Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник задач по дисциплине «Основы теории надёжности и диагностики ППТМ»
.pdf
21
Теоретические положения
Оценка уровня надежности или долговечности технических объектов
проводится по результатам испытаний некоторого количества этих объектов,
которые называются выборками из генеральной совокупности.
Исчерпывающей характеристикой надежности устройств служит закон
распределения времени безотказной работы. Если известны вид закона и его
характеристики, то легко определить любую характеристику надежности. В
некоторых случаях, например, при оценке усталостной долговечности деталей,
закон распределения известен, а по результатам испытаний выборки требуется
определить только оценки параметров закона.
В результате испытаний можно получить точечные значения оценки
параметра и интервальные оценки параметра. При интервальных оценках
определяется, какой интервал «» оценок с заданной доверительной
вероятностью накрывает математическое ожидание оцениваемого параметра.
Границы такого интервала являются доверительными границами. Вероятность
того, что математическое ожидание параметра выйдет из интервала оценок
называется уровнем значимости «». Наиболее часто значения доверительных
вероятностей принимают равными 0,90, 0,95, 0,99 или уровни значимости
соответственно 0,10, 0,05, 0,01. Доверительная вероятность «» характеризует
степень достоверности результата двусторонней оценки. Наиболее
распространенными законами распределений являются:
- экспоненциальный;
- нормальный (усеченный);
- логарифмически-нормальный;
- Вейбулла;
- гамма.
В любом статистическом распределении неизбежно присутствуют
элементы случайности, связанные с тем, что число наблюдений ограничено и что
получены именно те, а не другие результаты. Только при большом числе
наблюдений (более 100) когда элементы случайности сглаживаются, может быть
получено точное соответствие экспериментальных данных теоретическому закону
распределения. Поэтому при проведении испытаний встает вопрос о
репрезентативности выборки, т.е. о представительности выборки, позволяющей
распространить результаты обработки испытаний на всю генеральную
совокупность и считать характеристики, полученные по результатам выборочного
исследования, характеристиками объекта в целом.
Для определения закона распределения необходимо:
- подготовить опытные данные;
- выполнить проверку результатов по критерию отбрасывания крайних
значений;
- построить гистограмму характеристик надежности;
22
i
x
m
i
(№ п/п)
i
x
P =
n
5,0mi
1 2 3
- проверить допустимость предполагаемого закона по определенным
критериям согласия (Колмогорова, Пирсона);
- оценить репрезентативности выборки.
Определение закона распределения часто проводится более просто – путем
использования вероятностных шкал. Виды вероятностных шкал для
экспоненциального, нормального и логарифмически-нормального законов
распределения даны в приложениях 7.1; 7.2; 7.3.
При подготовке опытных данных выборка исходных результатов
преобразуется в вариационный ряд (т.е. значения располагаются в порядке
возрастания, причем одинаковые значения не исключаются, а повторяются друг за
другом). Вариационный ряд записывается в виде таблицы 3.1, где mi -
порядковый номер результата испытания после построения вариационного
ряда.
– численное значение результата испытания, соответствующее mi;
Р – вероятность, определенная для интегральной повторяемости событий.
Таблица 3.1.
Данные для построения вариационного ряда
Затем проводится проверка результатов по критерию отбрасывания
крайних значений Груббса. Если крайние (первый и последний, или один из них)
значения необходимо отбросить, то после этого необходимо повторно определить
значение в е
й
колонке табл. 3.1. для усеченного вариационного ряда.
После этого полученные результаты наносятся на координатную сетку
закона распределения (экспоненциального, нормального, логарифмически-
нормального, Вейбулла и т.д.) и по виду кривой безотказной работы (является ли
она прямой линией) делается предварительный вывод о соответствии тому или
иному закону распределения.
Окончательный вывод о соответствии результатов тому или иному закону
распределения делается на основании расчетов по критериям согласия
(Колмогорова, Пирсона и т.д.). Предварительно по результатам испытаний
строится прямая с использованием метода наименьших квадратов или максимума
правдоподобия.
