Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Решение типовых задач по дисциплине «Теоретическая механика». Раздел «Статика». Учебное пособие
.pdf
21
2 Примеры решения задач на плоскую сходящуюся систему сил
2.1 Задача 1
Два невесомых стержня АС и ВС, расположенных в одной плоскости, соединены между собой, с потолком или стенами посредством шарниров. Шарнирный
болт С нагружен силой
или силой натяжения нити, равной силе тяжести тела P
кН, подвешенного на нити. Определить усилия, возникающие в стержнях, АС
и ВС (рисунок 2.1 а). Трением в шарнирных связях и блоках пренебречь [4].
a)
б)
в)
Рисунок 2.1 – Схема к задаче 1
Рассмотрим равновесие шарнирного болта С. Отбросим связи, заменим их
действие реакциями: реакции стержней
и
, реакция нити будет равна весу
груза P. Так как нить перекинута через болт С, то в данном случае будет две реакции
нити (рисунок 2.1 б).
Все силы расположены в плоскости и линии действия всех сил пересекаются
в одной точке, поэтому можно сказать, что действует плоская сходящаяся система
сил. Для равновесия плоской сходящейся системы сил составляем два уравнения
равновесия: суммы проекций всех сил на оси координат. Выбираем оси и составляем
уравнения равновесия.
22
Для удобства в составлении уравнений, разберемся с углами между реакциями
связей и осями, исходя из известных данных (рисунок 2.1 в).
Уравнения равновесия на оси координат имеют следующий вид:
, , (2.1)
, . (2.2)
Чтобы найти усилия в стержнях, решим совместно уравнения (2.1) и (2.2). Вы-
разим из двух уравнений
и приравняем два выражения. Из уравнения (2.1):
Из уравнения (2.2)
Разделим переменные, неизвестные реакции
перенесем в правую часть, а
все, что известно, оставим в левой:
23
=> ,
Полученное значение имеет отрицательный знак, а это значит, что реакция
стержня ВС направлена в сторону, противоположную, указанной на рисунке 2.1.
Ответ: ,
2.2 Задача 2
Тело весом Р удерживается в равновесии посредством гибких связей Один ко-
нец прикреплен к стене, а к другому через блок D на нити СDB подвешено тело весом Q. Определить натяжение нити и вес тела Q. Вес тела P = 20 кН (рисунок 2.2 а).
Трением в шарнирных связях и блоках пренебречь.
Рассмотрим равновесие узла С. Отбросим связи, заменим их действие реакциями: реакции нити СD направлена вдоль нити от узла С и равна весу груза Q. Реакция
нити, на который подвешен груз Р равна весу груза P (рисунок 2.2 б), реакцию нити
АС обозначим
(реакция нити направлена вдоль нити от рассматриваемого тела).
Все силы расположены в плоскости и линии действия всех сил пересекаются
в одной точке, поэтому можно сказать, что действует плоская сходящаяся система
24
a)
б)
Рисунок 2.2 – Схема к задаче 2
сил. Для равновесия плоской сходящейся системы сил составляем два уравнения
равновесия: суммы проекций всех сил на оси координат. Выбираем оси и составляем
уравнения равновесия – проекции сил на оси координат:
, , (2.3)
, . (2.4)
Как и в предыдущей задаче, решая совместно систему уравнений, получим:
Подставим выражение для
в уравнение (2.4):
25
Ответ: , .
2.3 Задача 3
Однородное тело весом удерживается в равновесии телом весом Q,
подвешенном на канате ADB и перекинутым через блок D. Определить давление
тела на плоскости, натяжение нити или вес тела Q (рисунок 2.3 а). Трением блока
пренебречь.
a)
б)
в)
Рисунок 2.3 – Схема к задаче 3
В данной задаче будем рассматривать тело весом Р. Покажем вес тела (сила Р
вертикально вниз, как показано на рисунке 2.3 б). Перпендикулярно наклонной
плоскости покажем реакцию гладкой поверхности N. Груз удерживается нитью, поэтому заменим данную связь реакций натяжения нити, которая направлена вдоль
нити от рассматриваемого тела. В данном случае реакция нити будет равна весу
груза Q.
26
Все силы расположены в плоскости и линии действия всех сил пересекаются
в одной точке, поэтому можно сказать, что действует плоская сходящаяся система
сил. Для равновесия плоской сходящейся системы сил составляем два уравнения
равновесия: суммы проекций всех сил на оси координат. В данной задаче оси лучше
выбрать следующим образом: одну ось вдоль нити (или вдоль наклонной поверхности), другую перпендикулярно опорной поверхности. Для удобства проецирования
рекомендуется предварительно разобраться с углами между силами и осями (рисунок 2.3 в).
