Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Построение евклидовой геометрии на основе системы аксиом Вейля. Учебное пособие
.pdf
1
1
1
1
1
но
=
Из этого следует, что точка В также принадлежит прямой а. ■
Следствие. Отрезок [АВ] совпадает с отрезком [ВА].
Задача 3.1. Доказать, что для любых двух различных точек А
и В существует такая точка С, что А − В − С.
Теорема 3.2. Из трех различных точек одной прямой одна и
только одна точка лежит между двумя другими.
□ Пусть А, В, С – различные точки одной прямой а = (А, L1).
Так как точка В принадлежит прямой а, то L1, а = (А,
Так как точка С принадлежит прямой а, то вектор
принадлежит подпространству L1, поэтому
=
Точки С и В различны, поэтому из равенства (3.1) следует, что
λ 1.
Точки А и С различны, поэтому из равенства (3.1) следует, что
λ 0.
Докажем, что одна и только одна из точек А, В, С лежит между
двумя другими. Для этого выразим через
что
= х, = у , = z
Из равенства (3.1) и второй аксиомы Вейля следует, что
, поэтому
+
и
(3.1)
три числа х, у, z такие,
= (1+
(3.2)
)
.
).
= λ ( + ), поэтому (1 – λ) = λ и
значит х =
Из равенства (3.1) и второй аксиомы Вейля следует, что
.
=
,
21
+ = λ, поэтому (λ – 1) = и значит
11
11
1
.
1
=
и у =
= –
Так как λ 0, λ 1, то рассмотрим три промежутка изменения λ:
1) λ < 0, поэтому z > 0, х < 0, у < 0. Тогда из равенств (3.2)
следует, что точка А лежит между точками В и С, точка С не
лежит между точками А и В, точка В не лежит между точками А и
С;
2) 0 < λ < 1, тогда х > 0, z < 0, у < 0. Тогда из равенств (3.2)
следует, что точка С лежит между точками А и В, точка А не
лежит между точками В и С, точка В не лежит между точками А и
С.
3) λ > 1, тогда у > 0, z < 0, х < 0. Тогда из равенств (3.2) следует,
что точка В лежит между точками А и С, точка А не лежит между
точками В и С, точка С не лежит между точками А и В.■
Треугольником называется фигура, состоящая из трех точек, не
лежащих на одной прямой (вершин треугольника), и трех
отрезков с концами в этих точках (сторон треугольника).
Задача 3.2. Доказать, что для любых двух точек А и В
существует точка С лежащая между ними.
Задача 3.3. Доказать, что если точка С лежит между точками
А и В, а точка D лежит между точками А и С, то точка D лежит
между точками А и В.
. Из равенства (3.1) следует, что = –λ
и z = –
, тогда
22
Указание. А – С – В, тогда = х х > 0. = х( +
1x
x
1y
y
1 yx
xy
),
=
=
. А – D – С, тогда = у, у > 0. = у(+
. Доказать, что
=
.
),
ΙΙ. Введение понятия луча.
Дана прямая а = (О,
), лучом h1 называется такое множество
всех таких точек М прямой а, для каждой из которых существует
число λ 0 такое, что = λ
, лучом h2 называется такое
множество всех таких точек N прямой а, для каждой из которых
существует число μ 0 такое, что μ
. Точка О называется
началом лучей h1 и h2. Лучи h1 и h2 называются дополнительными.
Таким образом
h
= {M: = λ , λ , λ 0}, h2 = {N: = μ, μ , μ 0}.
1
Теорема 3.2. Понятие дополнительных лучей прямой а не
зависит от выбора ненулевого вектора из направляющего
подпространства этой прямой.
□ Рассмотрим дополнительные лучи h1 и h2 прямой а с
началом О. Пусть и
– ненулевые векторы направляющего
подпространства прямой а, тогда эти векторы коллинеарны и
значит существует такое число t 0, что
точки М луча h
для любой точки N луча h
μ
.