При этом, иногда для упрощения расчетов достаточно визуального
сравнения графически изображенных результатов испытаний с теоретической
прямой на вероятностной шкале.
23
X
n
x
X
n
i
i
1
)1(
)(
2
n
Xx
S
i
S
Xxп
1
S
xX
1
2
1
x
n
x
Число
случайны
х величин
n
Значения при
Число
случайных
величин
n
Значения при
0,10
0,05
0,025
0,01
0,10
0,05
0,025
0,01
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1,406
1,645
1,791
1,894
1,974
2,041
2,097
2,146
2,190
2,229
2,264
2,297
1,412
1,689
1,869
1,996
2,093
2,172
2,237
2,294
2,343
2,387
2,426
2,461
1,414
1,710
1,917
2,067
2,182
2,273
2,349
2,414
2,470
2,519
2,562
2,602
1,414
1,723
1,955
2,130
2,265
2,374
2,464
2,540
2,606
2,663
2,714
2,759
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
2,326
2,354
2,380
2,404
2,426
2,447
2,467
2,486
2,504
2,520
2,537
2,493
2,523
2,551
2,577
2,600
2,623
2,644
2,664
2,683
2,701
2,717
2,638
2,670
2,701
2,728
2,754
2,778
2,801
2,823
2,843
2,862
2,880
2,800
2,837
2,871
2,903
2,932
2,959
2,984
3,008
3,030
3,051
3,071
Проверка результатов по критерию отбрасывания резко выделяющихся
значений (критерий Груббса) выполняется следующим образом. Определяются
среднее значение
и среднеквадратическое отклонение S:
(3.1)
(3.2)
где xi – значение случайной величины
n – общее число значений случайной величины
Затем определяются нормированные величины 1 и 2 по результатам
испытаний, для первого х и
последнего хn значений вариационного ряда:
(3.3)
(3.4)
Потом проводится сравнение полученных результатов с критическими
значениями 1 и 2, найденными для заданных различных уровней значимости
доверительной вероятности Р=1- и объема выборки n. Критические значения
для = 0,1; 0,05; 0,025 и 0,01 даны в табл. 3.2.
Если
(1,2)
, то отклонения величины случайно и значения
табл.
и
нужно включить в обработку.
Таблица 3.2
Критические значения
24
X
X
n
i
xWxP
n
1
2
)(
2
1
2
n
№
п/п
x
i
xi -X
(xi-Х)
2
S
X - x
i
p
U
)(ixP
n
i
xW
i
5,0)(
)()(
ii
xWxP
2
)()(
ii
xWxP
i
ni
ni
n
x
X
i
n
x
i
n
i
ii
xWxP
1
2
)]()([
Кроме того, ориентировочная проверка возможности включения крайних
значений для окончательной обработки результатов может быть проведена по
условию трѐх среднеквадратических отклонений. Для этого необходимо по всем
результатам эксперимента определить среднее
и среднеквадратичное
отклонение S, а затем посмотреть, укладываются ли крайние значения в интервал
3S
Затем выполняется проверка соответствия эмпирических законов
распределения теоретическому по соответствующим критериям согласия.
При малых выборках (n100) при нормальном законе распределения
возможно использование критерия «n
2
», по которому необходимо вычислить
значение
n2=
, (3.5)
где n – число испытанных образцов,
Р(x) – значение функции, вычисленное на основании выборочных значений
среднего и среднеквадратичного отклонения (для нормального распределения),
W(x) – накопленная частота
Полученное значение n2 сравнивают с критическим значением za
критерия n2 для заданного уровня значимости:
n2 z
a
(3.6)
Порядок выполнения сравнения приводится в табл. 3.3. Критические
значения z критерия
- в табл. 3.4.
