Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник задач по дисциплине «Основы теории надёжности и диагностики ППТМ»
.pdf
41
t
300;45 xS
15,0
X
S
8,0
15,0
12,0
8,0
)(
2
n
)(2f
Полученное значение
сравнивают с табличным (табл. 3.6)
Гипотеза о равенстве средних принимается.
Таким образом, обе выборки могут быть объединены в одну генеральную
совокупность.
Теперь обе выборки объединяются в одну и выстраиваются в вариационный
ряд. Для объединенной выборки находится среднее значение, дисперсия и
строится функция распределения, по которой прогнозирование значений
исследуемой величины (в данном случае предела текучести) ведѐтся более точно.
Пример решения задачи 3.9
Из таблицы 3.9 для данных задачи
Тогда
находим = 0,12 и = 0,995.
Определяем значение
По таблице 3.8 для значения
доверительной вероятности = 0,995
находим необходимое количество испытаний n = 8 образцов.
Контрольные вопросы
1) Объясните понятия выборка и генеральная совокупность
2) Назовите порядок обработки результатов исследователей
3) Что такое вариационный ряд
4) Зачем проводится проверка результатов по критерию Груббса
5) Что такое критерии согласия
6) Когда используются критерии
и
7) Что такое доверительные границы и зачем они определяются
8) Что такое специальная вероятностная бумага и зачем она используется
9) Как проводится сравнение выборок для оценки их принадлежности к одной
генеральной совокупности
10)Как исследуется по результатам обработки полученных данных значимость
влияния того или иного фактора исследуемый процесс
42
yx
SS
m
r
1/1
n
i
ii
YyXx
n
m
1
1/1
)()(
1
1
yx
SS ,
ii
yx ,
YиX
Практическое занятие №4
Тема: Регрессионный и корреляционный анализ. Коэффициент корреляции.
Продолжительность 1 час.
Теоретическое положение
При решении различных исследовательских задач часто возникает
необходимость установления количественной зависимости между двумя
величинами, каждая из которых является случайной. Подобные задачи решаются
методами регрессионного и корреляционного анализов. Эти методы дают
возможность оценить значимость влияния одних факторов на другие и
количественно установить вид зависимости.
Если между исследуемыми величинами существует линейная зависимость,
то в качестве количественной оценки тесноты связи между случайными
величинами используется коэффициент корреляции:
; (4.1)
где
– среднеквадратические отклонения распределения величин x и y.
, (4.2),
n– количество испытаний.
- случайные значения величин x и y.
- выборочные средние случайных величин x и y.
Коэффициент корреляции изменяется в пределах -1 r 1. Для независимых
величин коэффициент корреляции равен 0. Кроме того, коэффициент корреляции
может быть равен 0 для коррелированных величин (когда, например, изменение
одной величины приводит лишь к изменению дисперсии другой, а
математическое ожидание при этом постоянно) или в случае коррелированных
величин с нелинейной связью.
Для оценки значимости коэффициента корреляции, полученного по
результатам выборки, проверяют гипотезу о равенстве нулю генерального
коэффициента корреляции.
Сравнивая полученное значение с табличным (таблица 4.1.), делаем
заключение, что для выбранного уровня значимости и числа степеней свободы
k =n-2 (где n – число испытаний) существует или отсутствует корреляция между
исследуемыми величинами. Если r
табл
< r
, то нулевую гипотезу об отсутствии
расч
корреляции между исследуемыми величинами отбрасывают.
Выявление значимости отдельных факторов и их взаимного совместного
воздействия, установление в общем виде количественного вида зависимости
между двумя величинами осуществляется с помощью регрессионного и
корреляционного анализов.
43
rSSYX
ух
,,,,
22
)( Xx
S
S
rYy
x
y
bxay
x
y
S
S
rb
XbYа
При этом, если одна из величин, например, у, является случайной
величиной, имеющей нормальное распределение, то другая величина α – может
быть как случайной, так и неслучайной величиной.