существует число λ 0 такое, что = λ
1
существует число μ 0 такое, что
2
1) Если t > 0, то для любой точки М луча h
= (, где ( 0. Обозначим = λ
, и получим, что для
1
. Для любой
= λ = λ
1
, а
=
23
любой точки М луча h1 существует число λ
2
1
2
1
2
1
= λ
Аналогично получаем, что для любой точки N луча h
1
существует число μ
0 такое, что μ1
1
0 такое, что
1
, где μ
=
1
2
2) Если t < 0, то луч h1 – это множество всех таких точек N
прямой а, для каждой из которых существует такое μ
что μ1
. А луч h2 – это множество всех таких точек М
прямой а, для каждой из которых существует такое λ
что
= λ
■
1
=
1
=
1
Теорема 3.3. Если h1 и h2 – дополнительные лучи прямой
а = (О,
) с началом О, то точки А и В, отличные от точки О,
принадлежат одному лучу с началом О тогда и только тогда,
когда точка О не лежит между точками А и В, а точки А и В,
отличные от точки О, принадлежат разным лучам с началом О
тогда и только тогда, когда точка О лежит между точками А
и В.
□ Пусть h1 и h
началом О, тогда h
h
= {N: = μ, μ , μ 0}.
2
– два дополнительных луча прямой а = (О,
2
= {M: = λ, λ , λ 0},
1
) с
Рассмотрим точки А и В прямой а, отличные от точки О, тогда
= λ
и
1
= λ
2
, где λ
0 и λ2 0. Отсюда
1
= – λ
1
и
=
, значит
=
точками А и В тогда и только тогда, когда
будет тогда и только тогда, когда числа λ
. Точка О лежит между
> 0, а это
и λ2 имеют разные
1
24
знаки, следовательно, точки А и В принадлежат разным лучам с
2
1
OX
OY
1
21
xx
x
1
21
yy
y
началом О.
Точка О не лежит между точками А и В тогда и только тогда,
когда
и λ
имеют одинаковые знаки, следовательно, точки А и В
2
< 0, а это будет тогда и только тогда, когда числа λ1
принадлежат одному лучу с началом О. ■
ΙΙΙ. Введение понятия полуплоскости.
На плоскости α= (О, L2) даны прямая а = (О, L
базис (,
) векторного подпространства L2. Полуплоскостью Ω1
) = (О,
1
) и
плоскости α называется множество всех таких точек Х плоскости
α, для каждой из которых
вещественные и у
0; Полуплоскостью Ω
1
= х
1
+ у
, где числа х1, у1
1
плоскости α
2
называется множество всех таких точек Y плоскости α, для
каждой из которых
вещественные и у
полуплоскостей Ω
Ω
Ω
и Ω
1
= {Х:
1
= {Y:
2
2
= х
2
+ у
0. Прямая а называется границей
. Таким образом
2
= х
1
= х
2
+ у
+ у
1
2
Теорема 3.4. В плоскости α= (О, ,
А, В, С, лежащие на одной прямой, причем
, где числа х
2
, х1, у
, х
, у1 0},
1
, у
, у2 0}.
2
2
) даны различные точки
= х
+у
1
,
1
, у
2
=
2
= х
+у
, = х +у
2
2
где = λ
.
, тогда
,
,
25
□ Так как точки А, В, С лежат на одной прямой, то точка С
tt1
tt1
1
1
1
1
1
1
1
21
xx
x
1
21
yy
y
лежит на прямой (А,), поэтому = t
точки В и С различные. Тогда = t( +
и t 1, поскольку
), значит
(1 – t) = t и
= λ
. Используя вторую аксиому Вейля, перепишем
=
. Обозначим
= λ, тогда
последнее равенство так: + = λ( + , отсюда
=
, ,
х + у
( + . Подставим сюда разложения векторов
из условия и получим
=
(х
+λх
1
) +
2
(у
1
+λу
2
)
.
