Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Решение типовых задач по дисциплине «Теоретическая механика». Раздел «Статика». Учебное пособие
.pdf
31
a)
б)
Рисунок 2.7 – Схема к задаче 5
(соотношение длин и сторон в треугольниках)
Рассмотрим треугольник АОВ. В этом треугольнике по теореме синусов справедливы соотношения (рисунок 2.7 а):
АО можно найти, применив теорему косинусов к треугольнику АОВ:
. (2.13)
ОВ можно найти из прямоугольного треугольника ВОС (рисунок 2.7 б):
Из равенства, указанного выше, вычислим ОВ:
Подставим полученное значение ОВ в уравнение (2.13), получим:
32
Соотношение длин и сторон в треугольнике АОВ будет следующим:
Косинус α найдем, используя основное тригонометрическое тождество:
,
.
Подставим найденные значения синуса и косинуса α в уравнения (2.11), (2.12).
Из уравнения (2.11) получим:
,
Из уравнения (2.12) следует:
,
33
Ответ:
Важно помнить, что в задачах на сходящуюся систему сил все силы пересекаются в одной точке. При решении задач в первую очередь нужно понимать условие
задачи и представлять построение расчётной схемы. Уметь определять силы приложены к телу, их направление, величины и точку приложения. Знать и уметь определять тип опор (шарнирно-неподвижная, шарнирно-подвижная, жесткая заделка и
другие), что позволяет правильно показать направление и количество реакций опор.
Выбирать удобную систему координат, чтобы упростить вычисления. Составлять и
решать уравнения равновесия.
Так как направление некоторых реакций выбирается предположительно, то
значение реакций может получиться отрицательным, это означает, что фактическое
направление реакции противоположно выбранному. Если количество неизвестных
реакций больше количества уравнений равновесия, то задача статически неопределима.
Для удобства в определении проекций сил важно заранее определить углы
между силами и осями координат. При проецировании используются тригонометрические функции синус и косинус.
При решении полученной системы алгебраических уравнений относительно
неизвестных реакций опор, применяются методы подстановки, сложения или другие
методы решения систем уравнений.
Данный тип задач можно решать геометрическим методом, складывая векторы
сил по правилу параллелограмма или многоугольника.
34
3 Пример решения задачи на пространственную сходящуюся
систему сил
Три невесомых стержня АС, ВС и DС, расположенных в пространстве, шарнирно соединены между собой, с полом, потолком или стенами. Узел С нагружен
силой . Определить усилия в стержнях, если , , АО = ОС = 0,5ВС.
Все необходимые данные представлены на рисунке 3.1.
a)
б)
Рисунок 3.1 – Схема к задаче 1
Рассмотрим равновесие узла С. Покажем действующие на этот узел силы. Это
сила
. Отбросим связи, наложенные стержнями, заменим их действие реакциями
,
и
(реакция стержня направлена вдоль стержня). Предполагая стержни рас-
тянутыми, покажем их в направлении от узла С (рабочая схема представлена на рисунке 3.1 б).
Все силы расположены в пространстве и линии действия всех сил сходятся в
одной точке, а значит действует пространственная сходящаяся система сил. Для равновесия пространственной сходящейся системы сил составляем три уравнения равновесия: суммы проекций всех сил на оси координат.
Для удобства при составлении уравнений разберемся с углами, между силами
и осями. Рассмотрим треугольник АОС, представленный на рисунке 3.2 а.
35
a)
б)
Рисунок 3.2 – Схема к задаче 1 (градусная мера углов в треугольниках)
По условию АО = ОС, это значит, что треугольник АOC равнобедренный и
углы при основании А и С равны. Так как угол между осями прямой
, то угол
ОАС равен углу ОСА, а значит, каждый из углов равен
.
