Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Построение евклидовой геометрии на основе системы аксиом Вейля. Учебное пособие
.pdf
§ 5. Параллельность прямых и плоскостей в евклидовом
пространстве Е3(W).
В этом параграфе мы докажем, что в пространстве Е3(W)
выполняется аксиома Евклида, а также рассмотрим свойства
параллельности прямых и плоскостей.
Две прямые называются пересекающимися, если они имеют
единственную общую точку.
Теорема 5.1. Если две прямые принадлежат одной плоскости
и их направляющие подпространства не совпадают, то эти
прямые пересекаются.
□ Даны прямые (А,L
) = (А,) и (В, W1) = (В,
1
),
принадлежащие одной плоскости α, причем подпространства L1
и W
не совпадают, поэтому векторы и
1
линейно независимы,
поэтому образуют базис направляющего подпространства L2
плоскости α. Так как данные прямые лежат в плоскости α, то
точки А и В лежат в этой плоскости, поэтому вектор
принадлежит направляющему подпространству L2 плоскости α.
Из этого следует, что
= t + q
(5.1)
По первой аксиоме Вейля для точки А и вектора t
существует такая точка М, что = t, а для точки В и вектора
(– q) существует такая точка М′, что ′ = (–q)
. По второй
аксиоме Вейля = + , но = t, поэтому
= t +
= q, поэтому = (–q). Мы получили, что ′ = (–q)
= (–q)
М и М′ совпадают, значит прямые (А, L1) и (В, W
. Из этого равенства и равенства (5.1) следует, что
, тогда из первой аксиомы Вейля следует, что точки
) имеют общую
1
и
51
точку М, тогда (А, L1) = (М, L1) и (В, W1) = (М, W
прямые имеют еще одну общую точку Х, тогда вектор
). Пусть данные
1
–
ненулевой вектор, принадлежащий и подпространству L1, и
подпространству W1. Из этого следует, что подпространства, L1 и
W1 совпадают, что противоречит условию.
Следовательно, прямые (А, L1) и (В, W
) имеют единственную
1
общую точку М, поэтому они пересекаются в этой точке. ■
Две прямые называются параллельными, если они лежат в
одной плоскости и не имеют общих точек.
Теорема 5.2. Две различные прямые параллельны тогда и
только тогда, когда их направляющие подпространства
совпадают.
□ 1) Даны различные прямые (А, L1) и (В, L
). Из определения
1
прямой следует, что эти прямые являются различными классами
эквивалентности, входящими в фактор-множество Е3|Δ, где ХΔY,
если L
общих точек. Тогда вектор
L1. Значит, если L1 = L
независимы. Рассмотрим плоскость α(А, ,
(см. § 2), следовательно, эти прямые не имеют
1
не принадлежит подпространству
(), то векторы и
1
линейно
). Тогда получим,
что точки А и В принадлежат плоскости α и прямые (А, L1) и
(В, L
) лежат в плоскости α. Следовательно, данные прямые
1
параллельны.
2) Пусть прямые (А, L1) и (В, W
) параллельны, поэтому они
1
лежат в одной плоскости. Если мы предположим, что их
направляющие подпространства L1 и W1 различны, то из теоремы
5.1 следует, что данные прямые пересекаются, что противоречит
определению параллельных прямых. Следовательно,
подпространства L1 и W1 совпадают. ■
52
Теорема 5.3. Через точку А, не принадлежащую прямой а,
проходит единственная прямая, параллельная прямой а.
□ Пусть а = (В, L1), тогда рассмотрим прямую b = (А, L
). Так
1
как точка А не принадлежит прямой а, то прямые а и b
различные. Из теоремы 5.2 следует, что прямые а и b
параллельны. Предположим, что существует еще одна прямая
с(А, W
), параллельная прямой а, тогда по теореме 5.2
1
подпространства L1 и W1 совпадают, поэтому и прямые а и с
совпадают. ■
Из этого следует, что в пространстве Е
(W) выполняется
3
аксиома Евклида.