Составим уравнения равновесия:
, , (2.5)
, . (2.6)
Из уравнения (2.5) получим:
Из уравнения (2.6) найдем реакцию поверхности (давление тела на плоскость).
Ответ: , .
2.4 Задача 4
Невесомая балка удерживается в равновесии неподвижным цилиндрическим
шарниром в точке А и связью, наложенной в точке В. Балка нагружена сосредоточенной силой Р. Определить реакции связей, используя теорему о трех
27
непараллельных силах, если известно, что , АВ = 2 м, АС = 1 м (рисунок
2.4 а). Трением в связях пренебречь.
a)
б)
Рисунок 2.4 – Схема к задаче 4
Рассмотрим равновесие балки АВ. Так как балка невесомая, то вес балки учитывать не будем. В точке В балка опирается на наклонную плоскость, поэтому мо-
жем показать реакцию в точке В. Реакция
направлена перпендикулярно опорной
поверхности. Чтобы показать реакцию неподвижного шарнира А, применим теорему о трех силах, согласно которой линии действия всех сил пересекаются в одной
точке, если тело находится под действием трех непараллельных сил. Для этого по-
кажем линии действия сосредоточенно силы P и реакции
. Линии действия этих
сил пересекаются в точке О. Соединим точки А и О. Это линия действия реакции
неподвижного шарнира. Покажем реакцию шарнира
(рисунок 2.4 б).
Также выберем оси координат и по возможности, покажем градусные меры
углов, которые составляют реакции и сила Р с координатными осями (рису-
нок 2.4 б). Так как неизвестна градусная мера угла, который составляет реакция
с осью х, обозначим данный угол α.
Составим уравнения равновесия относительно координатных осей:
, , (2.7)
, . (2.8)
28
Для расчета угла α, рассмотрим треугольники АОС и ВОС. В треугольнике
ВОС:
Для треугольника АОС справедливо равенство:
По условию задачи, АВ = 2 м, АС = 1 м, тогда ВС = 1 м. Отсюда АС = ВС. На
основании вышеизложенного, из равенства сторон AC и BC следует, что:
,
Уравнения (2.7) и (2.8) примут вид:
, , (2.9)
, . (2.10)
Из уравнения (2.9) получается, что Заменим в уравнении (2.10)
на
и получим:
,
,
29
Ответ:
2.5 Задача 5
Невесомая балка [4] удерживается в равновесии неподвижным цилиндрическим шарниром в точке А и связью, наложенной в точке С. Балка нагружена силой
тяжести тела Р, подвешенного на канате, перекинутым через блок D. Определить
реакции связей, используя теорему о трех непараллельных силах, если известно, что
, АВ = 5 м, АС = 4 м. Все необходимые данные представлены на рисунке
2.5 а). Трением пренебречь.
a)
б)
Рисунок 2.5 – Схема к задаче 5
Рассмотрим равновесие балки АВ. Так как балка невесомая, то вес балки не
учитывается. В точке С промежуточной точкой балка опирается на наклонную плос-
кость, поэтому можем показать реакцию в точке С. Реакция
направлена перпен-
дикулярно опорной поверхности. В точке В балка удерживается канатом, на котором
подвешен груз. Реакция каната показана на рисунке 2.5 б и она равна весу груза Р.
Чтобы показать реакцию неподвижного шарнира А, применим теорему о трех силах,
согласно которой линии действия всех сил пересекаются в одной точке, если тело
находится под действием трех непараллельных сил. Для этого покажем линии дей-
ствия реакций P и
. Линии действия этих сил пересекаются в точке О. Соединим
30
точки А и О. Это линия действия реакции неподвижного шарнира. Покажем реак-
цию шарнира
(рисунок 2.5 б).
Также выберем оси координат и по возможности, покажем градусные меры
углов, которые составляют реакции и сила Р с координатными осями (рисунок 2.6).
Оси выбираем следующим образом: ось х направим вдоль балки, ось y перпендикулярно балке. Так как неизвестна градусная мера угла, который составляет реакция
с осью х, обозначим данный угол α.
a)
б)
Рисунок 2.6 – Схема к задаче 5 (градусные меры углов)
Составим уравнения равновесия относительно координатных осей:
, , (2.11)
, . (2.12)
Для определения синуса и косинуса угла α рассмотрим соотношения длин и
сторон в треугольниках ВOC и АОВ, представленных на рисунке 2.7 а и 2.7 б.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]