Таблица 3.3
Данные для сравнения теоретического и эмпирического
законов распределения при малом объеме выборки (n100)
25
Уровень значимости
Критическое значение
z
Уровень значимости
Критическое значение
z
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,1184
0,1467
0,1843
0,2412
0,3473
0,05
0,03
0,02
0,01
0,001
0,4614
0,5489
0,6198
0,7435
1,1679
1nD
D
D
x
x
e
i
j
jj
np
npn
1
2
)(
Критические значения z критерия n
2
На основании критерия Колмогорова экспериментальное распределение
согласуется с выбранным теоретически, если выполняется условие
Таблица 3.4.
где
– наибольшее отклонение теоретической кривой распределения от
экспериментальной,
= maxP(
) - W(
i
, (3.7)
) ;
i
n – общее количество экспериментальных точек.
Критерий Пирсона (
2
) применяют для проверки гипотезы о соответствии
эмпирического распределения предполагаемому при большом объеме выборки
(n100). Использование критерия 2 предусматривает разбиение размаха
варьирования на интервалы и определение числа наблюдений (частоты) nj для
каждого интервала. Интервалы обычно выбирают одинаковой длины. Интервалы,
содержащие менее пяти наблюдений, объединяют с соседними.
Значения 2 вычисляется в табличной форме. Полученное значение 2
сравнивается с критическим
2
для уровня значимости и числа степеней
свободы К = е-m-1
где е – число интервалов
m – число всех параметров.
Критерий 2 определение проводится по выражению:
n – общее число экспериментальных точек;
2 =
, (3.8)
где e – число интервалов;
pj – вероятность попадания исследуемой случайной величины в j
интервал.
26
2
k
Вероятность Р (
2
2
)
0,995
0,99
0,975
0,95
0,90
0,75
0,50
1
0,000039
0,00016
0,00098
0,0039
0,016
0,101
0,455
2
0,010
0,020
0,051
0,103
0,211
0,575
1,39
3
0,072
0,115
0,216
0,352
0,584
1,21
2,37
4
0,207
0,297
0,484
0,711
1,06
1,92
3,36
5
0,412
0,554
0,831
1,15
1,61
2,67
4,35
6
0,676
0,872
1,24
1,64
2,20
3,46
5,35
7
0,989
1,24
1,69
2,17
2,83
4,26
6,35
8
1,34
1,65
2,18
2,73
3,49
5,07
7,34
9
1,74
2,09
2,70
3,32
4,17
5,90
8,34
10
2,16
2,56
3,25
3,94
4,86
6,74
9,34
11
2,60
3,05
3,82
4,58
5,58
7,58
10,3
12
3,07
3,57
4,40
5,23
6,30
8,44
11,3
13
3,56
4,11
5,01
5,89
7,04
9,30
12,3
14
4,08
4,66
5,63
6,57
7,79
10,2
13,3
15
4,60
5,23
6,26
7,26
8,55
11,0
14,3
16
5,14
5,81
6,91
7,96
9,31
11,9
15,3
17
5,70
6,41
7,56
8,67
10,1
12,8
16,3
18
6,26
7,02
8,23
9,39
10,9
13,7
17,3
19
6,84
7,63
8,91
10,1
11,6
14,6
18,3
20
7,43
8,26
9,59
10,9
12,4
15,4
19,3
21
8,03
8,90
10,3
11,6
13,2
16,3
20,3
22
8,64
9,54
11,0
12,3
14,0
17,2
21,3
23
9,26
10,2
11,7
13,1
14,8
18,1
22,3
24
9,89
10,9
12,4
13,8
15,7
19,0
23,3
25
10,5
11,5
13,1
14,6
16,5
19,9
24,3
26
11,2
12,2
13,8
15,4
17,3
20,8
25,3
27
11,8
12,9
14,6
16,2
18,1
21,8
26,3
28
12,5
13,6
15,3
16,9
18,9
22,7
27,3
29
13,1
14,3
16,0
17,7
19,8
23,6
28,3
30
13,8
15,0
16,8
18,5
20,6
24,5
29,3
Если выполняется неравенство 2
2
, то гипотезу не отвергают, т.е.
