Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Решение типовых задач по дисциплине «Теоретическая механика». Раздел «Статика». Учебное пособие
.pdf
11
Проекцией силы на ось называется направленный отрезок оси, заключённый
между двумя перпендикулярами, опущенными из начала и конца вектора (рисунок
1.3 а).
Проекция силы на ось равна произведению модуля этой силы на косинус угла
между направлением силы и положительным направлением оси: ,
(рисунок 1.3 б).
Рисунок 1.3 – Проекция силы на ось
При определении проекции силы в пространстве, нужно сначала спроецировать силу на плоскость, содержащую ось, а потом спроецировать полученную проекцию на ось (рисунок 1.4).
Рисунок 1.4 – Проекция силы на ось (способ двойного проецирования)
В случаях, когда по условию задачи требуется определить давления тела на
опоры, нужно найти равные по модулю этим давлениям соответствующие реакции
связей, а затем направить искомые давления противоположно реакциям.
а)
б)
12
Иногда для определения линии действия реакции можно воспользоваться теоремой о трех непараллельных силах. Формулируется теорема следующим обра-
зом: если на тело, находящееся в равновесии, действуют три непараллельные силы
(включая реакции опор), то они лежат в одной плоскости, и линии их действия пересекаются в одной точке. Таким образом, если тело находится под действием трех
непараллельных сил, находят точку пересечения линий действия двух сил, направления которых известны и через эту точку проводят линию действия третьей силы
(рисунок 1.5).
Рисунок 1.5 – Теорема о трёх непараллельных силах
Составляя уравнения равновесия, центр моментов, то есть точку, относительно которой находятся моменты сил, следует выбирать на пересечении линий
действия двух неизвестных сил. Это даст возможность определить третью, неизвестную силу непосредственно из этого уравнения. Но, если этот центр моментов расположен так, что вычисление плеч при определении моментов сил вызовет затруднение, то лучше составить уравнение относительно другого центра несмотря на то, что
в него войдут значения двух неизвестных сил, которые найдём, решая полученную
систему уравнений.
Момент силы относительно центра равен взятому с определенным знаком
« + » или « – » произведению модуля силы и кратчайшего расстояния от точки до
линии действия силы (формула 1.7):
, (1.7)
13
где F – модуль силы, Н;
h – кратчайшее расстояние от точки до линии действия силы (плечо), м.
Знак « + » ставят, если сила стремится вращать тело относительно точки А
против часовой стрелки, « – » – по часовой стрелке (рисунок 1.6).
Рисунок 1.6 – Момент силы относительно центра
Моментом силы относительно оси называется алгебраическая величина,
равная взятому с определенным знаком « + » или « – » произведению модуля этой
силы на перпендикулярную к оси плоскость и кратчайшего расстояния от линии действия проекции до оси. Знак « + » ставится, когда сила стремится повернуть тело
относительно оси против часовой стрелки, « – » – по часовой стрелке (смотреть на
силу с положительного направления соответствующей оси).
Таким образом, чтобы найти момент силы относительно оси z (рисунок 1.7),
необходимо: найти момент силы относительно точки пересечения плоскости хy,
перпендикулярной оси z, с этой осью (точка О).
, (1.8)
где
– проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси, Н;
– кратчайшее расстояние от линии действия проекции до точки пересе-
чения плоскости и оси, перпендикулярной плоскости, м.
Из определения следует, что, если сила параллельна оси или её линия действия
пересекает ось, то момент такой силы относительно оси равен нулю.
14
Рисунок 1.7 – Момент силы относительно оси
Теорема Вариньона о моменте равнодействующей силы, формулируется следующим образом: момент равнодействующей относительно любой точки равен геометрической сумме моментов составляющих сил относительно этой точки, а момент
равнодействующей силы относительно любой оси равен алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно оси (рисунок 1.8).
Рисунок 1.8 – Теорема Вариньона о моменте равнодействующей силы
При движении или стремлении двигать одно тело по поверхности другого в
касательной плоскости поверхностей соприкосновения возникает сила, препятствующая движению тел относительно друг друга. Эту силу называют силой трения
скольжения.
15
В инженерных расчётах обычно используют основные приближенные законы
Кулона для сухого трения скольжения.