Две непараллельные прямые, не имеющие общих точек,
называются скрещивающимися.
Если даны прямые а(А, L
) = а(А,) и b(В, W1) = b(В,
1
), то
если они различны и их направляющие подпространства L1и W1
совпадают, то по теореме 5.2 они параллельны, это будет тогда и
только тогда, когда существует такое действительное число х, что
= х и для любого действительного числа у у.
Если две прямые пересекаются, то из задачи 2.5 следует, что
они лежат в одной плоскости. Прямые а(А, L
= b(В,
) L1 и W1 не совпадают т.е. для любого действительного
) = а(А,) и b(В, W
1
1
)
числа х х, и существуют такие действительные числа t и q,
что t + q
Прямые а(А, L
.
) = а(А,) и b(В, W1) = b(В,
1
) совпадают тогда
и только тогда, когда их направляющие подпространства L1и W1
совпадают т.е. существует такое действительное число х, что
= х, и существует такое действительное число t, что t.
53
Если прямые совпадают, пересекаются или параллельны, то
a
они лежат в одной плоскости, это будет тогда и только тогда,
когда векторы , ,
Прямые а(А, L
линейно зависимы.
) = а(А,) и b(В, W1) = b(В,
1
) скрещиваются,
если не существует плоскости в которой они лежат, это будет
тогда и только тогда, когда векторы ,,
линейно
независимы.
2. Рассмотрим еще ряд свойств прямых и плоскостей в
пространстве Е
(W).
3
Напомним, что две плоскости пересекаются по прямой, если
существует прямая, которая принадлежит каждой из этих
плоскостей, и любая общая точка этих плоскостей принадлежит
этой прямой.
Теорема 5.4. Две плоскости пересекаются по прямой тогда и
только тогда, когда направляющие подпространства этих
плоскостей не совпадают.
□ 1) Пусть у плоскостей α = А,L2) и = В,W
) направляющие
2
подпространства L2 и W2 различны, значит их прямая сумма есть
векторное пространство V3.
Воспользуемся формулой
dim L2 + dim W2 = dim(L2 W2) + dim(L
dim (L2 W2) = 1, то есть L2 W2 = L
Пусть L1 = L
(), тогда в L2 существует базис (
1
.
1
существует базис (). Так как подпространства L
различны, то ( ,) – базис векторного пространства V
W2), и получим, что
2
), а в W2
и W2
2
, тогда
3
= х + у+ z или
54
= (x – 1)
+ y+a + z. (5.2)
Из первой аксиомы Вейля следует, что существуют такие точки
М и М1, что
= (х – 1) + y,
= – (+ z) (5.3)
Из (5.2) и (5.3) следует, что = + ( + z), но по второй
аксиоме Вейля = +, поэтому = + z, и значит
= – ( + z). Следовательно, =
. По первой аксиоме
Вейля получаем, что точки М и М1 совпадают.
Учитывая, что
L
и
2
W
, получаем, что плоскости
2
α и имеют общую точку М.
Рассмотрим прямую m = (M, L
()). Для любой точки Х,
1
принадлежащей прямой m, = t, поэтому точка Х
принадлежит и плоскости α, и плоскости , значит, прямая m
принадлежит и плоскости и плоскости .
Если предположить, что плоскости α и имеют общую точку
Y, не принадлежащую прямой m, то векторы и
линейно
независимы, но точки М и Y принадлежат плоскостям α и ,
поэтому (,
) базис и подпространства L2 и подпространства
W2, следовательно, плоскости α и совпадают, что противоречит
условию. Таким образом, доказано: плоскости α и
пересекаются по прямой m.
2) Пусть две плоскости α = А, L2) и = В, W
) пересекаются
2
по прямой m = (M, L1). Предположим, что подпространства L2 и
W2 совпадают. Так как точка М принадлежит и плоскости α, и
плоскости , то плоскости α и совпадают, поскольку по
определению плоскости точка М и подпространство L2
определяют один класс эквивалентности. Это противоречит
условию. Значит, подпространства L2 и W2 не совпадают. ■
55
Две плоскости называются параллельными, если они не имеют
общих точек.
