Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Построение евклидовой геометрии на основе системы аксиом Вейля. Учебное пособие
.pdf
1
21
xx
x
1
21
yy
y
1
21
zz
z
= х
2
Плоскость α называется границей полупространств Ω
+ у
+ z
2
2
, где числа х
, у2, z2 вещественные и z
2
2
1
0.
и Ω
2
Таким образом
Ω
= {Х:
1
Ω
= {Y:
2
= х
1
= х
2
+ у
+ у
+ z
, х
, у1, z
, у2, z
2
1
2
, z1 0},
, z2 0}.
1
1
1
+ z
, х
2
1
Теорема 3.8. В пространстве Е3(W) даны различные точки А,
В, С, лежащие на одной прямой, причем
= х
2
+ у
+ z
2
, = х + у+ z, где (, , ) – базис
2
= х
1
+ у
+ z
1
,
1
.
векторного пространства V3. Тогда
,
, где = λ
.
Доказательство теоремы 3.8 аналогично доказательству
теоремы 3.4.
Теорема 3.9. Понятие двух полупространств с общей
границей α = (О, L2) не зависит от выбора точки О на
плоскости α, базис (,
базиса (, ,
) векторного пространства V3.
) векторного подпространства L2 и
Доказательство теоремы 3.9 аналогично доказательству
теоремы 3.5.
Теорема 3.10. Если Ω1 и Ω2 – два полупространства с
границей α = (О,,
плоскости α, принадлежат одному полупространству Ω
), то точки А и В, не лежащие в
или Ω2,
1
тогда и только тогда, когда плоскость α не пересекает отрезок
АВ, а точки А и В, не лежащие в плоскости α, принадлежат
разным полупространствам Ω
и Ω
1
, тогда и только тогда,
2
когда плоскость α пересекает отрезок АВ.
31
,
Доказательство теоремы 3.10 аналогично доказательству
теоремы 3.6.
V. Введение понятий угла и двугранного угла.
Углом называется фигура, состоящая из двух лучей с общим
началом, не лежащих на одной прямой. Эти лучи называются
сторонами угла, а их общее начало – вершиной угла. Будем
обозначать угол с вершиной О так:
h2 – стороны угла.
Полуплоскостью угла называется полуплоскость, граница
которой содержит одну сторону этого угла и которой
принадлежит вторая сторона этого угла.
Внутренней областью угла называется пересечение двух
полуплоскостей этого угла. Внутренней точкой угла называется
любая точка его внутренней области.
Внутренним лучом угла называется луч, начало которого
совпадает с вершиной угла и все точки которого внутренние
точки угла.
Два угла называются смежными, если у них одна сторона
общая, а две другие стороны являются дополнительными лучами.
Два угла называются вертикальными, если стороны одного
угла являются дополнительными лучами к сторонам другого
угла.
Двугранным углом называется фигура, состоящая из двух
полуплоскостей с общей границей, не лежащих в одной
плоскости. Эти полуплоскости называются гранями двугранного
угла, а их общая граница – ребром двугранного угла. Будем
обозначать двугранный угол с ребром m так: [m, А, В), где
АОВ, или h1h2, где h
1
и
32
точка А лежит в одной грани двугранного угла, а точка В – во
второй грани.
Полупространством двугранного угла называется
полупространство, граница которого содержит одну грань этого
угла и которой принадлежит вторая грань этого угла.
Внутренней областью двугранного угла называется
пересечение двух полупространств этого двугранного угла.
Внутренней точкой двугранного угла называется любая точка его
внутренней области.
Внутренней полуплоскостью двугранного угла называется
полуплоскость, граница которой совпадает с ребром двугранного
угла и все точки которого внутренние точки двугранного угла.
Задача 3.4. Доказать, что точка Х является внутренней точкой
угла АОВ тогда и только тогда, когда = х + у
и числа
х и у положительные.