Сила трения скольжения находится в общей касательной плоскости соприкасающихся поверхностей тел и направлена в сторону, противоположную направлению возможного или реального скольжения тела под действием приложенных сил.
Сила трения при покое зависит от активных сил и её модуль изменяется от нуля до
максимального значения, которое достигается в момент выхода тела из положения
равновесия, то есть:
(1.9)
Максимальная сила трения скольжения пропорциональна нормальному давлению (нормальной реакции):
(1.10)
где f – безразмерный коэффициент называется коэффициентом трения скольжения.
Центром тяжести твердого тела называется неизменно связанная с ним геометрическая точка С, через которую проходит линия действия силы тяжести тела при
любой его ориентации в пространстве [3].
Координаты центра тяжести (в выбранной системе координат) определяются
по выражениям:
где P – сила тяжести тела,
В однородном теле сила тяжести
любой его части пропорциональна её объ-
ему (площади, длине
), отсюда, центр тяжести объема определяется коорди-
натами:
16
где V – объём тела,
Центр тяжести площади (тонкой плоской пластины) определяется координатами:
где S – площадь фигуры,
Центр тяжести линии определяется координатами:
где l – длина линии,
Для определения положения центра тяжести тел, в зависимости от формы фигуры, применяют несколько методов:
– Метод симметрии. Если однородное тело имеет центр, ось или плоскость
симметрии, то центр тяжести находится соответственно, в центре, лежит на оси или
в плоскости симметрии.
– Метод разбиения. Применяется для определения положения центра тяжести
сложных тел. Если тело можно разбить на конечное число простейших частей, центры тяжести которых известны, то координаты центра тяжести всего тела можно вычислить по формулам (1.11 – 1.14). При этом число слагаемых в каждом из числителей будет равно числу частей, на которые разбито тело.
– Метод дополнений. Это частный случай метода разбиения, который применяется для определения положения центра тяжести сложных тел, имеющих вырезы
или пустоты, если известен центр тяжести тела без выреза и центры тяжести вырезаемых частей. В этом случае в формулах (1.11 – 1.13) P, V, S дополненных частей
берутся с отрицательными знаками.
17
Задачи на определение координат центра тяжести сложных тел рекомендуется
решать в следующем порядке:
1) Понять рисунок тела или плоской фигуры.
2) Выбрать систему координат, если она не задана на рисунке.
3) Разделить конструкцию, тело, плоскую фигуру на минимальное количе-
ство простейших элементов, или сначала дополнить сложную фигуру до простейшей, а затем разделить.
4) Вычислить длины, объемы или площади выделенных элементов и коор-
динаты их центов тяжести.
5) Используя формулы для определения координат центров тяжести слож-
ных тел и фигур, вычислить координаты центра тяжести заданной конструкции или
тела в принятой системе координат.
Решение задач статики играет ключевую роль в формировании широкого спектра компетенций у студентов инженерных специальностей. Эти компетенции не
только важны для успешного освоения учебного материала, но и являются основой
для будущей профессиональной деятельности. Рассмотрим подробнее, какие навыки
развиваются при изучении статики и как эти знания применяются на практике.
Ключевые компетенции, развиваемые при решении задач статики представлены в таблице 1.1.
Таблица 1.1 – Ключевые компетенции
Компетенция
Расшифровка компетенции
1
2
Аналитическое
мышление и
Статика требует детального анализа сложных систем, их де-
композиции на составляющие элементы, выявления взаимосвязей и
построения логических цепочек для достижения решения. Студент
учится выделять ключевые параметры, применять соответст-
18
Продолжение таблицы 1.1
1
2
логическое
рассуждение
вующие законы и принципы, а также формировать обоснованные
выводы.
При определении реакций опор балки [3] студент анализи-
рует схему, идентифицирует типы опор, направления приложенных сил и моментов, и затем, используя уравнения равновесия, логически выводит значения реакций.
Аналитическое мышление необходимо для решения любых
инженерных задач, проектирования конструкций, оптимизации
процессов и принятия обоснованных решений.
Пространственное
мышление и
визуализация
Задачи статики часто связаны с трехмерными объектами и
требуют умения представлять силы и моменты в пространстве, визуализировать распределение нагрузок и напряжений.