Рассмотрим треугольник ВОС (представлен на рисунке 3.2 б). По условию задачи ОС = 0,5ВС. Треугольник ВОС прямоугольный, где ОС – катет, ВС – гипотенуза. Из курса геометрии известно, что катет, лежащий против угла в тридцать градусов, равен половине гипотенузы. Поэтому, можно сказать, что угол ВОС равен
, потому что это угол, противолежащий катету ОС. Так как угол при вершине О
прямой, а сумма углов в треугольнике
, то угол при вершине С (угол ВСО) равен
.
Составим уравнения равновесия в проекциях на оси координат. Для удобства
можно мысленно перенести оси координат в точку С. Расположение координатных
осей и углов показаны на рисунке 3.3.
, , (3.1)
, (3.2)
. (3.3)
36
a)
б)
Рисунок 3.3 – Схема к задаче 1
(расположение координатных осей и углов в схеме)
Из уравнения (3.3) найдем реакцию
:
Из уравнения (3.1) следует:
.
Так как значения синуса и косинуса угла в
равны, то заменим в уравнении
(3.2) выражение на
, получим:
.
Перенесем неизвестные переменные
в правую часть с противоположным
знаком:
37
,
,
Знак минус «говорит» о том, что стержень СВ сжат.
Найдем реакцию стержня АС:
Стержень АС сжат.
Ответ:
При решении задач на пространственную сходящуюся систему сил важно
чётко представлять объемную картинку. В задачах подобного типа часто применяется способ двойного проецирования: силу проецируют на плоскость, содержащую
ось, а потом полученную проекцию проецируют ещё раз уже на необходимую ось.
38
4 Примеры решения задач на произвольную плоскую систему
сил
4.1 Задача 1
Определить реакции заделки консольной балки АВ, находящийся под дей-
ствием пары сил с моментом , равномерно распределенной нагрузки
интенсивностью , сосредоточенной силы , если .
Рисунок к задаче и схема приведены на рисунке 4.1.
a)
б)
Рисунок 4.1 – Схема к задаче 1
Рассмотрим равновесие балки АВ. Так как балка невесомая, то вес балки не
учитывается. Равномерно распределенную нагрузку интенсивностью q заменим рав-
нодействующей
(сосредоточенной силой), приложенной в середине загруженного
участка. Так как в точке А балка закреплена как показано на рисунке 4.1 а (жесткая
заделка), отбросим связи, заменим их действие реакциями , ,
.
На балку действуют силы, произвольно расположенные в плоскости. Составим уравнения равновесия для произвольной плоской системы сил.
Величина сосредоточенной силы:
39
, (4.1)
Так как большинство (в данном случае все) реакций приложены в точке А, то
моменты сил удобно брать относительно точки А.
. (4.2)
Из полученных уравнений найдём искомые реакции опор. Из уравнения (4.1)
вычислим реакцию
Из уравнения (4.2) найдём реакцию момента
:
Ответ:
4.2 Задача 2
Однородная балка ВС весом 400 Н удерживается в равновесии при помощи
невесомых стержней АВ, СD м EК. Определить их реакции, если Рису-
нок и рабочая схема к задаче представлены на рисунке 4.2.
40
a)
б)
Рисунок 4.2 – Схема к задаче 2
Рассмотрим равновесие балки. Покажем вес балки
. Так как балка однородная, то вес приложен в центре балки. Освободим балку от связей. В условии указано,
что балка удерживается в равновесии при помощи стержней. Покажем реакции
стрежней, помня о том, что реакция стержня направлена вдоль стержня. Реакции
стержней будут соответственно:
,
,
.
Силы расположены в плоскости произвольно, выбираем оси и составляем три
уравнения равновесия.
(4.3)
, (4.4)
При составлении уравнения моментов относительно точки, воспользуемся
теоремой Вариньона. Для этого силы, которые расположены под углом к осям координат, представим двумя составляющими по осям (как в уравнениях проекций на
оси координат). Найдем моменты всех составляющих относительно выбранной
точки. Пример разложения сил на оси координат представлен на рисунке 4.3. Можно
составить уравнение моментов относительно любой из точек. Составим относительно точки Е:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]