Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Построение евклидовой геометрии на основе системы аксиом Вейля. Учебное пособие
.pdf
Через точку пересечения прямых а и b провести прямую с,
лежащую в плоскости β и перпендикулярную прямой а. Доказать,
что прямые b и с перпендикулярны.
Задача 6.9. Доказать, что если через точку, лежащую в одной
из двух перпендикулярных плоскостей, проведена прямая,
перпендикулярная второй плоскости, то эта прямая лежит в
первой плоскости.
Указание. Даны две перпендикулярные плоскости α и β,
пересекающиеся по прямой а. Через точку А, лежащую в
плоскости α, проведена прямая b, перпендикулярная плоскости β.
Через точку А провести прямую с, перпендикулярную прямой а и
доказать, что прямые b и с совпадают.
Задача 6.10. Доказать, что если каждая их двух
пересекающихся плоскостей перпендикулярна третьей
плоскости, то линия пересечения этих двух плоскостей
перпендикулярна третьей плоскости.
Указание. Даны две плоскости α и β, пересекающиеся по
прямой а. Плоскости α и β перпендикулярны плоскости γ.
Плоскость γ пересекает плоскости α и β соответственно по
прямым b и с. Доказать, что прямая а перпендикулярна и прямой
b, и прямой с.
Задача 6.11. Доказать, что если плоскость α и не лежащая в
ней прямая а, перпендикулярны плоскости β, то прямая а
параллельна плоскости α.
Указание. Через точку А лежащую в плоскости α, провести
прямую b, перпендикулярную плоскости β, и доказать, что
прямая b параллельна прямой а.
Если точка М не принадлежит прямой а = (А, L
), то
1
существует плоскость α, которой принадлежит и точка М и
71
прямая а. Перпендикуляром, проведенным из точки М на прямую
а = (А, L1), называется отрезок МН, у которого конец Н
принадлежит прямой а и прямая МН перпендикулярна прямой а.
Высотой треугольника называется перпендикуляр,
проведенный из вершины треугольника на прямую, содержащую
противоположную сторону треугольника.
Задача 6.10. Доказать, что если в треугольнике АВС стороны
АВ и АС равны, то медиана и высота, проведенные из вершины А
совпадают.
Указание. Если АМ – медиана треугольника АВС, то
. Доказать, что прямые АМ и ВС перпендикулярны.
§ 7. Эквивалентность системы аксиом Вейля и
системы аксиом Гильберта
трехмерного евклидова пространства
Традиционно в разделе основания геометрии евклидово
трехмерное пространство строится на основе системы аксиом
Гильберта. Напомним, что при построении евклидова
пространства на основе системы аксиом Гильберта
неопределяемыми понятиями являются понятия точки, прямой,
плоскости, а неопределяемыми отношениями являются
отношение принадлежности (точка принадлежит прямой, точка
принадлежит плоскости), отношение «лежать между» для трех
точек, отношение конгруэнтности для отрезков и углов. Аксиомы
Гильберта описывают свойства этих неопределяемых отношений.
Система аксиом Гильберта состоит из пяти групп аксиом.
Напомним эти аксиомы.
I группа аксиом (аксиомы принадлежности):
72
I-1. Каковы бы ни были две точки А и В, существует прямая
а, проходящая через эти точки.
I-2. Каковы бы ни были две точки А и В, существует не более
одной прямой, проходящей через эти точки.
I-3. На каждой прямой лежат по крайней мере две точки.
Существуют по крайней мере три точки, не лежащие на одной
прямой.
I-4. Каковы бы ни были три точки А, В, С, не лежащие на
одной прямой, существует плоскость, проходящая через эти
точки. На каждой плоскости лежит хотя бы одна точка.
I-5. Каковы бы ни были три точки А, В, С, не лежащие на
одной прямой, существует не более одной плоскости,
проходящей через эти точки.
I-6. Если две точки А и В прямой а лежат в плоскости α, то
каждая точка прямой а лежит в плоскости α.