распределение соответствует принятому. Сравнение проводят для определенного
уровня значимости . Сравнение проводится по табл. 3.5.
Таблица 3.5
Значения квантили
в зависимости от уровня вероятности
и числа степеней свободы k
27
k
Вероятность Р (
2
2
)
0,25
0,10
0,05
0,025
0,01
0,005
1
1,32
2,71
3,48
5,02
6,64
7,88
2
2,77
4,60
5,99
7,38
9,21
10,6
3
4,11
6,25
7,82
9,35
11,3
12,8
4
5,38
7,78
9,49
11,1
13,3
14,9
5
6,36
9,24
11,1
12,8
15,1
16,8
6
7,84
10,6
12,6
14,4
16,8
18,6
7
9,04
12,0
14,1
16,0
18,5
20,3
8
10,2
13,4
15,5
17,5
20,1
22,0
9
11,4
14,7
16,9
19,0
21,7
23,6
10
12,6
16,0
18,3
20,5
23,2
25,2
11
13,7
17,3
19,7
21,9
24,7
26,8
12
14,8
18,6
21,0
23,3
26,2
28,3
13
16,0
19,8
22,4
24,7
27,7
29,8
14
17,1
21,1
23,7
26,1
29,1
31,3
15
18,3
22,3
25,0
27,5
30,6
32,8
16
19,4
23,5
26,3
28,9
32,0
34,3
17
20,5
24,8
27,6
30,2
33,4
35,7
18
21,6
26,0
28,9
31,5
34,8
37,2
19
22,7
27,2
30,1
32,8
36,2
38,6
20
23,8
28,4
31,4
34,2
37,6
40,0
21
24,9
29,6
32,7
35,5
38,9
41,4
22
26,0
30,8
33,9
36,8
40,3
42,8
23
27,1
32,0
35,2
38,1
41,6
44,2
24
28,2
33,2
36,4
39,4
43,0
45,6
25
29,3
34,4
37,7
40,6
44,3
46,9
26
30,4
35,6
38,9
41,9
45,6
48,3
27
31,5
36,7
40,1
43,2
47,0
49,6
28
32,6
37,9
41,3
44,5
48,3
51,0
29
33,7
39,1
42,6
45,7
49,5
52,3
30
34,8
40,3
43,8
47,0
50,9
53,7
t
etf
)(
T
1
При обработке результатов испытаний в качестве теоретического могут
рассматриваться ряд распределений: экспоненциальное, Вейбулла, нормального,
или логарифмически нормальное, биномиальное, Пуассона.
Экспоненциальное распределение характерно для внезапных отказов
элементов. Плотность его задается уравнением:
=
; (3.9)
. (3.10)
где - интенсивность отказов, величина, обратная средней наработке Тна
отказ.
28
t
etF
1)(
)()( tехрetР
t
T
n
k
n
tt
;
1
;
k
t
,
k
t
,
k
0,1
0,05
0,025
0,01
0,005
0,001
1
6,314
12,706
25,452
63,657
127,3
636,6
2
2,920
4,303
6,205
9,925
14,089
31,600
3
2,353
3,182
4,177
5,841
7,453
12,922
4
2,132
2,776
3,495
4,604
5,597
8,610
5
2,015
2,571
3,163
4,032
4,773
6,869
6
1,943
2,447
2,969
3,707
4,317
5,959
7
1,895
2,365
2,841
3,499
4,029
5,408
8
1,860
2,306
2,752
3,355
3,833
5,041
9
1,833
2,262
2,685
3,25
3,690
4,781
10
1,812
2,228
2,634
3,169
3,581
4,587
12
1,782
2,179
2,560
3,055
3,428
4,318
14
1,761
2,145
2,510
2,977
3,326
4,140
16
1,746
2,120
2,473
2,921
3,252
4,015
18
1,734
2,101
2,445
2,878
3,193
3,922
20
1,725
2,086
2,423
2,845
3,153
3,849
22
1,717
2,074
2,405
2,819
3,119
3,792
24
1,711
2,064
2,391
2,797
3,092
3,745
26
1,706
2,056
2,379
2,779
3,067
3,704
28
1,701
2,048
2,369
2,763
3,047
3,674
30
1,697
2,042
2,360
2,750
3,030
3,646
1,645
1,960
2,241
2,576
2,807
3,291
П р и м е ч а н и е. При r 30
k
t
,
=
2/1
z
Функция экспоненциального распределения (вероятность отказа)
. (3.11)
Вероятность безотказной работы
. (3.12)
Для определения доверительных границ среднего значения
используется то обстоятельство, что при малых ( 100) объемах испытаний
выборочная оценка средней наработки на отказ распределена нормально,
поэтому для границ Т получим
Т
верх., нижн
= T t
(n – 1)
S/
; (3.13)
где S T - среднеквадратичное отклонение равно среднему значению.