С изменением величины х может меняться либо оба параметра
нормального распределения (математическое ожидание и дисперсия), либо только
один параметр (математическое ожидание). В этом случае проводится
регрессионный анализ, предусматривающий оценку параметров уравнения линии
регрессии. Если величины х и у являются случайными, то в начале проводится
корреляционный анализ, на основании которого проводят оценку средних
значений, дисперсии и коэффициента корреляции (
), а затем
составляют уравнение линии регрессии, которые обычно имеет вид:
т.е.
, (4.3)
; (4.4)
(4.5)
(4.6)
Таким образом, корреляционный и регрессионный анализы позволяют
выявить степень тесноты линейной корреляционной зависимости и получить
уравнение регрессии, для вычисления одной из величин при известной другой.
Рекомендации по подготовке к занятиям
При подготовке к занятию по данной теме необходимо использовать
следующую учебную и научную литературу
Типовые задачи
4.1. Определить коэффициент корреляции между пределом выносливости
-1 и пределом прочности в алюминиевых сплавов образцов (табл. 4.2.)
4.2. Определить коэффициент корреляции между пределом выносливости
и пределом прочности стали 45 для образцов (табл. 4.3.)
44
Число
степеней
свободы
k
= n-2
Уровни значимости
Число
степеней
свободы
k
= n-2
Уровни значимости
0,10
0,05
0,01
0,10
0,05
0,01
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
0,988
0,900
0,805
0,729
0,669
0,621
0,582
0,549
0,521
0,497
0,476
0,457
0,441
0,426
0,412
0,400
0,997
0,950
0,878
0,811
0,754
0,707
0,666
0,632
0,602
0,576
0,553
0,532
0,514
0,497
0,482
0,468
0,9999
0,990
0,959
0,917
0,875
0,834
0,798
0,765
0,735
0,708
0,684
0,661
0,641
0,623
0,606
0,590
17
18
19
20
25
30
35
40
45
50
60
70
80
90
100
200
0,389
0,378
0,369
0,360
0,323
0,296
0,275
0,257
0,243
0,231
0,211
0,195
0,183
0,173
0,164
0,109
0,456
0,444
0,433
0,423
0,381
0,349
0,325
0,304
0,287
0,273
0,250
0,232
0,217
0,205
0,195
0,138
0,575
0,561
0,549
0,537
0,487
0,449
0,418
0,393
0,372
0,354
0,325
0,302
0,283
0,267
0,254
0,181
№
образцов сплавов
вi
x
[МПа]
1
i
y
, МПа
1
293
130
2
311
136
3
329
135
4
333
130
5
342
135
6
352
142
7
367
150
8
393
150
9
456
165
10
490
192
11
529
171
12
566
209
13
581
170
14
599
182
15
623
190
16
628
213
Таблица 4.1
Критические значения выборочного коэффициента вариации r
1-/2
для двухстороннего критерия (при одностороннем критерии критические
значения соответствуют уровню зависимости /2)
Таблица 4.2.
Механические характеристики образцов алюминиевых сплавов
45
№
образцов стали
вi
x
[МПа]
1
i
y
, МПа
1
380
190
2
400
187
3
385
185
4
405
210
5
401
210
6
408
210
7
420
190
8
370
185
9
385
190
10
400
200
11
404
210
12
408
205
13
409
205
14
387
185
15
425
190
16
410
180
17
375
210
18
398
215
19
409
195
20
415
195
21
418
220
22
392
220
23
395
220
24
404
200
25
410
200
26
400
190
27
380
190
28
380
190
29
390
200
30
390
200
H
Таблица 4.3.
Механические характеристики образцов стали 45
4.3. Определить коэффициент корреляции между допускаемым
напряжением
и значениями твердости НВ (табл. 4.4.)