I-7. Если две плоскости α и β имеют общую точку А, то они
имеют по крайней мере еще одну общую точку В.
I-8. Существуют по крайней мере четыре точки, не лежащие в
одной плоскости.
II группа аксиом (аксиомы порядка)
II-1. Если А –В - С, то А, В и С – различные точки одной
прямой и
С – В – А.
II-2. Каковы бы ни были две точки А и В, существует по
крайней мере одна точка С на прямой АВ, такая, что А – В – С.
II-3. Среди любых трех точек прямой существует не более
одной точки, лежащей между двумя другими.
73
II-4. Пусть А, В, С – три точки, не лежащие на одной прямой, и
а – прямая в плоскости АВС, не проходящая ни через одну из
этих точек А, В, С. Тогда если прямая а проходит через точку
отрезка АВ, то она проходит также через точку отрезка АС или
ВС.
Ш группа аксиом (аксиомы конгруэнтности):
III-1. Если даны отрезок АВ и луч с началом А′, то существует
точка В′, принадлежащая данному лучу, такая, что АВ А′В′.
III -2. Если А′В′ АВ и А′′ В′′ АВ, то А′В′ А′′В′′.
III -3. Пусть А – В – С, А′ – В′ – С′, АВ А′В′ и ВС В′С′.
Тогда АС А′С′.
III-4. Пусть даны угол hk и полуплоскость Ω′, границе которой
принадлежит луч h′ с началом О′. Тогда в полуплоскости Ω′
существует один и только один луч k′ с началом О′, такой, что
h k h′ k′. Каждый угол конгруэнтен самому себе.
III -5. Пусть А, В, С – три точки, не лежащие на одной прямой,
и А′, В′, С ′ – тоже три точки, не лежащие на одной прямой. Если
при этом АВ А′В′,
АС А′С′,ВАС
IV группа аксиом (аксиома непрерывности)
IV. (Аксиома Дедекинда) Пусть дано разбиение точек отрезка АВ
на два класса K1 и K2 (т.е. объединение классов K 1 и K 2 есть отрезок
АВ, а пересечение этих классов – пустое множество),
удовлетворяющее двум условиям:
1) А K1 , В K
точек А и В;
2) Любая точка класса K1, отличная от точки А, лежит между
точкой А и любой точкой класса K2 .
В′А′С′ то
и классы K1 и K2 содержат точки, отличные от
2
АВС А′В′С′.
74
Тогда существует точка М0 отрезка АВ, такая, что любая точка,
лежащая между точками А и М0, принадлежит классу K
точка, лежащая между точками М
и В, принадлежит классу K2 .
0
, а любая
1
V группа аксиом (аксиома параллельности Евклида):
V. Пусть а – произвольная прямая, А – произвольная точка, не
лежащая на этой прямой. Тогда в плоскости, определяемой
точкой А и прямой а, существует не более одной прямой,
проходящей через точку А и не пересекающей прямую а.
Покажем, что системы аксиом Гильберта и Вейля евклидова
пространства эквивалентны. Для этого покажем, что в
евклидовом пространстве, построенном на основе системы
аксиом Вейля, выполняются все аксиомы Гильберта I – V групп и
в евклидовом пространстве, построенном на основе системы
аксиом Гильберта, выполняются все аксиомы евклидова
трехмерного векторного пространства и аксиомы I и II Вейля.
1) В § 3 в пространстве Е
(W) были введены понятия прямой и
3
плоскости, определены отношения принадлежности точки и
прямой, точки и плоскости. Из теоремы 2.1, теоремы 2.2, задачи
2.1, задачи 2.2, теоремы 2.3, теоремы 2.4 следует, что в
пространстве Е
(W) выполняются аксиомы I-1, I-2, ….I-8 из
3
системы аксиом Гильберта.
2) В § 3 введено отношение «лежать между» для трех точек.