Теорема 5.5. Две различные плоскости параллельны тогда и
только тогда, когда их направляющие подпространства
совпадают.
□ Пусть плоскости α = А, L2) и = В, W2) – две различные
плоскости.
1) Если плоскости α и параллельны, то они различны.
Предположим, что подпространства L2 и W2 не совпадают, тогда
из теоремы 5.4 следует, что данные плоскости пересекаются по
прямой, что противоречит определению параллельных
плоскостей. Следовательно, подпространства L2 и W2 совпадают.
2) Если подпространства L2 и W2 совпадают, то из определения
плоскости следует, что α и различные классы эквивалентности.
Следовательно, они не пересекаются, поэтому плоскости и
параллельны. ■
Если прямая и плоскость имеют единственную общую точку,
то будем говорить, что прямая пересекает плоскость.
Теорема 5.6. Через точку А, не принадлежащую плоскости α,
проходит единственная плоскость, параллельная плоскости α.
□ Пусть плоскости α = О, L2). Рассмотрим плоскость
β = А, L2). Так как точка А не лежит в плоскости α, то плоскости
α и β различные. Тогда по теореме 5.5 плоскость β параллельна
плоскости α.
Пусть существует еще одна плоскость γ, проходящая через
точку А и параллельная плоскости α. Тогда γ = А, W
теореме 5.5 получаем, что направляющее подпространство L
). По
2
2
плоскости α совпадает с направляющим подпространством
плоскости γ, следовательно, плоскости α и γ совпадают. ■
56
Теорема 5.7. Прямая а(А, L
) пересекает плоскость α(В, L2)
1
тогда и только тогда, когда подпространство L1 не
принадлежит подпространству L2.
□ 1) Пусть направляющее подпространство L
принадлежит направляющему подпространству L
плоскости α, значит ( ,) – базис векторного пространства V
() прямой а не
1
(,)
2
3
поэтому = х + у+ z (5.4)
Из первой аксиомы Вейля следует, что существуют такие точки
М и М1, что
= х и
= – (у+ z) (5.5)
Из (5.4) и (5.5) следует, что = + у+ z. По второй
аксиоме Вейля
= + , поэтому = у+ z, а значит = – (у+ z).
Из этого равенства и равенства (5.5) следует, что =
,
тогда по первой аксиоме Вейля получаем, что точки М и М1
совпадают. Из (5.5) следует, что вектор
подпространству L
, а вектор
1
=
принадлежит
принадлежит
подпространству L2. Поэтому точка М принадлежит и прямой а и
плоскости α. Если предположить, что существует еще одна точка
Х, которая принадлежит и прямой а и плоскости α, то вектор
ненулевой и он принадлежит и подпространству L1, и
подпространству L2, поэтому подпространство L1 принадлежит
подпространству L2, что противоречит условию. Следовательно,
М – единственная общая точка прямой а и плоскости α, поэтому
прямая а пересекает плоскость α в точке М.
2) Пусть прямая а пересекает плоскость α в точке М.
Предположим, что подпространство L1 принадлежит
подпространству L2.
57
,
Если точки А и М различны, то вектор
вектор
ненулевой. Так как
принадлежит подпространству L1, то он принадлежит и
подпространству L2. Следовательно, точка А принадлежит
плоскости α. Мы получили, что прямая а и плоскость α имеют
две различные общие точки А и М, это противоречит тому, что
прямая а пересекает плоскость α в точке М.
Если точки А и М совпадают, то точка А принадлежит
плоскости α. Рассмотрим точку Х, принадлежащую прямой а и
отличную от точки А, тогда вектор
принадлежит
подпространству L1, а значит он принадлежит и подпространству
L2. Значит точка Х принадлежит плоскости α. Мы получили, что
прямая а и плоскость α имеют две различные общие точки А и Х,
это противоречит тому, что прямая а пересекает плоскость α в
точке М.
Следовательно, подпространство L1 не принадлежит
подпространству L2. ■
Прямая называется параллельной плоскости, если она не
имеет с этой плоскостью общих точек.