Указание. Использовать определение полуплоскости угла и
определение полуплоскости.
Задача 3.5. Доказать, что если начало луча совпадает с
вершиной угла и луч содержит одну внутреннюю точку угла, то
этот луч является внутренним лучом данного угла.
Указание. Воспользоваться определение луча и задачей 3.4.
Задача 3.6. Доказать, что если точки М и N лежат на разных
сторонах угла, то любая внутренняя точка отрезка МN является
внутренней точкой данного угла.
Указание. Пусть дан угол АОВ. Т.к. точки М и N принадлежат
соответственно лучам ОА и ОВ, то = m , = n
и
m > 0, n > 0. Х – любая внутренняя точка отрезка МN, тогда
= х, х > 0. Далее доказать, что
=
+
и
воспользоваться задачей 3.4.
33
Теорема 3.11. Любой внутренний луч угла пересекает любой
у
у
1
у
у
1
у
у
1
у
уm
1
у
уn
1
у
уm
1
у
уn
1
у
m
1
у
уn
1
отрезок с концами на разных сторонах этого угла.
□ Пусть дан угол АОВ и отрезок МN, где точки М и N
принадлежат соответственно лучам ОА и ОВ; тогда существуют
такие числа m > 0, n > 0, что
= m , = n
Пусть ОС – любой внутренний луч угла АОВ, тогда для любой
точки Х луча ОС существует такое число x > 0, что = x
По задаче 3.4 = а + b
= хa + xb
Пусть М – Х – N, тогда = y
= y( + ) = – y + y
(3.4)
, где a > 0, b > 0 , тогда
(3.5)
, y > 0; получаем, что
и значит
+
+
)=
+
(– m + n
(3.6)
(3.7)
=
(3.5)). Мы получаем, что
Теперь докажем, что существует точка Х, принадлежащая и
лучу ОС, и отрезку МN.
По второй аксиоме Вейля = +
равенства (3.4) и (3.6), получим
= m
или
=
=
=
+
(+
34
) (см.
, используя
Из равенств (3.5) и (3.7) получаем
y
yn
xb
y
m
xa
1
1
bmanmn
an
bm
.
Эта система имеет единственное решение х =
, у =
.
Так как все числа a, b, m, n положительные, то x > 0 и у > 0. Тогда
из равенства = x
ОС, а из равенства = y
следует, что точка Х принадлежит лучу
следует, что точка Х принадлежит
отрезку МN. ■
Теорема 3.11. Точка Х является внутренней точкой
двугранного угла [m, А, В), тогда и только тогда, когда
= х + у + z
и числа у и z положительные, а
точки О и М – любые различные точки ребра m.
□ 1) Точка Х является внутренней точкой двугранного угла
[m, А, В) тогда и только тогда, когда точка Х принадлежит
полупространствам Σ1 и Σ2 данного двугранного угла, но не
принадлежит границам этих полупространств. Значит Σ
полупространство с границей α
полупространство с границей α
и m α1, А α1, В Σ
1
и m α2, В α2, А Σ
2
.
2
Если точки О и М принадлежат прямой m, то векторы
,
образуют базис векторного пространства V3, поэтому для
, Σ
1
1
–
–
2
,
любой точки Х существуют такие числа х, у, z , для которых
= х + у + z
(3.8)
По определению полупространства Σ1 с границей
α
= (О,,
1
полупространству Σ1, но не лежит в плоскости α
) следует, что точка Х принадлежит
, тогда и только
1
35
тогда, когда для точки Х в равенстве (3.8) z > 0. По определению
t1
1
tt1
полупространства Σ
с границей α
2
= (О,,
2
точка Х принадлежит полупространству Σ
плоскости α
, тогда и только тогда, когда для точки Х в равенстве
1
) следует, что
, но не лежит в
2
(3.8) у > 0. Следовательно, точка Х является внутренней точкой
двугранного угла [m, А, В) тогда и только тогда, когда для
точки Х в равенстве (3.8) у > 0 и z > 0. ■
Задача 3.8. Доказать, что если граница полуплоскости
совпадает с ребром двугранного угла и внутренняя точка
двугранного угла принадлежит полуплоскости, то эта
полуплоскость является внутренней полуплоскостью данного
двугранного угла.
