Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Построение евклидовой геометрии на основе системы аксиом Вейля. Учебное пособие
.pdf
II. Для любых трех точек М, N, Р из множества Еn выполняется
равенство + =
.
При n = 3 евклидово пространство Е3 называется трехмерным
евклидовым пространством, при n = 2 евклидово пространство
Е
называется двумерным евклидовым пространством или
2
евклидовой плоскостью.
Будем обозначать евклидово п-мерное пространство,
определенное с помощью аксиоматики Вейля так: Е
(W).
n
Свойства евклидова пространства
1°) Для любой точки М Е
n
□ Из определения следует, что существует вектор
Тогда из первой аксиомы Вейля следует, что существует точка
такая, что . И для трех точек
(вторая аксиома Вейля). Тогда .
Следовательно,
. ■
2°) Если то .
□ Пусть . По первому свойству
. Тогда из
единственности точки в первой аксиомы Вейля следует, что
■
3°) Для любых двух точек
□ Рассмотрим три точки тогда из второй аксиомы
Вейля следует:
. Из этого равенства по первому свойству
следует, что Следовательно,
. ■
11
2. Докажем, что система аксиом трехмерного евклидова
3
2
1
a
a
a
3
2
1
a
a
a
3
2
1
b
b
b
33
22
11
ba
ba
ba
3
2
1
a
a
a
3
2
1
a
a
a
3
2
1
a
a
a
3
2
1
b
b
b
пространства непротиворечива, для этого построим модель
евклидова пространства Е
□ В качестве множества V
.
3
рассмотрим множество матриц
3
, где а
=
Произведением числа λ на вектор =
λ=
Скалярным произведением векторов =
назовем число g(,
при этом выполняются все аксиомы трехмерного евклидова
векторного пространства.
, а2, а3 – вещественные числа. Суммой векторов
1
и =
.
назовем вектор + =
) = а1b1 + а2b2 + а3b
назовем вектор
и =
. Легко проверить, что
3
.
12
В качестве множества точек Е
33
22
11
xy
xy
xy
3
2
1
p
p
p
33
22
11
mx
mx
mx
матриц (х1 х2 х
отображение f: Е
), где х
3
Е
3
, х2, х3 вещественные числа. Зададим
1
→ V3 по закону: для любых двух точек
3
(W) рассмотрим множество
3
Х = (х1 х2 х3) и Y = (у1 у2 у3) f(Х,Y) =
Проверим, что при этом выполняются аксиомы Вейля I и II.
1) Пусть М = (m1 m2 m
вектор. Докажем, что существует единственная точка
Х = (х1 х2 х
Так как =
тогда и только тогда, когда х
Существует единственная тройка чисел х
удовлетворяющая этим равенствам: х
х
= m3 + p3. Из этого следует выполнение аксиомы I Вейля.
3
2) Пусть М = (m1 m2 m3), N = (n1 n2 n3), Р = (р1 р2 р
произвольные точки, проверим, что + =
) такая, что = .
3
) – любая точка, а =
3
, то равенство = выполняется
– m1 = р1, х2 – m2 = р2, х3 – m3 = р3.
1
= m1 + р
1
.
– любой
, х2, х3,
1
, х
= m2 + р2,
1
2
) три
3
.
13
Так как
33
22
11
mn
mn
mn
33
22
11
np
np
np
33
22
11
m
mp
mp
p
=
,
=
,
=
,
то простым подсчетом получаем, что + =
. Из этого
следует выполнение аксиомы II Вейля. ■
§ 2. Прямые и плоскости в пространстве Е3(W)
1. Введение понятие прямой и плоскости в Е3(W).
Пусть Lk одномерное или двумерное подпространство
векторного пространства V3. На множестве Е
бинарное отношение Δ, так что АΔВ, если L
Е
введем
3
3
. Проверим,
k
что бинарное отношение Δ является отношением
эквивалентности, т.е. обладает свойствами рефлексивности,
симметричности, транзитивности; для этого воспользуемся
свойствами евклидова пространства ([7], § 3.10, пункт 1).
Для любой точки А вектор , но L
Если АΔВ, то Lk, из этого следует, что (–1) L
поэтому L
, значит ВΔА.
k
Если АΔВ и ВΔС, то Lk и L
Lk, но
, поэтому АΔС.
Следовательно, все множество Е
, значит АΔА.
k
, поэтому
k
разбивается на
3
,
k
непересекающиеся классы эквивалентности, которые являются
элементами фактор-множества Е
|Δ множества Е
3
по введенному
3
отношению Δ. Каждый из элементов фактор-множества Е3|Δ при
k = 1 называется прямой, а при k = 2 – плоскостью.