Из теоремы 3.1, задачи 3.1, теоремы 3.2, теоремы 3.7 следует, что
в пространстве Е
(W) выполняются аксиомы II-1, II-2, II-3, II-4 из
3
системы аксиом Гильберта.
3) В § 4 введено понятие равенство отрезков, которое
соответствует отношению конгруэнтности для отрезков, и
введено понятие равенство величин углов, которое соответствует
отношению конгруэнтности углов. Из теоремы 4.1, задачи 4.1,
75
теоремы 4.2, теоремы 4.4, теоремы 4.6 следует, что в
xx1
yy1
zz1
xx1
zz1
yy1
пространстве Е
(W) выполняются аксиомы III-1, III-2, III-3, III-4,
3
III-5 из системы аксиом Гильберта.
4) Докажем, что, в пространстве Е3(W) выполняется аксиома
непрерывности Дедекинда.
□ Разобьем все точки отрезка АВ на два непересекающихся
класса Κ
точка Х, отличная от А, в классе Κ
от В. Для любой точки Х из класса Κ
и Κ
1
так, что А Κ1, ВΚ
2
существует точка Y, отличная
2
; в классе Κ
2
, отличной от точки А, и
1
существует
1
любой точки Y из класса Κ2 точка Х лежит между точками А и Y,
то есть А – Х – Y.
Для любой точки Х из класса Κ1, отличной от точки А,
А – Х – В, поэтому существует такое число х > 0, что = х
тогда = х(+
) и
,
=
Аналогично, для любой точка Y из класса Κ
(7.1)
, отличной от точки
2
В, А – Y – В, поэтому существует такое число у > 0, что = у
тогда
=
(7.2)
Так как А – Х – Y, существует такое число z > 0, что = z
отсюда получаем, что =
равенств (7.1) и (7.2) следует, что
. Из этого равенства и
=
76
,
,
,
следовательно,
xx1
zz1
yy1
xzx1
)1(
yyz1
xx1
xxz1
yyz1
xxz1
yyz1
xx1
yy1
xx1
yy1
xx1
yy1
xx1
yy1
xx1
xx1
yy1
=
, или
=
,
поэтому
равенства следует, что
<
Так как = 0, = 1
f: [А, В] → [0,1], для которого f(А) = 0, f(В) = 1 и если Х
f(Х) =
числа на отрезке [0,1] разобьем на два класса Н
0 Н1, 1 Н
f(Y) Н
+
=
, причем, так как х > 0 и у> 0, то
0 <
, а если Y Κ
и если Х Κ1, то f(Х) Н1, а если Y Κ
2
. Так как 0 <
2
. Так как х > 0, то из последнего
<
< 1 и 0 <
, то f(Y) =
2
, но z > 0, поэтому
< 1.
, то рассмотрим отображение
. Все вещественные
и Н2 так, что
1
<
< 1, то полученное
Κ1, то
, то
2
разбиение отрезка [0,1] удовлетворяет всем условиям аксиомы
Дедекинда для вещественных чисел, поэтому существует такое
число с, что 0 < с < 1 и что для любого числа
класса Н
1
0 <
< с, а для любого числа
из класса Н2
0 из
77
с <
yy1
tt1
tt1
tt1
xx1
xcxcx
xx1
< 1.
Обозначим С прообраз числа с в отображении f, тогда
= c
отличной от А, из класса Κ
, где с > 0. Теперь докажем, что для любой точки Х,
: А – Х – С. Так как точки А, С, Х
1
лежат на одной прямой, то существует такое вещественное число
t, что = t. Тогда
(3.49), получаем, что
Так как
< с и (1 + х) > 0, то х < с +сх и, значит,
=
с =
и
=
и, значит, t =
с
, учитывая
сх + с – х > 0, кроме того х > 0, поэтому t > 0. Тогда из
равенства = t
следует, что А – Х – С. Аналогично
доказывается, что для любой точки Y, отличной от В, из класса
Κ
, С – Y – В. Таким образом доказано, что пространстве Е3(W)
2
выполняются аксиома Дедекинда. ■
5) Из теоремы 5.3 следует, что в пространстве Е3(W)
выполняются аксиома параллельных Евклида.