Теорема 5.8. Прямая а(А, L
), не принадлежащая плоскости
1
α(В, L2), параллельна плоскости α тогда и только тогда, когда
подпространство L1 принадлежит L2.
□ 1) Пусть прямая а параллельна плоскости α. Предположим,
что подпространство L1 не принадлежит подпространству L2.
Тогда по теореме 5.7 получим, что прямая а пересекает
плоскости α. Это противоречит тому, что а параллельна α.
Следовательно, подпространство L1 принадлежит
подпространству L2.
58
2) Пусть подпространство L1 принадлежит подпространству
L2. Предположим, что прямая а и плоскость α имеют общую
точку М, но по условию прямая а не принадлежит плоскости α,
поэтому прямая а пересекает плоскость α в точке М. Тогда по
теореме 5.7 подпространство L1 не принадлежит подпространству
L2. Это противоречит тому, что L1 принадлежит L2.
Следовательно, прямая а параллельна плоскости α. ■
Теорема 5.9. Если прямая, не принадлежащая плоскости,
параллельно какой-либо прямой, принадлежащей этой
плоскости, то данная прямая параллельна плоскости.
□ Пусть прямая а(А, L1) не принадлежащая плоскости
α(О, L2), параллельна прямой b(O,W
), принадлежащей плоскости
1
α, значит подпространство W1 принадлежит подпространству L2.
Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 5.2
подпространства L1 и W1 совпадают. Значит подпространство L1
принадлежит подпространству L2. Тогда по теореме 5.8 прямая а
параллельна плоскости α. ■
Теорема 5.10. Если в одной из двух плоскостей существует
две пересекающиеся прямые, параллельные другой плоскости, то
эти плоскости параллельны.
□ Пусть пересекающиеся прямые а(А, L
(
)) и b(А, W
1
(
))
1
принадлежат плоскости α(А, L2) и параллельны плоскости
β(В, W
). Так как прямые а и b не параллельны, то векторы и
2
линейно независимы. А так как прямые а и b принадлежат
плоскости α, то векторы и
подпространству L
плоскости α, поэтому (,
2
Прямые а и b параллельны плоскости β(В, W
принадлежат направляющему
) – базис L2.
), поэтому по
2
теореме 5.8 направляющие подпространства L1 и W1 прямых а и b
принадлежат направляющему подпространству W2 плоскости β,
59
значит векторы и
следовательно, (,
принадлежат подпространству W2,
) – базис W
. Из этого следует, что векторные
2
подпространства L2 и W2 совпадают, т.е. β(В, L2).
Прямые а и b параллельны плоскости β, поэтому эти прямые
не имеют с плоскостью β общих точек, значит точка А не
принадлежит плоскости β, но точка А принадлежит плоскости α,
следовательно, плоскости α и β – различные плоскости. Мы
получили, что α и β – различные плоскости, имеющие общее
направляющее пространство, поэтому по теореме 5.5 α и β –
параллельные плоскости. ■
Задача 5.1. Доказать, что через прямую а, параллельную
плоскости , проходит единственная плоскость, параллельная
плоскости α.
Указание. Пусть а(А, L
()), α(О, W
1
). Так как прямая а,
2
параллельна плоскости α, то L1 принадлежит W2. Рассмотреть
базис (,
β(А, ,
) подпространства W2. Далее доказать, что плоскость
) искомая. Единственность доказать от противного.
Задача 5.2. Доказать, что если прямые а и b скрещиваются, то
существует единственная пара параллельных плоскостей, каждая
из которых содержит одну из данных прямых и параллельная
второй прямой.
Указание. Пусть а(А, ) и b(А,
Доказать, что плоскости α(А, , ) и β(В, ,
) – скрещивающиеся прямые.
) искомые.
Единственность доказать от противного.
Задача 5. 3. Доказать, что все прямые, параллельные
плоскости α, проходящие через точку А, не принадлежащую
плоскости α, лежат в одной плоскости, параллельной плоскости
α.
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]