Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Построение евклидовой геометрии на основе системы аксиом Вейля. Учебное пособие
.pdf
Н. С. ДЕНИСОВА,
О. Ю. ТЕСЛЯ
ПОСТРОЕНИЕ ЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ
НА ОСНОВЕ СИСТЕМЫ АКСИОМ ВЕЙЛЯ
Учебное пособие
Москва 2016
УДК 514.01(075.8)
ББК 22.151.1я73
Д 332
Денисова, Наталья Серафимовна.
Д332 Построение евклидовой геометрии на основе системы
аксиом Вейля.
Учебное пособие / Н. С. Денисова, О. Ю. Тес-
ля. – Москва: Прометей, 2016 – 82 с.
В учебном пособии на основе системы аксиом Вейля вводятся
основные понятия и отношения евклидовой геометрии, доказываются основные теоремы евклидовой геометрии, связанные со взаимным расположением точек, прямых и плоскостей, а также теоремы, связанные с равенством отрезков и углов. Пособие содержит
задачи с указаниями к решению, которые помогут освоить теоретические положения. Для студентов и магистрантов учреждений
высшего профессионального образования, а также для желающих
овладеть способом построения элементарной геометрии на основе
аксиоматики Вейля.
ISBN 978-5-9907986-1-8
© Денисова Н. С., Тесля О. Ю., 2016.
© Издательство «Прометей», 2016.
Содержание
Введение……………………………………………………….…….4
§ 1. Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства,
ее непротиворечивость и полнота… ….……………………...……7
§ 2. Прямые и плоскости в пространстве Е3(W).…………..….….14
§ 3. Отрезок, луч, полуплоскость, полупространство, угол,
двугранный угол….…………………………………………...…..20
§ 4. Равенство отрезков и углов………….……………………......38
§ 5. Параллельность прямых и плоскостей в евклидовом
пространстве Е
(W)………………………………..........................51
3
§ 6. Перпендикулярность прямых и плоскостей в евклидовом
пространстве Е
(W)……………………………..............................62
3
§ 7. Эквивалентность системы аксиом Вейля и системы аксиом
Гильберта трехмерного евклидова пространства……………......72
Литература…………………………………………………….…....80
3
Введение
Возникновение аксиоматического метода связано с именем
Пифагора (VI – V в. до н.э.), но впервые аксиоматический метод
успешно применил Евклид в своей книге «Начала» [9] в III в. до
н.э. «Начала» построены следующим образом: сначала даются
основные понятия и перечисляются основные допущения –
постулаты и аксиомы, затем идут предложения (теоремы),
которые Евклид стремился доказать по правилам логики на
основании принятых постулатов и аксиом.
Аксиоматический метод используется не только как метод
построения теории, но и как метод исследования, он применяется
не только в математике, но и в других разделах естествознания. В
своем развитии аксиоматический метод прошел три этапа:
первый этап связан с Евклидом (III в. до н.э.); второй этап связан
с открытием теории множеств Г.Кантором и геометрии
Лобачевского (XIX в.); третий этап связан с возникновением
символического исчисления (XX в.). Всякая аксиоматическая
теория строится по следующей схеме: 1. Перечисляются
неопределяемые понятия, принимаемые без определения, и
неопределяемые отношения. 2. Дается список аксиом – исходных
предложений теории, принимаемых без доказательства, в
которых выражены свойства неопределяемых отношений. 3. Все
другие продолжения теории доказываются чисто логическим
путем с помощью аксиом и ранее доказанных теорем. 4. Все
понятия, не являющиеся основными, определяются через
основные и ранее введенные понятия.
4
Первая строгая аксиоматика евклидовой геометрии была
построена в 1899 году Давидом Гильбертом [8].
До Гильберта попытки улучшения евклидовой аксиоматики
предпринимали М.Паш, И.Шур, Д.Пеано, Д.Веронезе; однако
подход Гильберта оказался более успешным. Система аксиом
Гильберта удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к
системам аксиом: непротиворечивость, независимость, полнота.
В нашей стране существуют и другие современные
аксиоматики; наиболее известные – аксиоматика Александрова
А.Д. [1], аксиоматика Погорелова А.В. [11], аксиоматика
Атанасяна Л.С. [3].
