Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Решение типовых задач по дисциплине «Теоретическая механика». Раздел «Статика». Учебное пособие
.pdf
91
.
Уравнение моментов относительно оси
.
При подстановке оба уравнения обратились в ноль, а это значит, что реакции
найдены верно.
Ответ: , , , ,
7.3 Задача 3
Однородная прямоугольная плита весом 1 кН закреплена, как показано на ри-
сунке 7.8. Определить величину силы
, при которой усилие в стержне CD равно
нулю. Для полученного значения силы
найти реакции остальных связей, если
, .
Рассмотрим равновесие прямоугольной плиты (активные силы уже показаны).
Отбросим связи в точках A и B (это петли), заменим их действие реакциями
,
,
(рисунок 7.9). Так как в данных точках нет никаких препятствий (связей)
по перемещению вдоль оси x, то составляющие по оси x показывать не надо. Также
отбросим действие стержня CD, заменим его действие реакцией
, направленной
вдоль стержня от прямоугольной плиты. Для удобства силу
представим двумя
92
составляющими (по условию задачи, сила
лежит в плоскости, перпендикулярной
оси x, а это значит, что сила будет проецироваться на оси y и z). По условию задачи
реакция стержня равна нулю. Также, как и в предыдущей задаче (для лучшего понимания), данная реакция будет учитываться в уравнениях равновесия, а в расчетах
будем подставлять нулевое значение. Рабочая схема к решению задачи представлена
на рисунке 7.10 a, б.
Рисунок 7.8 – Схема к задаче 3
Рисунок 7.9 – Расчетная схема к задаче 3
93
a)
б)
Рисунок 7.10 – Схема к решению задачи 3
Силы, приложенные к плите, расположены произвольно в пространстве, со-
ставляем шесть уравнений равновесия:
(7.13)
(7.14)
. (7.15)
При составлении уравнений моментов относительно координатных осей, ис-
ключаем силы, которые пересекают ось или параллельны оси. Так, например, при
составлении моментов сил относительно оси x. исключаем силы , , ,
, так
как они пересекают ось x. В уравнении моментов сил относительно оси y, исключаем
силы , , так как они пересекают ось y, а также исключаем реакции
, реакцию
стержня
и составляющую
, так как они параллельны оси y. Аналогично
с моментами сил относительно оси z. Остается реакция и реакция стержня
.
94
(7.18)
Из уравнения (7.18), учитывая, что усилие в стержне
равно нулю, найдем
реакцию
Из уравнения (7.16) с учетом нулевого усилия в стержне , найдем
Из уравнения (7.17) найдем реакцию
Из уравнения (7.15) найдем реакцию
Из уравнения (7.14) найдем реакцию
95
Для проверки найденных реакций нужно составить два уравнения моментов
относительно координатных осей, которые не использовались в решении. Для этого
нужно провести новые оси координат ,
через другую точку, как показано на
рисунке 7.11.
Рисунок 7.11 – Схема для проверки к задаче 3
Уравнение моментов относительно оси
Уравнение моментов относительно оси
При подстановке оба уравнения обратились в ноль, а это значит, что реакции
найдены верно.
96
Ответ: , , , ,
В завершении этой темы, ещё раз обратим внимание на некоторые моменты.
При решении задачи важно правильно разложить силы на составляющие. Каждую силу необходимо разложить на три проекции на оси x, y и z. При разложении
силы учитывают углы между силой и осями координат.
Уравнения моментов можно составлять относительно любой точки в пространстве, но правильный выбор точки может существенно упростить решение. Рационально выбирать точку так, чтобы линии действия как можно большего числа
неизвестных сил (например, реакций опор) проходили через эту точку. В этом случае моменты этих сил будут равны нулю, и количество неизвестных в уравнениях
уменьшится.
При решении полученной системы шести уравнений с шестью неизвестными
(обычно это реакций опор) применяют методы алгебры (подстановку, исключение
переменных, матричный метод) для решения системы.
После решения уравнений обязательно нужно проверить правильность полученных результатов, подставив их в уравнения равновесия.