Значения t
– пределы распределения
(n – 1)
или
(k = n – 1) находятся по табл. 3.6
Таблица 3.6
Значения -пределов
, распределения Стьюдента
в зависимости от числа степеней свободы k =n-1
29
2
2
2
)(
exp
2
1
)(
s
Тt
s
tf
2
2
2
)(
exp
2
)(
s
Тt
s
c
tf
T
n/tT
n
1i
i
2
1
1
Tt
n
S
i
T
n
S
tTT
)1k(,н
n
S
tTT
)1k(,в
Нормальный закон распределения используется для обработки результатов
испытаний при постепенных отказах (износ, старение). Плотность вероятности
нормального распределения, например применительно ко времени износа,
находится по выражению
, (3.14)
где Т– среднее время безотказной работы;
S - среднеквадратичное отклонение времени безотказной работы.
Так как при нормальном распределении случайная величина может
принимать любые значения от «-» до «+», а время может быть только
положительным, то необходимо рассматривать усеченное нормальное
распределение
где с – нормирующий множитель.
При испытании выборки объемом в n изделий с наработкой t
параметры распределения
и S оцениваются по формулам
Доверительные границы для
, (3.15)
; (3.16)
. (3.17)
определяются по уравнениям:
; (3.18)
, t2, . . . , tn
1
; (3.19)
где t
значности = 1 – и числа степеней свободы k = n – 1. Величина max tα,
– квантиль распределения Стьюдента для вероятности или уровня
(k-1)
k
также находится по табл. 3.6.
30
2
)1n)(2/(
2
2
2
)1n)(2/1(
2
S)1n(
S
S)1n(
2
)1)(2/1( n
)1)(2/(
2
n
2
2
мен
бо л
S
S
F
2
1
F
2
1
FF
)SS(
2
2
2
1
Доверительные границы S определяются с помощью формулы
, (3.20)
Для
и
- квантиль
и
-квадрата находится по
табл. 3.5.
Графическая оценка соответствия эмпирического закона распределения
теоретическому проводится с помощью специальной вероятностной бумаги, где
вероятностные шкалы соответствуют тому или иному закону распределения. Вид
«бумаги» для экспоненциального, нормального и логнормального законов
распределения приводится приложениях 7.1, 7.2, 7.3.
В связи с тем, что полученные по результатам испытаний значения
средних и дисперсии являются случайными величинами, принимающими
различные значения при повторных экспериментах, при исследовании влияния
различных факторов на результаты испытаний возникает необходимость
определения значимости или случайности в расхождениях выборочных значений
статистик.
При этом используется двусторонний F-критерий (критерий Фишера),
позволяющий проводить сопоставление дисперсий при разном количестве
образцов в партиях, для чего вычисляют отношение большей дисперсии к
меньшей.
Если дисперсионное отношение
гипотезу о неравенстве двух дисперсий, если
равенстве дисперсий генеральных совокупностей
, то принимают
, то принимают гипотезу о
. Сравнение проводят
по табл. 3.7 для числа степеней свободы k1 = n1 – 1; k2 = n1 – 1.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]