Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Решение типовых задач по дисциплине «Теоретическая механика». Раздел «Статика». Учебное пособие
.pdf
101
Прямоугольная фигура содержит вырезы. Разобьём плоскую фигуру на несколько простых элементов (простых фигур). Пронумеруем элементы соответствующим индексом. Расчетная схема к задаче представлена на рисунке 8.5.
Рисунок 8.5 – Расчётная схема к задаче 2
Определим координаты центра тяжести каждого элемента. Для удобства, на
рисунке 8.6 представлен отдельно каждый элемент плоской фигуры, для которого
определено положение центра тяжести и показаны необходимые размеры.
Центр тяжести прямоугольника находится в точке пересечения его диагоналей, покажем центры тяжести двух прямоугольников (рисунок 8.6 а, в).
Центр тяжести четверти круга показан на рисунке 8.6 б и определяется по формуле:
Центр тяжести треугольника находится в точке пересечения его медиан (рисунок 8.6 г) и делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
102
a)
б)
в)
г)
Рисунок 8.6 – Элементы плоской фигуры
Также для определения координат, отметим положение центра тяжести каждого элемента на всей фигуре (рисунок 8.7) и определим координаты центра тяжести
каждого элемента с учетом размеров, представленных на рисунке 8.6.
Выберем систему координат xOy, проходящую через сторону AB с началом
отсчёта в точке A. Рассчитаем координаты положения центра тяжести каждого элемента с учетом размеров положения центра тяжести каждого элемента, представлен-
ного на рисунке 8.6:
103
Рисунок 8.7 – Координаты положения центра тяжести элементов
104
Для определения центра тяжести плоской фигуры воспользуемся формулой
(1.13), представленной в первом разделе (определение центра тяжести площади).
Обратите внимание, что элементы, которые вырезаются из фигуры, в расчётах указываются с отрицательным знаком.
Для удобства в расчетах все данные будем заносить в таблицу 8.2.
Таблица 8.2 – Данные координат центра тяжести и площади плоских фигур
№ фигуры
, м
, м
, м2
, м2
, м2
1
1
0,75 3 3
2,25
2
0,54
1,24
0,28
0,153
0,35
3
0,95
1,2
0,18
0,171
0,216
4
1,3
1,1
0,18
0,234
0,198
Вычислим площадь каждой фигуры отдельно. Площадь прямоугольника определяется произведением ширины на высоту. Соответственно, вычислим площадь
первой и третьей фигуры и занесем данные в таблицу 8.2:
Площадь второй фигуры (четверть круга) определяется формулой:
105
Площадь треугольника определяется произведением половины основания на
высоту. Так как треугольник прямоугольный, то площадь четвертой фигуры определяется формулой:
Чтобы заполнить пятый и шестой столбцы таблицы 8.2, нужно перемножить
значения второго и четвертого столбцов, полученный результат занести в пятую колонку, а затем произведение третьего и четвертого столбцов, результаты внести в
шестую колонку.
Так как прямоугольная фигура имеет вырезы, то в формуле для определения
центра тяжести плоской фигуры, площади вырезанных элементов будем брать с отрицательным знаком. Тогда общая площадь фигуры вычисляется по формуле:
Сумма произведений площади элемента на координату его центра тяжести
(площади вырезанных элементов также учитываются с отрицательным знаком)
определяется формулой:
Определим координату центра тяжести плоской фигуры
106
Определим координату центра тяжести плоской фигуры
Отметим на рисунке 8.8 точку с координатой С (1; 0,6). Это и есть положение
центра тяжести плоской фигуры.
Рисунок 8.8 – Положение центра тяжести фигуры
Ответ: ,
8.3 Задача 3
Определить положение центра тяжести плоской однородной фигуры. Оси координат выбрать самостоятельно. Исходные данные к задаче: OD = OE = r = 1,4 м,
OA = 1,2 м, R = 2 м. Схема к задаче представлена на рисунке 8.9.
107
Рисунок 8.9 – Схема к задаче 3
Фигура содержит вырезы. Разобьём плоскую фигуру на несколько простых
элементов (простых фигур). Пронумеруем элементы соответствующим индексом и
покажем центр тяжести каждого элемента. Расчетная схема к задаче представлена
на рисунке 8.10.
Рисунок 8.10 – Расчётная схема к задаче 3
108
Определим координаты центра тяжести каждого из элементов. Для удобства,
на рисунке 8.11 представлен отдельно каждый элемент плоской фигуры, определено
положение центра тяжести элемента и показаны необходимые размеры.
Центр тяжести прямоугольника находится в точке пересечения его диагоналей, покажем центр тяжести прямоугольника (рисунок 8.11 б).
Центр тяжести четверти круга показан на рисунке 8.11 в и определяется по
формуле:
Центр тяжести круга находится в центре (в начале координат).
a)
б)
в)
Рисунок 8.11 – Элементы плоской фигуры
Для определения центра тяжести плоской фигуры воспользуемся формулой
(1.13), представленной в первом разделе (определение центра тяжести площади).
Для удобства в расчетах все данные внесем в таблицу 8.3.
109
Таблица 8.3 – Данные координат центра тяжести и площади плоских фигур
№ фигуры
, м
, м
, м2
, м2
, м2
1
0 0 12,56 0 0
2
0,7
0,6
1,68
1,176
1
3
0,6
– 0,6
1,54
0,924
– 0,554
Вычислим площадь каждой фигуры отдельно, занесем данные в таблицу 8.3.
Площадь круга вычислим по формуле:
Площадь прямоугольника определяется произведением ширины на высоту.
Вычислим площадь второй фигуры:
Площадь третьей фигуры (четверть круга) определяется формулой:
Чтобы заполнить пятый и шестой столбцы в таблице 8.3 нужно перемножить
значения второго и четвертого столбцов, результат занести в пятую колонку. Затем
найти произведение третьего и четвертого столбцов, результаты внести в шестую
колонку.
110
Так как круглая фигура имеет вырезы, в формуле для определения центра тяжести плоской фигуры, площади вырезанных элементов будем брать с отрицательным знаком. Тогда общая площадь фигуры вычисляется по формуле:
Сумма произведений площади элемента на координату его центра тяжести, где
площади вырезанных элементов также учитываются с отрицательным знаком, определяется формулой:
Определим координату центра тяжести плоской фигуры
Определим координату центра тяжести плоской фигуры
Отметим на рисунке 8.12 точку с координатой С (– 0,2; 0,13).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]