Подпространство Lk называется направляющим
14
подпространством прямой (плоскости), а векторы из этого
подпространства – векторами параллельными прямой
(плоскости). Так как каждый класс эквивалентности однозначно
определяется заданием одного своего элемента, то прямая
(плоскость) однозначно определяются заданием одной точки и
направляющего подпространства Lk. Прямую будем обозначать
(А, L1), а плоскость – (А, L2). Получаем, что прямая (А, L1) – это
множество всех таких точек Х, что L
(А, L
) = {Х: L
1
таких точек Х, что L
Если (
линейной оболочкой L
}. Плоскость (А, L2) – это множество всех
1
, то есть (А, L
2
) = {Х: L
2
) – базис L2, то подпространство L2 является
(
2
) ([6] § 6.3), аналогично, если (
, то есть
1
}.
2
) –
базис L1, то подпространство L1 является линейной оболочкой
L
(
). В этом случае прямую (А, L1) будем обозначать (А, L
1
или (А,
или (А,
), а плоскость (А, L2) будем обозначать (А, L
).
(
))
1
(
2
))
Таким образом, в пространстве Е3(W) введено отношение
принадлежности точки и прямой и точки и плоскости: точка Х
принадлежит прямой (А, L
плоскости (А, L
), если L
2
), если L
1
.
2
; точка Х принадлежит
1
Свойства прямых и плоскостей
Теорема 2.1. Для любых двух точек евклидова пространства
Е3(W) существует единственная прямая, которой эти точки
принадлежат.
□ Рассмотрим любые две различные точки А и В, тогда из
определения евклидова пространства и его свойств следует, что
15
).
, значит, существует одномерное
(
). Рассмотрим прямую
1
), проходящая через
1
существует ненулевой вектор
векторное подпространство L1 = L
(А,) = {М: L
так как, L1(
}. Точки А и В принадлежат этой прямой,
1
Пусть существует еще одна прямая (А, W
точки А и В. Так как точка В принадлежит этой прямой, то
W
следовательно, L
1,
= W1, и значит прямые (А, L1) и
1
(А, W1) совпадают. ■
Теорема 2.2. Для любой прямой существуют хотя бы две
точки, которые ей принадлежат, и существуют три точки, не
лежащие на одной прямой.
□ Рассмотрим произвольную прямую (А, ). Из первой
аксиомы Вейля следует, что существует такая точка В, что
=, следовательно, точка В принадлежат прямой (А,).
Так как пространство Е3 не пусто, то существует точка М,
принадлежащая Е3. В векторном пространстве V
линейно независимых вектора
(М,
). По первой аксиоме Вейля в Е
и Р, что =
, =
. Тогда из определения прямой следует,
и в пространстве Е3 прямую
существуют такие точки N
3
что точка В принадлежит прямой (М,
рассмотрим два
3
), а точка С не
принадлежит этой прямой. ■
Задача 2.1. Доказать, что каковы бы ни были три точки А, В,
С, не лежащие на одной прямой, существует единственная
плоскость, проходящая через эти точки.
Указание. Рассмотреть плоскость (А, ,
).
Будем говорить, что прямая принадлежит плоскости, если
каждая точка прямой принадлежит плоскости.
16
Задача 2.2. Доказать, что если две точки прямой принадлежат
плоскости, то прямая принадлежит плоскости.
Указание. Пусть две точки А и В прямой а(А, L
плоскости α(А, L
), значит L1, L
2
. Доказать, что любая
2
), принадлежат
1
точка М прямой (А, L1) принадлежит плоскости (А, L2).
Две плоскости пересекаются по прямой, если существует
прямая, которая принадлежит каждой из этих плоскостей, и
любая общая точка этих плоскостей принадлежит этой прямой.
Теорема 2.3. Если две плоскости α и β имеют общую точку А,
то плоскости α и β пересекаются по прямой, проходящей через
точку А.
□ Пусть две плоскости α и β имеют общую точку А, тогда α –
это плоскость (А, L2), а β – это плоскость (А,W
). Воспользуемся
2
формулой из курса алгебры:
dim L2 + dim W2 = dim (L
W
2
) + dim(L
2
W
) (2.1)
2
2
Так как плоскости α и β различны, то подпространства L2 и W2 не
совпадают, поэтому их прямой суммой является V3. Тогда из
формулы (2.1) следует, что dim(L
Рассмотрим ненулевой вектор из подпространства L
W
) = 1, поэтому L
2
2
W
2
= L1.
2
. По
1
первой аксиоме Вейля существует такая точка В, что = ,
поэтому вектор
принадлежит и подпространству L2 и
подпространству W2, поэтому точка В принадлежит и плоскости α
и плоскости β.