Вектор – одно из основных понятий современной математики.
Данное понятие широко используется в разных областях
математики, физики и т.д. В начале 20 века известный математик
Г. Вейль предложил так называемое «векторное» обоснование
геометрии [5]. Данная система аксиом очень проста и удобна. Не
секрет, что многие задачи в ней решаются гораздо проще, чем в
аксиоматике Гилберта. Возникает вполне логичный вопрос: «А
почему бы не внедрить данную систему аксиом в курс школьной
геометрии?» Подобный опыт уже был в нашей стране.
В.Г.Болтянский в 1985 году издал учебник по элементарной
геометрии, построенный на основе системы аксиом Вейля [4]. Но
учебник, полностью построенный на векторной основе не
прижился среди учителей. Бесспорно, наиболее сильная сторона
аксиоматики Вейля – это ее алгебраизация. Она дает возможность
в значительной мере алгоритмизировать процесс доказательства
теорем. Однако данное свойство имеет существенный
недостаток. Аксиоматика Вейля не развивает пространственные
5
представления учеников, также не развивает их геометрическую
интуицию, не соответствует наглядной природе обучения и не
отвечает естественному развитию мышления учащегося. Кроме
того, сильная алгебраизация теории Вейля предъявляет довольно
высокие требования к алгебраической и общелогической
культуре учеников. Но в процессе обучения необходимый
уровень не достигается к началу курса геометрии. Пожалуй, это
наиболее существенная причина того, что аксиоматика Вейля не
была внедрена в преподавание школьного курса геометрии.
Для студентов, изучающих построение евклидовой геометрии
на основе аксиоматики Гильберта, весьма полезным является
изучение евклидовой геометрии, построенной на основе системы
аксиом Вейля, и доказательство эквивалентности этих систем
аксиом.
В данном учебном пособии после определения евклидова
трехмерного пространства с помощью аксиоматики Вейля,
вводятся основные понятия евклидовой геометрии: прямая,
плоскость, понятие «лежать между», отрезок, луч, полуплоскость,
угол, двугранный угол, длина отрезка, понятие равенства
отрезков и углов, а также доказываются основные свойства этих
понятий. При этом проверяются, что в построенной теории
выполняются все аксиомы Гильберта. Особое внимание
уделяется доказательству признаков и свойств параллельности
прямых, параллельности прямой и плоскости, параллельности
плоскостей, перпендикулярности прямой и плоскости,
перпендикулярности плоскостей. Пристальное внимание в
данном пособии уделяется доказательству корректности ряда
вводимых определений.
6
Учебное пособие содержит задачи на доказательство, которые
снабжены указаниями и позволяют студентам освоить
теоретический материал.
В заключении обосновывается утверждение об
эквивалентности системы аксиом Гильберта и системы аксиом
Вейля трехмерного евклидова пространства.
Данное учебное пособие может быть использовано для
проведения курса дисциплина по выбору «Построение
евклидовой геометрии на основе аксиоматики Вейля», для
написания курсовых работ и выпускных квалификационных
работ студентами математического факультета педвуза. Это
пособие может представлять интерес и для учителей математики.
§ 1. Система аксиом Вейля трехмерного евклидова
пространства, ее непротиворечивость и полнота
1. Непустое множество V называется векторным
пространством над полем вещественных чисел, а его
элементы называются векторами, если заданы отображения
f
: V V → V (для любых двух векторов ,
1
V вектор f
называется суммой векторов и и обозначается +
f
: V → V (для любого вещественного числа λ и любого
2
(,
1
), и
вектора V вектор f2(λ,) называется произведением числа λ
на вектор и обозначается λ). Отображения f
удовлетворяют аксиомам сложения векторов I
произведения вектора на число II
– II4 (см. [7] § 6.1).
1
– I4 и аксиомам
1
и f2
1
Векторное пространство V, называется евклидовым векторным
пространством, если в нем задано отображение g: VV→,
удовлетворяющее следующим условиям:
)
7
III
. Для любых векторов и g(,) = g(,
1
III
. Для любых векторов , , g(+,) = g(,) + g(,
2
III
. Для любых векторов ,
3
g(λ,) = λ g(,
III
. Для любого ненулевого вектора g(,) > 0.