46
в
1
78,0
2,318
45
45)7,133135()311329()7,133136()311311()7,133130()311293(
13
1
2,3
13
)7,133135()7,133136()7,133130(
18
13
)311329()311311()311293(
7,133
3
135136130
311
3
329311293
1
1
222
222
z
m
S
S
Y
X
y
x
в
1
xy
xxxy
139,047,90
47,90139,02,43139,07,133)311(
18
2,3
78,07,133
№
НВ
н
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
220
223
230
238
240
242
250
255
260
267
270
283
290
296
300
520
525
530
538
538
538
535
540
541
542
544
550
555
560
570
Таблица 4.4.
Механические характеристики образцов из Ст3
Пример решения задачи 4.1.
По результатам испытаний трѐх образцов найти уравнение регрессии
между пределом прочности
и пределом усталости
Определим значение средних и среднеквадратических отклонений
Таким образом, значение коэффициента корреляции показывает, что существует
достаточно тесная зависимость между
Уравнение регрессии имеет вид
и
.
.
47
F
F
R
R
222
2
2
2
2
2
2
22
1
1
F
R
FRF
R
Р
n
n
F
S
F
S
R
R
F
R
SS
FR
U
n
F
R
Практическое занятие №5
Тема: Оценка надѐжности отдельных узлов и соединений
Продолжительность – 2 часа
Цель – научить студентов выполнять оценку надѐжности отдельных узлов,
деталей и соединений путѐм определения вероятности их безотказной работы
Теоретические положения
Оценка надежности отдельных узлов, деталей и соединений выполняется
путем определения вероятности их безотказной работы. При этом надежная
безотказная работа конструкции зависит как от действующих нагрузок, так и от
характеристик статической прочности или выносливости используемого для
данных деталей и узлов материала. Возникновение отказа или потеря несущей
способности может происходить по условию как статической, так и циклической
прочности. В большинстве случаев изменение прочностных (статических или
усталостных) характеристик материала и значений действующих нагрузок
подчиняется нормальному закону распределения, который характеризуется
средним значением, среднеквадратическим отклонением и коэффициентом
вариации. В этом случае вероятность безотказной работы или вероятность отказа
находится с помощью вычисления квантиля «U
» в условии предположения, что
p
разность двух нормально распределенных величин распределена нормально с
математическим ожиданием, и среднеквадратическим, равным корню из суммы
квадратов их средних квадратических отклонений. Обозначив среднее значение,
среднеквадратическое отклонение и коэффициент вариации нагрузочной
характеристики (например, действующей силы) соответственно через
, SF,
, а
среднее значение, среднеквадратическое отклонение и коэффициент вариации
прочностной характеристики (например, предела текучести материала)
соответственно через
, SR,
и произведя некоторые математические
преобразования можно записать для вероятности отказа
(5.1)
=
где n- условный запас прочности, определенный по средним значениям
характеристик прочности и нагрузки.
48
Н
3
1012
T
Т
9
4
2
1
d
Н
4
1051,1
n
43,1
)2,01(10121,1
1051,1
)1(k
3
4
H
F
F
вн
зат
1
P
U
64,2
1,009,043,1
19,1
1
222222
1
1
Fзат
n
n
Рекомендации по подготовке к занятиям
При подготовке к занятию по данной теме необходимо использовать следующую
учебную и научную литературу
1 - 167-170
Типовые задачи
5.1. Две детали стянуты болтом М12 (d1 = 10,35). Соединения нагружено
растягивающей отрывающей силой F =
= 0,1. Коэффициент внешней нагрузки
F
= 0,2. Предел текучести т = 360 МПа,
, коэффициент вариации силы
коэффициент вариации
180 МПа, коэффициент вариации
= 0,06, напряжения от силы затяжки
= 0,09. Коэффициент нераскрытия стыка К
зат
= 0,5
зат
=
= 1,1. Оценить вероятность безотказной работы по критерию нераскрытия стыка
n1 и по статической прочности болта n
. Численные значения для других
2
вариантов даны в табл. 5.1.
Решение задачи необходимо начинать с оценки условий, при которых
будет нарушена работоспособность рассматриваемого узла.