В силу единственности разложения вектора по базису, получаем,
что
,
. ■
Теорема 3.5. Понятие двух полуплоскостей плоскости
α = (О, L2) с общей границей а(О, L1) не зависит от выбора
точки О на прямой а, ненулевого вектора из направляющего
подпространства прямой а и базис (,
) векторного
подпространства L2.
□ Рассмотрим две полуплоскости Ω
α= (О,,) с общей границей а(О,
Ω
Ω
1
2
= {Х:
= {Y:
= х
= х
):
+ у
+ у
1
2
, х1, у
, х
1
2
Пусть точка О′ – любая точка прямой а, ненулевой вектор
и Ω
1
, у1 0},
1
, у
, у2 0}.
2
2
плоскости
2
1
– любой ненулевой вектор направляющего пространства прямой
26
1,
1, = х
1 + у
+ х1(
1
= х
) – базис направляющего подпространства плоскости α.
1
t
) + у
1
+ у
31
3
(х1 + у
1
, где х
1
= х
, = z
1
+ у
1
1
= z + x1t + y1x, у3 = у1 у.
3
= у
3
1
) = (z + x1t +y
у 0, поэтому полуплоскость Ω
1
, у
. Рассмотрим любую
1
0.
1
: = +
1
x)
+ (у
1
1
у)
1
. То есть
1
=
1
а, а (
Тогда
точку Х Ω1, тогда
Выразим вектор через векторы 1 и
= z
1) Пусть у 0, тогда у
это множество всех таких точке Х плоскости α, для которых
= х
31
полуплоскость Ω
для которых
2) Пусть у 0, тогда у
+ у
, х3, у
3
1
2
= х
, у3 0. Аналогично получаем¸ что
3
это множество всех таких точек Y плоскости α,
+ у
, х4, у
41
4
= у
3
1
, у4 0.
4
у 0. Тогда полуплоскость Ω
1
1
–
это множество всех таких точке Х плоскости α, для которых
= х
31
полуплоскость Ω
для которых
+ у
, х3, у
3
1
это множество всех таких точке Y плоскости α,
2
= х
, у3 0. Аналогично получаем¸ что
3
+ у
, х4, у
41
4
1
, у4 0. ■
4
Теорема 3.6. Если Ω1 и Ω2 – две полуплоскости плоскости
α = (О,,) с границей а = (О,
), то точки А и В, не лежащий
на прямой а, принадлежат одной полуплоскости Ω1 или Ω2,
тогда и только тогда, когда прямая а не пересекает отрезок
АВ, а точки А и В, не лежащий на прямой а, принадлежат
разным полуплоскостям Ω1 и Ω2, тогда и только тогда, когда
прямая а пересекает отрезок АВ.
□ Так как Ω1 и Ω
с границей а = (О,
Ω
2
= {Y:
= х′
2
+ у′ , х′, у′ , у′ 0}.
′
– две полуплоскости плоскости α = (О,,
), то Ω
= {Х: = х + у, х, у , у 0},
1
)
27
Для любой точки М прямой а имеет место равенство
OM
1
21
xx
x
.
1
21
yy
y
1
21
yy
y
2
1
y
y
2
1
y
y
1
21
yy
y
= х + 0
лежащих на прямой а, имеют место равенства:
где х
, у1, х
1
Для любой точки Х, лежащей между точками А и В существует
такое вещественное число λ > 0, что = λ
принадлежит плоскости α, поэтому = х +у
получаем, что
Точка Х принадлежит прямой а тогда и только тогда, когда
у
+ λу2 = 0, а это будет тогда и только тогда, когда
1
Точки А и В, не принадлежащие прямой а, лежат в разных
полуплоскостях Ω
имеют разные знаки (см.(3.3)), т.е. у1у
. Для любых точек А и В плоскости α, не
= х
+ у
1
, у
– вещественные числа и у
2
2
= 0, это будет тогда и только тогда, когда
и Ω2 тогда и только тогда, когда числа у
1
,
1
= х
,
2
+ у
(3.3)
2
0, у2 0.
1
. По теореме 3.4
< 0, а это будет тогда и
2
. Точка Х
.