Обозначим евклидово пространство, построенное на основе
системы аксиом Гильберта Е
(Г).
3
Так же, как в главе 1 учебного пособия [6] введем в
пространстве Е
(Г) понятие вектора, как множества всех
3
направленных отрезков пространства, любые два из которых
эквиполентны. Множество всех векторов обозначим V. Далее
определим сумму векторов, произведение вектора на число,
скалярное произведение векторов. Затем докажем свойства
.
78
сложения векторов, свойства произведения вектора на число и
свойства скалярного произведения. (См. § 1.2,§ 1.3 § 1.6 [6]). Из
этого будет следовать, что во множестве V выполняются все
аксиомы евклидова векторного пространства.
Затем докажем, что система, состоящая из трех
некомпланарных векторов, линейно независима и что любая
система, состоящая из четырех векторов, линейно зависима. Тем
самым будет доказано, что выполняются аксиомы III
и III2
1
векторного пространства, то есть множество V является
трехмерным евклидовым векторным пространством.
Зададим отображение f: Е3(Г)
Е
(Г) → V, по закону: каждым
3
двум точка А и В поставим в соответствие вектор , которому
принадлежит направленный отрезок . Затем докажем, что для
любой точки А и любого вектора cуществует единственная
точка В такая, что = (лемма 1 § 1.1 [6]). Из этого следует,
что в Е
(Г) выполняется первая аксиома Вейля IV
3
. Из правила
1
треугольника, рассмотренного в §1.1 учебного пособия [6],
следует, что для любых трех точек М, N, Р выполняется
равенство + =
выполняется вторая аксиома Вейля IV
. Из этого следует, что в Е
.
2
3
(Г)
Мы получаем, что в пространстве Е3(Г) выполняются все
аксиомы трехмерного евклидова пространства Е3(W).
Теперь мы можем сделать вывод о том, что системы аксиом
Гильберта и Вейля трехмерного евклидова пространства
эквивалентны.
79
Литература
1. Александров А.Д. Основания геометрии. М.: Наука, 1987. –
288 с.
2. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия 2. М.: Изд-во
КНОРУС, 2011.– 347 с.
3. Атанасян Л.С. Основания школьного курса стереометрии.
М.: Прометей, 1991. – 133 с.
4. Болтянский В.Г. Элементарная геометрия. М.: Просвещение,
1985. – 320 с.
5. Вейль Г. Пространство. Время. Материя. Лекции по общей
теории относительности. М.: Эдиториал УРСС, 2004.
6. Геометрия: учеб. пособие для студ. учреждений высш. пед.
проф. образования: в 2 т. Т. 1
Н.С.Денисова и др.]. – М.: Издательский Центр «Академия»,
2012. – 400 с. – (Сер. Бакалавриат).
7. Геометрия: учеб. пособие для студ. учреждений высш. пед.
проф. образования: в 2 т. Т. 2./ [ Н.И.Гусева, Н.С.Денисова,
Л.А.Игнаточкина и др.]. – М.: Издательский Центр
«Академия», 2013. – 448 с. –
8. Гильберт Д. Основания геометрии. М.-Л: Гостехиздат, 1948. –
Серия классика естествознания. – 152 с.
9. Гусева Н.И. Сборник задач по геометрии: в 2 ч. – Часть II:
учебное пособие/ Н.И.Гусева, Н.С.Денисова, О.Ю.Тесля. –
КНОРУС, 2012. –
10. Евклид. Начала. Перевод с греческого и комментарии
Д. Д. Мордухай-Болтовского при редакционном участии
И. Н. Веселовского и М.Я. Выгодского. М.-Л.: ГТТИ, 1949—
1951.
528 с.
./ [В.Ф.Кириченко, Н.И.Гусева,
(Сер. Бакалавриат).
М.
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]