Залог успеха в решении задач кроется в четком и подробном чертеже, на котором изображены все силы, углы, размеры и система координат.
Следуйте логичной и последовательной схеме решения, чтобы не запутаться в
вычислениях.
Будьте предельно внимательны при разложении сил, определении моментов и
решении уравнений. Одна ошибка может привести к неправильному ответу.
Важно следить за единицами измерения и убедиться, что все величины выражены в одной системе единиц (например, СИ).
Соблюдение этих нюансов поможет вам успешно решать задачи на равновесие
произвольной пространственной системы сил. Удачи!
97
8 Примеры решения задач на определение центра тяжести тел
8.1 Задача 1
Определить положение центра тяжести плоской фигуры, состоящей из тонких
однородных стрежней. Оси координат выбрать самостоятельно. Исходные данные
OA = AB = 1,5 м, OF = FE = 2 м. Схема к задаче представлена на рисунке 8.1.
Рисунок 8.1 – Схема к задаче 1
Фигура состоит из стержней. Рассмотрим отдельно каждый из стержней. Пронумеруем и покажем центр тяжести каждого стержня. Так как стержни однородные,
то центр тяжести каждого расположен в центре стержня. Обозначим центр тяжести
каждого стержня соответствующим индексом. Расчетная схема к задаче представлена на рисунке 8.2. Чтобы определить координаты центра тяжести каждого стержня
выберем систему координат xOy, проходящую через точки OB и OE, с началом отсчёта в точке O. Для удобства в расчётах, необходимые координаты указаны на рисунке 8.2. Для определения центра тяжести плоской фигуры воспользуемся формулой (1.14), представленной в первом разделе (определение центра тяжести линии).
98
Рисунок 8.2 – Расчетная схема к задаче 1
Для удобства в расчетах все данные будем заносить в таблицу 8.1.
Таблица 8.1 – Данные координат центра тяжести и длин стержней
№ стержня
, м
, м
, м
, м2
, м2
1 (OA)
0
0,75
1,5 0 1,125
2 (AB)
0
2,25
1,5 0 3,375
3 (OF)
1 0 2 2 0
4 (EF)
3 0 2 6 0
5 (DF)
2
0,75
1,5 3 1,125
6 (AF)
1
0,75
2,5
2,5
1,875
7 (BD)
1
2,25
2,5
2,5
5,625
8 (OD)
1
0,75
2,5
2,5
1,875
9 (DE)
3
0,75
2,5
7,5
1,875
10 (AD)
1
1,5 2 2
3
99
Продолжение таблицы 8.1
№ стержня
, м
, м
, м
, м2
, м2
Вычислим длины стержней BD, DE, AF, OD. Длины этих стержней равны, поэтому достаточно найти длину одного стержня. Найдем длину стержня AF, где длина
– это гипотенуза в прямоугольном треугольнике, в котором известны катеты.
Найдем длину стержня по теореме Пифагора:
Для вычисления центра тяжести плоской фигуры заранее посчитаем произведение координаты центра тяжести каждого стержня на его длину. Для этого перемножим сначала значения второго столбца на четвертый, а затем третьего столбца
на четвертый и внесем результат в таблицу в пятый и шестой столбцы соответственно, а затем посчитаем сумму произведений. Внесем результат в таблицу. После
заполнения всех столбцов в таблице, можно определить центр тяжести плоской фигуры:
Отметим на рисунке 8.3 точку с координатой С (1,4; 1,0). Это и есть положение
центра тяжести плоской фигуры.
100
Рисунок 8.3 – Положение центра тяжести фигуры
Ответ: ,
8.2 Задача 2
Определить положение центра тяжести плоской однородной фигуры. Оси координат выбрать самостоятельно. Исходные данные к задаче: OD = OH = 0,6 м, AG
= 2 м, AB = 1,5 м, EF = 0,9 м, BD = 0,2 м. Схема к задаче представлена на рисунке
8.4.
Рисунок 8.4 – Схема к задаче 2
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]