Применительно к решению данной задачи, болтовое соединение,
нагруженное отрывающей силой, может выйти из строя по двум причинам:
- сила, действующая на детали стыка, будет больше силы затяжки, и стык
раскроется;
- напряжения, действующие на болт превысят предельные, в данном случае
предел текучести, тогда нарушится статическая прочность болта и болт
разрушится.
Для оценки вероятности безотказной работы по критерию нераскрытия
стыка определим значение силы затяжки F
и коэффициент запаса n1 как от-
зат
ношение силы затяжки к значению внешней силы, действующей на болт
[k Fвн(1-)].
(См. раздел по расчету болтовых соединений, нагруженных отрывающей силой в
F
зат
=
зат
=
=
1
.
Вероятность отказа
=
.
49
262
35,1014,3
)10122,01051,13,1(4
4)3,1(
2
34
2
1
dFF
внзат
МПа
2
n
37,1
262
360
б
T
28,1
09,006,037,1
137,1
1
222222
2
2
зат
t
n
n
мин
1
По приложению 4 находим вероятность отказа 0,004145, а вероятность
безотказной работы по критерию нераскрытия стыка Р
=0,9958
1
F0(-2,64)=1-F(2,64)= 1-0,995855 = 0,004145.
Для определения вероятности безотказной работы по критерию
статической прочности болта находим значение действующих на болт
напряжений, и коэффициент запаса прочности n2 как отношение действующего в
болте напряжения б к пределу текучести т.
Среднее значение расчетного напряжения, действующего на болт:
б
=
Коэффициент запаса статической прочности
=
;
Up2 =
;
F0(-1,28) = 1-F(1,28) = 1-0,8997 = 0,1003 – вероятность отказа
Тогда вероятность безотказной работы по критерию статической
прочности болта Р = 0,8997 (приложение 4)
Общая вероятность безотказной работы болтового стыка
P = P1 P2 = 0,99580,8997 = 0,8959.
5.2 Определить вероятность безотказной работы роликоподшипника,
нагруженного радиальной силой, коэффициент вариации которой p = 0,12.
Частота вращения внутреннего кольца подшипника n = 300
ресурс L
=3500 ч., среднее значение эквивалентной нагрузки Р = 4500 Н.
h
, требуемый
Динамическая грузоподъемность подшипника С=37400 Н, коэффициент вариации
грузоподъемности c = 0,25. (Численные значения для других вариантов даны в
табл. 5.1)
50
63103500300601060
66
h
LnL
4,2
634500
37400
10
31
/
m
LP
C
n
288,2
12,025,04,2
14,21
22222
2
PC
n
n
Fвн, H
F
T,
МПА
T
зат
МПА
зат
Болт
kвн
1
12*10
3
0,10
360
0,06
0,5T
0,09
0,2
М12
1,1
2
14*103
0,11
370
0,06
0,5T
0,09
0,2
М14
1,1
3
15*103
0,11
380
0,065
0,55T
0,10
0,21
М16
1,2 4 18*103
0,11
400
0,065
0,55T
0,10
0,21
М20
1,2
5
20*103
0,12
420
0,07
0,5T
0,11
0,22
М22
1,3
6
22*103
0,12
440
0,07
0,5T
0,11
0,22
М24
1,3 7 24*103
0,13
440
0,065
0,55T
0,10
0,23
М20
1,4
8
18*103
0,13
420
0,065
0,55T
0,10
0,23
М20
1,4
9
16*103
0,14
420
0,06
0,6T
0,09
0,24
М16
1,5
10
14*103
0,14
400
0,06
0,6T
0,09
0,24
М16
1,5
11
10*103
0,15
400
0,07
0,55T
0,08
0,25
М12
1,6
12
11*103
0,15
380
0,07
0,55T
0,08
0,25
М12
1,6
Ресурс в миллионах оборотов.
.
Коэффициент запаса по средним значениям
;
Up =
Вероятность отказа при Up = -2,288 равна 0,11, а вероятность безотказной
работы 0,89(приложение 4)
.
Таблица 5.1
Данные к задаче 5.1.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]