Рассмотрим прямую а(А,). Так как точка А принадлежит и
плоскости α, и плоскости β, а вектор принадлежит и
направляющему подпространству L2 плоскости α, и
направляющему подпространству W2 плоскости β, то каждая
точка прямой а принадлежит и плоскости α, и плоскости β,
значит прямая а принадлежит пересечению плоскостей α и β.
17
Докажем, что плоскости α и β пересекаются по прямой а.
Пусть существует точка С, которая принадлежит и плоскости α и
плоскости β, но не принадлежит прямой а. Тогда точки А, В, С не
принадлежат одной прямой и принадлежат и плоскости α и
плоскости β. По задаче 2.1 получаем, что плоскости α и β
совпадают, что противоречит условию. Следовательно,
плоскости α и β пересекаются по прямой а. ■
Теорема 2.4. В пространстве Е3(W) существуют по крайней
мере четыре точки, не принадлежащие одной плоскости.
□ Рассмотрим базис (
Так как пространство Е
,
,
) векторного пространства V3.
не пусто, то существует точка А,
3
принадлежащая Е3. По первой аксиоме Вейля существуют такие
точки В, С, D, что =
,
линейно независимы, то точки А, В, С, D не принадлежат
, =
, =
. Так как векторы
одной плоскости. ■
Задача 2.4. Доказать, что через прямую и не принадлежащую
ей точку проходит единственная плоскость.
Указание. Пусть точка М не принадлежит прямой а = А, ).
Рассмотреть плоскость α(А, ,
).
Задача 2.5. Доказать, что через две пересекающиеся прямые
проходит единственная плоскость.
Задача 2.6. Доказать, что на любой плоскости существуют
хотя бы три точки, не лежащие на одной прямой.
Теорема 2.5. Две плоскости пересекаются по прямой тогда и
только тогда, когда направляющие подпространства этих
плоскостей не совпадают.
□ 1) Пусть у плоскостей α = А, L2) и = В,W
подпространства L
и W2 различны, значит их прямая сумма есть
2
) направляющие
2
векторное пространство V3.
,
18
Воспользуемся формулой (2.1), из которой получаем:
dim(L2 W2) = 1, т.е. L
тогда в L
( , ). Так как L
существует базис ( ,
2
2
W2 = L
2
W
, то ( , , ) – базис V
2
. Пусть () – базис L
1
), а в W2 существует базис
1
, тогда
3
+ y + z, или
+ y + + z (2.2)
Из первой аксиомы Вейля евклидова пространства следует,
что существуют такие точки М и М1, что
= + y,
= + z (2.3)
Из свойства 3° евклидова пространства получаем, что
Из (2.1), (2.2), (2.3) следует, что = +
аксиоме Вейля = + , следовательно, =
М
=
и М совпадают. Учитывая, что L2, W
1
, тогда по первой аксиоме Вейля получаем, что точки
(2.4)
, но по второй
, получаем,
2
, и
что плоскости и имеют общую точку М.
Рассмотрим прямую m = (M, L1). Для любой точки Х,
принадлежащей прямой m = t, поэтому точка Х
принадлежит и плоскости , и плоскости , значит прямая m
принадлежит и плоскости и плоскости .
Если предположить, что плоскости и имеют общую точку
Y, не принадлежащую прямой m, то по задаче 2.1 получим, что
плоскости и совпадают. Таким образом, доказано, что
плоскости и пересекаются по прямой m.
2) Две плоскости = А, L2) и = В, W
) пересекаются по
2
прямой m = (M, L1). Пусть подпространства L2 и W2 совпадают.
Так как точка М принадлежит и плоскости , и плоскости , то
,
19
плоскости и совпадают, т.к. по определение плоскости точка
1
1
1
1
М и подпространство L2 определяют один класс эквивалентности.
Это противоречит условию. Следовательно, подпространства L2
и W2 не совпадают. ■
§ 3. Отрезок, луч, полуплоскость, полупространство, угол,
двугранный угол.
Ι. Введение понятий отрезка и треугольника.
Даны три различные точки А, В, С. Будем говорить, что точка
С лежит между точками А и В (А – С – В), если существует
такое вещественное положительное число λ, что = λ
Даны две точки А и В. Отрезком с концами А и В называется
фигура, состоящая из точек А и В и всех точек, лежащих между А
и В. Внутренней точкой отрезка называется любая точка,
лежащая между его концами. Отрезок с концами А и В будем
обозначать так: [АВ]
Теорема 3.1. Если А – С – В, то В – С – А и А, В, С –
различные точки одной прямой.
□ Пусть А – С – В, тогда по определению существует λ > 0
такое, что = λ
. Из последнего равенства следует, что
.
=
> 0, следовательно, В – С – А.
Рассмотрим прямую а = (А,
принадлежат прямой а. По второй аксиоме Вейля = +
, значит (–1)
= (–1)
, тогда
), тогда точки А и С
=
и
,
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]