у
1
2
только тогда, когда
тогда, когда существует такая точка Х, которая принадлежит и
прямой а(
и В. Итак мы получили, что точки А и В, не принадлежащие
> 0, а это будет тогда и только
= 0) и которая лежит между точками А
28
прямой а, лежат в разных полуплоскостях Ω
1
21
yy
y
OX
OY
и Ω2 тогда и только
1
тогда, когда прямая а пересекает отрезок АВ.
Аналогично получаем, что точки А и В, не принадлежащие
прямой а, лежат в одной полуплоскости Ω
тогда, когда числа у
у
имеют одинаковые знаки, т.е. у1 у2 > 0,
1
2
или Ω2 тогда и только
1
а это будет тогда и только тогда, когда
> 0,
значит не существует такой точки Х, которая принадлежит и
прямой а, и которая лежит между точками А и В. Итак мы
получили, что точки А и В, не принадлежащие прямой а, лежат в
одной полуплоскостях Ω
или Ω2 тогда и только тогда, когда
1
прямая а не пересекает отрезок АВ. ■
Теорема 3.7. Если А, В, С – три точки, не лежащие на одной
прямой, и а – прямая в плоскости АВС, не проходящая ни через
одну из этих точек А, В, С, тогда если прямая а пересекает одну
из сторон треугольника АВС, то прямая а пересекает одну и
только одну из двух оставшихся сторон этого треугольника.
□ Пусть прямая а пересекает сторону АВ треугольника АВС.
По задаче 2.1 существует плоскость α, которой принадлежат
точки А, В, С. Пусть а = (О, ) и (,
подпространства L
плоскости α. Прямая а = (О,
2
) – базис векторного
) разбивает
плоскость α на две полуплоскости Ω1 и Ω2 с границей а,
Ω
Ω
= {Х:
1
= {Y:
2
= х + у, х, у , у > 0},
= х′
+ у′, х′, у′ , у′ < 0}.
′
Точки А, В, С принадлежат плоскости α, поэтому
= х
+ у
1
,
1
= х
+ у2,
2
В, С не лежат на прямой а, то у
= х
3
0, у2 0, у3 0. Прямая а
1
+ у3
. Так как точки А,
29
пересекает отрезок АВ, тогда по теореме 3.6 точки А и В
принадлежат разным полуплоскостям Ω
и у
имеют разные знаки, т.е. у
2
< 0. Число у
1у2
и Ω
, поэтому числа у
1
2
0, поэтому
3
возможны два случая: а) числа у3 и у1 имеют одинаковые знаки,
значит числа у
и у2 имеют разные знаки, в этом случае точки А и
3
С лежат в одной полуплоскости с границей а, а точки В и С лежат
в разных полуплоскостях с границей а. Тогда по теореме 3.6
прямая а пересекает отрезок ВС и не пересекает отрезок АС.
б) числа у3 и у1 имеют разные знаки, значит числа у3 и у2 имеют
одинаковые знаки, в этом случае точки А и С лежат в разных
полуплоскостях с границей а, а точки В и С лежат в одной
полуплоскости с границей а. Тогда по теореме 3.6 прямая а не
пересекает отрезок ВС и пересекает отрезок АС.
Таким образом, мы получили, что если прямая а пересекает
сторону АВ треугольника АВС, то эта прямая пересекает одну и
только одну из сторон АС и ВС этого треугольника.
Если прямая а пересекает или сторону АС, или сторону ВС
треугольника АВС, теорема доказывается аналогично. ■
ΙV. Введение понятия полупространства.
В пространстве Е3(W) дана плоскость α= (О, L
векторного подпространства L
, (,,
2
) – базис векторного
), (,
2
) – базис
пространства V3.
Полупространством Ω1 называется множество всех таких
точек Х пространства Е3(W), для каждой из которых
= х
+ у
+ z1, где числа х
1
1
, у1, z1 вещественные и z
1
0.
1
Полупространством Ω2 называется множество всех таких
точек Y пространства Е3(W), для каждой из которых
1
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]