0,5
Пониженно-стойкие
7
0,5–1,0
Пониженно-стойкие
8
1,0–5,0
Малостойкие 9 5,0–10,0
Малостойкие
10
Свыше 10,0
Нестойкие
3. Шкала силы ветра по Бофорту. В 1806 г. английский гидро-
граф и картограф адмирал Ф. Бофорт предложил балльную шкалу силы
ветра, определяя ее по характеру волнения моря: 0 – штиль (безветрие),
4 – умеренный ветер, 6 – сильный ветер, 10 – шторм (буря), 12 – ураган.
Кроме штиля, градации силы ветра имеют условный, качественный характер.
4. Шкала твердости резины (число твердости резины). Твер-
дость резины оценивают по методу Шора от 0 до 100 единиц и в международных единицах от 30 до 100 единиц. Метод Шора заключается в
измерении сопротивления резины погружению в нее индентора под
действием предварительной 0,55 Н и дополнительной нагрузок. При
этом 0 соответствует максимальному проникновению индентора
(2,54 мм), а 100 – нулевому проникновению. Соотношение числа твердости и общей нагрузки приведено ниже в табл. 5.1.
Таблица 5.1
Твердость
по Шору
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Нагрузка,
Н
0,55
1,30
2,05
2,89
3,56
4,31
5,06
5,81
6,56
7,31
8,06
45
5. Балльные шкалы оценки знаний учащихся. Слушая ответы
учащихся, и сравнивая их письменные работы, опытный преподаватель
может установить, чьи ответы лучше, кто в классе лучше других знает
данный предмет; это типичное отношение порядка.
Потребность общества в официальном определении степени квалифицированности проходящих обучение способствовала введению
общепринятых шкал для оценивания знаний учащихся в виде баллов. Все
участвующие в процессе обучения испытывают неточность, приблизительность этой шкалы.
Одна из попыток «улучшить» шкалу баллов состоит в увеличении
числа градаций.
В наших школах принята 5-балльная система оценок, в вузах –
2-балльная (для зачетов) и 4-балльная (для экзаменов), в некоторых европейских странах – 10-балльная, а в англоязычных странах –
100-балльная система.
Это не спасает положение, и преподаватели неофициально вводят
дополнительные градации – плюсы, минусы, точки. Введение рейтинговой системы оценки знаний учащихся – это тоже попытка улучшить
имеющиеся оценочные шкалы.
Все это происходит потому, что не существует абсолютного
стандарта знаний.
Вопрос 5.13. Почему в интервальных шкалах только интервалы
имеют смысл настоящих чисел?
Ответ. Шкалы интервалов используются, если упорядочивание
объектов можно выполнить настолько точно, что известны расстояния
между любыми двумя из них.
Все расстояния выражаются в единицах, хотя и произвольных, но
одинаковых по всей длине шкалы.
Следствием такой равномерности шкал этого класса является независимость отношения двух интервалов от того, в какой из шкал эти интервалы измерены (т. е. какова единица длины интервала и какое значение принято за начало отсчета).
Формализуем описание шкалы интервалов.
Пусть М – множество совершенно упорядоченных элементов, для
каждой пары c, d которых задано вещественное число р (c, d), удовле-
творяющее следующим условиям:
1) если c < d, то р (c, d) > 0;
2) если с M и r – вещественное число, то найдутся такие d, e,
M, что р (c, d) = r, р (с, е) = –r;
3) для любых (с, d, e) M верно равенство р (c, d) + р (d, е) = р (с, е).
46
Множество М с таким бинарным отношением называется интервальной шкалой.
В шкале интервалов можно ввести систему координат.
Выберем для этого любую пару точек («репер») с, d M; точка с
играет роль начала координат, а интервал (с, d) – роль единичного интервала.
Тогда точка с будет иметь координату 0, а точка d – координату 1, а
точка е M – координату
p( , )
p( , )
e
ce
x
cd
.
Таким образом, интервальные шкалы могут иметь произвольные
начала отсчета и единицы измерения.
Поэтому в интервальных шкалах измеряются величины, которые по
своей физической природе либо не имеют абсолютного нуля, либо до-
пускают свободу выбора в установлении начала отсчета.
Примеры шкал интервалов: температурные шкалы Цельсия, Кельвина, Фаренгейта, Ранкина (табл. 5.3), высота от уровня моря, начало
летоисчисления и т. д.