4
).
Из этих условий следует, что g(,
и любого вещественного числа λ
) = 0.
)
Значение g(,) на любой паре векторов и
скалярным произведением векторов и
. Будем обозначать
);
называется
скалярное произведение векторов и так:
.
Длиной вектора называется число ||= . Векторы и
называются перпендикулярными, если скалярное произведение
векторов и равно нулю, т.е.
= 0.
Евклидово векторное пространство называется n-мерным и
обозначается Vn , если выполняются две аксиомы:
IV1. В векторном пространстве V существует линейно
независимая система, состоящая из n векторов.
IV2. В векторном пространстве V любая система, состоящая из
n+1 векторов, линейно зависима.
Базисом n-мерного векторного пространства называется
упорядоченная система n линейно независимых векторов.
Координатами вектора в данном базисе называются
коэффициенты разложения вектора по векторам базиса.
Базис евклидова векторного пространства называется
ортонормированным, если длины всех базисных векторов равны
1 и любые два базисных вектора перпендикулярны.
В трехмерном евклидовом векторном пространстве V3 имеют
место следующие теоремы.
8
Теорема 1.1. В трехмерном евклидовом векторном
пространстве V3 существует хотя бы один ортонормированный
базис, который будем обозначать так: (, ,
).
Теорема 1.2. Если в трехмерном евклидовом векторном
пространстве V
даны два вектора и , длины которых равны
3
единицы и которые перпендикулярны, то существует такой
вектор , что базис (, ,
) ортонормированный.
Теорема 1.3. Если в трехмерном евклидовом векторном
пространстве V
то существует такие векторы и , что базис (, ,
дан вектор , длина которого равна единицы,
3
ортонормированный.
В двумерном евклидовом векторном пространстве V2 имеют
место следующие теоремы.
Теорема 1.4. В двумерном евклидовом векторном
пространстве V
существует хотя бы один ортонормированный
2
базис, который будем обозначать так: (, ).
Теорема 1.5. Если в двумерном евклидовом векторном
пространстве V
дан вектор , длина которого равна единицы,
2
то существует такой вектор , что базис (, )
ортонормированный.
)
Докажем, что для любых двух ненулевых векторов и
–1 1, или 1 или (
)2
рассмотрим ортонормированный базис (, ,
координаты векторов и в этом базисе (а
Легко проверить, что (
)2 =(а1b1 + а2b2 + а3b3)2,
2
+
+
2
,
= + + .
2 2
) и найдем
),
1,а2,а3
. Для этого
(b1,b2,b3).
По неравенству Коши-Буняковского имеем:
9
n
i
n
i
n
i
iiii
baba
1 1 1
22
2
)(
,
откуда (а1b1+ а2b2+ а3b3)
а значит (
)2
2
2 2
и –1 1. Из этого следует, что
для любых двух ненулевых векторов и
(а
2
2
2
2
+ а
+ а
1
2
)(b
3
1
существует такое
+ b
2
2
+ b
2
),
3
вещественное число φ, что cos φ = . Это число φ назовем
величиной угла между ненулевыми векторами и
.
Из этого следует, что два ненулевых вектора
перпендикулярны тогда и только тогда, когда угол между ними
равен π/2.
Непустое подмножество Lm векторного пространства Vn
называется его векторным подпространством, если Lm – mмерное векторное пространство.
Два векторных подпространства Lm и Lp векторного
пространства Vn называются перпендикулярными, если любые
ненулевые векторы Lm и L
перпендикулярны.
p
Дано n-мерное (n = 2, 3) евклидово векторное пространство V
над полем вещественных чисел и непустое множество Е
n
элементы которого называются точками.
Непустое множество Еn называется n-мерным евклидовым
пространством, если задано отображение f: Е
f(М, N) будем обозначать
), удовлетворяющее следующим
Е
n
n→Vn
(вектор
двум аксиомам Вейля:
I. Для любой точки М из множества Е
и любого вектора из
n
векторного пространства Vn существует единственная точка N из
множества Е
такая, что =.
n
10
n
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]