При решении задачи на равновесие фермы, студент должен
представлять, как силы распределяются по стержням, визуализировать усилия растяжения и сжатия в каждом элементе.
Пространственное мышление необходимо для проектирова-
ния зданий и сооружений, разработки механизмов и машин, создания трехмерных моделей и визуализации данных.
Математическое моделирование и расчет
Решение задач статики предполагает создание математических моделей физических явлений, запись уравнений равновесия и
их решение с использованием различных математических методов.
При расчете равновесия рамной конструкции студент составляет систему уравнений равновесия для каждого элемента и
решает ее, используя методы линейной алгебры.
Математическое моделирование используется для прогнозирования поведения систем, оптимизации процессов и разработки
новых технологий в различных областях: инженерии, физике, экономике и финансах.
Решение проблем и принятие решений
Задачи статики часто имеют несколько вариантов решения,
и студент должен уметь выбирать наиболее эффективный и рациональный подход, учитывая различные факторы и ограничения.
При проектировании моста инженер учитывает различные
нагрузки (собственный вес, транспорт, ветер, землетрясение), выбирает оптимальные материалы и конструктивные решения для
19
Продолжение таблицы 1.1
1
2
обеспечения прочности и устойчивости сооружения.
Навыки решения проблем и принятия решений необходимы
для любой профессиональной деятельности, требующей анализа
сложных ситуаций, разработки стратегий и достижения поставленных целей.
Коммуникативные
навыки и
представление
результатов
Решение задач статики часто требует обсуждения и согласования решений с коллегами и заказчиками, а также умения четко и
ясно представлять результаты расчетов и анализов.
Инженер-конструктор должен уметь объяснить заказчику,
почему выбрана та или иная конструктивная схема, и представить
результаты расчетов в понятной и наглядной форме.
Коммуникативные навыки важны для эффективной работы в
команде, обмена информацией и достижения взаимопонимания.
В профессиональной деятельности знания статики являются
фундаментальными для широкого спектра инженерных специальностей. Вот лишь некоторые примеры применения:
В строительстве и архитектуре знания статики помогают в
проектировании зданий, мостов, тоннелей и других сооружений,
обеспечению их прочности и устойчивости.
В машиностроение при разработке механизмов, машин и
оборудования, расчете нагрузок и напряжений в деталях.
В авиационной и космической промышленности при проектировании самолетов, ракет и космических аппаратов, обеспечение их прочности и надежности.
В робототехнике при разработке роботов и манипуляторов,
расчете сил и моментов, действующих на элементы конструкции.
В гражданской инженерии при проектировании дорог, плотин, гидроэлектростанций и других инфраструктурных объектов.
В горном деле при расчете устойчивости горных выработок
и склонов, проектировании систем крепления.
В мехатронике при проектировании интегрированных систем, сочетающих механические, электрические и компьютерные
компоненты.
20
Приведем несколько конкретные примеров применения знаний статики на
практике:
– при расчете нагрузки на фундамент здания инженер должен рассчитать вес
здания и нагрузки от оборудования и людей, чтобы определить требуемую площадь
фундамента и обеспечить устойчивость здания;
– при проектировании моста инженер должен учитывать нагрузки от транспорта, ветра и других факторов, чтобы выбрать оптимальную конструкцию моста и
обеспечить его безопасность;
– при разработке робота-манипулятора инженер должен рассчитать силы и моменты, действующие на элементы манипулятора, чтобы обеспечить его точность и
грузоподъемность;
– при анализе устойчивости склона инженер должен учитывать геологические
условия, уровень грунтовых вод и другие факторы, чтобы оценить устойчивость
склона и предотвратить оползни.
Учитывая все вышеизложенное, можно сказать, что изучение статики является
важным этапом в подготовке инженеров, поскольку развивает не только технические навыки, но и широкий спектр компетенций, необходимых для успешной профессиональной деятельности. Знания статики позволяют решать сложные инженерные задачи, проектировать надежные и эффективные конструкции, а также вносить
вклад в развитие науки и техники. Развитие этих компетенций должно быть приоритетной задачей при обучении студентов.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]