Таблица 5.3
Соотношение между единицами (градусами) различных шкал
Единица
К
С
F
Rank
R
Кельвин, К
1 1 1,8
1,8
0,8
Градус Цельсия, C
1 1 1,8
1,8
0,8
Градус Фаренгейта, F
0,556
0,556 1 1
0,445
Градус Ранкина, Rank
0,556
0,556 1 1
0,445
Градус Реомюра, R
1,25
1,25
2,25
2,25
1
0 C = 273,15 K = 32 F = 491,67 Rank = 0 R;
100 C = 373,15 K = 212 F = 671,67 Rank = 80 R
Начало летоисчисления у христиан установлено от рождества Христова, а у мусульман – на 622 года позднее – от переезда Мухаммеда в
Медину. Высоту принято отсчитывать от уровня моря, но это привело к
тому, что большая часть Голландии имеет отрицательную высоту, так
как расположена ниже уровня моря.
Несмотря на произвольность начала отсчета, координаты интервальной шкалы иногда абсолютизируются (новый год, начало нового
века, абсолютная температура и т. д.), не учитывая того, что по физической природе эти величины не имеют абсолютного нуля.
47
Название «шкала интервалов» подчеркивает, что в этой шкале
только интервалы имеют смысл настоящих чисел и только над интер-
валами следует выполнять арифметические операции: если произвести
арифметические операции над самими отсчетами по шкале, то можно
получить бессмысленные результаты. Например, при нагреве воды от
9 до 18 С (по шкале Цельсия) можно сказать, что температура воды
увеличилась в 2 раза, а по шкале Кельвина (282 и 291 К) это утверждение будет ошибочно.
Допустимые операции над наблюдениями в интервальной шкале:
1) любые арифметические операции над интервалами;
2) подходящие способы статистической и иной обработки данных:
а) центральные моменты, дисперсия;
б) выборочное среднее – остается интервальной величиной
i
i
x
n
x
1
.
Вопрос 5.14. В чем заключается различие между интервальными
шкалами и шкалами разностей?
Ответ. Шкалы разностей (иногда их называют циклическими, или
периодическими) являются частным случаем интервальных шкал.
Соотношение между координатной и измеряемой (наблюдаемой)
величиной устанавливается с помощью уравнения
nbxy
, в котором
x – координата,
y – измеряемая величина,
b – период шкалы,
n – количество сдвигов, n = 0, 1, 2, …
Характерным параметром шкалы является постоянная b – период
шкалы.
Примеры шкал: шкала компаса, роза ветров, время суток (цифер-
блат часов), фаза колебаний (в градусах или радианах).
Допустимые операции над наблюдениями в шкале разностей –
арифметические действия.
Вопрос 5.15. Почему шкала отношений является более сильной
шкалой по сравнению с вышерассмотренными шкалами?
Ответ. Существенное усиление шкалы отношений заключается в
том, что измерения в такой шкале являются «полноправными» числами,
с ними можно выполнять любые арифметические действия (сложение,
вычитание, умножение, деление).
48
Наблюдаемые величины в шкале отношений должны удовлетворять не только аксиомам упорядоченности 4 и 5, но и аксиомам адди-
тивности 6‒9:
6. Если А = Р и В > 0, то А + В > P.
7. А + В = В + А.
8. Если А = Р и В = Q, то А + В = Р + Q.
9. (А + В) + С = А + (В + С).
Шкалы отношений обладают особенностью: отношение двух
наблюдаемых значений измеряемой величины не зависит от того, в какой из таких шкал произведены измерения:
11
22
, ( 0),
xy
y ax a
xy
где
12
,xx
‒ отсчеты по разным шкалам;
21
, yy
‒ измеряемые величины.
Таким образом, величины, измеряемые в шкале отношений, имеют
абсолютный нуль, хотя остается свобода в выборе единиц.
Примеры шкал отношений: длина, вес, деньги, электрическое со-
противление.
Вопрос 5.16. Какая шкала является самой сильной?
Ответ. Самой сильной шкалой является абсолютная шкала, кото-
рая имеет абсолютный нуль и абсолютную единицу (например, числовая ось).
Особенности абсолютной шкалы:
отвлеченность (безразмерность) ее единицы;
абсолютность ее единицы.
Допустимые операции – такие, которые недопустимы для показаний других шкал; употреблять эти показания в качестве показателя степени и аргумента логарифма.
Абсолютная шкала позволяет оценить безразмерные числовые отношения, обнаруживаемые в природе (явления резонанса; гармонические отношения размеров, звуков; законы теории подобия и размерности; квантование энергии элементарных частиц и т. п.).
Вопрос 5.17. Каковы возможные последствия «усиления» и
«ослабления» наблюдений, т. е. пересчета протокола наблюдений в
шкалу, отличающуюся от той, в которой производилось измерение?
Ответ. Особенность типовых шкал заключается в том, что номи-
нальная и порядковая шкалы являются «слабыми», качественными
шкалами, а интервальная, циклическая, отношений, абсолютная шкалы
являются «сильными», количественными.
49
В количественных шкалах возможны арифметические действия.
Возникает вопрос: является ли переход от качественных шкал к количественным принципиально скачкообразным или существует возможность
путем пошагового усиления порядковой шкалы «плавно» дойти до интервальной? Даже явное усиление порядковой шкалы не приводит ее в
разряд количественной.
Можно сказать, что чем сильнее шкала, в которой производятся измерения, тем больше сведений об изучаемом объекте, явлении, процессе дают измерения. Поэтому естественно стремление каждого исследователя провести измерения в возможно более сильной шкале.
Однако выбор шкалы измерения должен ориентироваться на объективные отношения, которым подчинена наблюдаемая величина, и
лучше всего производить измерения в той шкале, которая максимально
согласована с этими отношениями.
Можно измерять в шкале, более слабой, чем согласованная
(это приведет к потере части полезной информации), но применять бо-
лее сильную шкалу опасно: полученные данные на самом деле не будут
иметь той силы, на которую ориентируется их обработка.
Аналогичная ситуация имеет место и после того, как проведены
измерения.
У исследователя могут быть причины, побуждающие его преобразовать протокол наблюдений, переведя их из одной шкалы в другую.
Если при этом данные переводятся в более слабую шкалу, то в резуль-
тате происходит некоторое ухудшение качества выводов.
Иногда же исследователи усиливают шкалы; типичный случай –
«оцифровка» качественных шкал: классам в номинальной или порядко-
вой шкале присваивают номера, с которыми дальше «работают» как с
числами. Если в этой обработке не выходят за пределы допустимых
преобразований, то «оцифровка» – это просто перекодировка в более
удобную (например, для ЭВМ) форму. Однако применение других операций сопряжено с заблуждениями и ошибками, так как свойства, навязываемые подобным образом, на самом деле не имеют места.
Вопрос 5.18. Чем отличается расплывчатая неопределенность от
вероятностной неопределенности?
Ответ. Расплывчатость – это такое свойство явлений, при кото-
ром не выполняется отношение эквивалентности: явление одновременно может принадлежать данному классу и не принадлежать ему.
Неопределенность такого типа описывается с помощью функции
принадлежности
)(x
А
; значение этой функции выражает степень уве-
ренности, с которой мы относим данный объект к указанному классу,
т. е.
1)(0 x
А
. Если
0)( x
А
, то элемент определенно не принад-
50
лежит множеству А, если
1)( x
А
, то определенно входит в него. Сам
класс в итоге становится неопределяемым однозначно и называется
расплывчатым множеством.
Вероятностная (или случайная) неопределенность – это вид не-
определенности, подчиняющийся строгой закономерности, которая выражается распределением вероятностей.
Чтобы устранить вероятностную неопределенность, нужно провести эксперимент. В некоторых случаях эксперимент устраняет не-
определенность полностью (как при бросании монеты или контрольном
замере уровня масла в двигателе); в других случаях (как, например, при
определении точного веса детали) неопределенность лишь уменьшается
до некоторого предела относительного или абсолютного.
Зная распределение (например, плотность
)(xp
) вероятностей,
можно ответить на любой вопрос о случайной величине:
в каком интервале находятся ее возможные значения;
около какого значения рассеиваются ее реализующие значения;
насколько сильно разбросаны эти значения;
какова связь между разными реализациями.
Распределение вероятностей по возможным состояниям объекта
содержит самую полную информацию, которой можно располагать о
случайном объекте.
Важно, что само конкретное распределение уже есть закономерность: неоднозначная (но и не вполне произвольная) для того, какое
именно состояние реализуется, и вполне однозначная для многих важных характеристик, выражаемых функционалами от распределения.
Вопрос 5.19. Какими способами можно задать функцию принадлежности?
Ответ. Самым «узким» местом теории и практики размытых множеств является задание функции принадлежности.
Существует несколько способов определения (задания) функции
принадлежности
)(x
А
:
1) эвристический подход, когда субъект сам определяет, как он
понимает степень принадлежности (например, числа n к множеству
«несколько»); функции, задаваемые разными людьми для одного множества, могут различаться, что отражает разницу в понимании расплывчатого термина;
2) статистический подход, при котором функция принадлежности
определяется усреднением функций, задаваемых разными экспертами;
3) частичное задание функции поясняющими примерами (напри-
мер, для нескольких значений х) и последующее определение всей
функции подходящим методом;
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]