Указание. Пусть С – внутренняя точка двугранного угла
[m, А, В), Ω – полуплоскость с границей m и С Ω, О, М m.
По теореме 3.11 = х + у + z
любой точки Х Ω по задаче 3.4 = a + b
и у > 0, z > 0. Для
и b > 0.
Далее доказать, что Х – внутренняя точка данного двугранного
угла.
Задача 3.9. Доказать, что если точки М и N лежат в разных
гранях двугранного угла, то любая внутренняя точка отрезка МN
является внутренней точкой данного двугранного угла.
Указание. Пусть [а, М, N) – двугранный угол, О, А а.
Х – любая внутренняя точка отрезка МN, тогда = t
и
t > 0. Далее показать, что
=
+
Теорема 3.12. Любая внутренняя полуплоскость двугранного
угла пересекает любой отрезок с концами в разных гранях этого
двугранного угла.
36
.
□ Пусть [а, М, N) двугранный угол с ребром а и точки О и
z1
1
zz1
z1
1
zz1
А принадлежат прямой а. Ω – внутренняя полуплоскость этого
двугранного угла, тогда прямая а – граница полуплоскости Ω и
пусть точка С принадлежит Ω.
1) Из задачи 3.4 следует, что для любой точки Х
принадлежащей полуплоскости Ω,
= х + у
(3.9)
где у > 0.
Так как точка С принадлежит внутренней полуплоскости
данного двугранного угла, то точка С является внутренней
точкой этого двугранного угла, тогда по теореме 3.11
= а + b + с
(3.10)
где числа b > 0 и с > 0. Тогда из (3.9) и (3.10) следует, что
= (х + ау) + уb + ус
(3.11)
2) Если Х – внутренняя точка отрезка МN, то существует такое
число z > 0, что = z
получаем, что + = z( +
. Отсюда по второй аксиоме Вейля
) или
=
+
(3.12)
3) Докажем, что отрезок МN пересекает полуплоскость Ω, т.е.
что существует такая точка Х, которая удовлетворяет и равенству
(3.9), и равенству (3.12), значит
(х + ау) + у b + у с
=
. Отсюда
получаем, что
(х + ау)
, ,
+ (уb –
линейно независимы, следовательно, х + ау = 0,
)
+ (ус –
) =
. Но векторы
37
уb –
z1
1
.01
z
z
bca
bc
1
b
c
= 0, ус
Эта система трех уравнений с
тремя неизвестными имеет единственное решение х =
у =
, z =
. Так как числа b и с положительные, то числа
,
у и z тоже положительные, следовательно, отрезок МN
пересекает полуплоскость Ω в точке Х. ■
§ 4. Равенство отрезков и углов.
Ι. Введение в пространстве Е3(W) отношения равенства
отрезков.
Дано евклидово пространство Е3(W). Отрезки АВ и СD
назовем равными, если их длины равны, т.е.
=
; из
этого следует, что отрезки АВ и СD равны тогда и только тогда,
когда
=
.
Теорема 4.1. Дан отрезок АВ и луч h с началом С на прямой
(С,). Тогда на луче h существует единственная точка D такая,
что отрезок СD равен отрезку АВ.
□ Луч h с началом С принадлежит прямой (С,), значит
h = {Х: = t, t > 0}. Так как точка D принадлежит лучу h, то
существует такое число х > 0, что
= x (4.1)
Так как отрезки АВ и СD равны, то
2
2
(4.2)
38
Из равенств (4.1), (4.2) и аксиомы ΙΙΙ
следует, что
2
2
= (x)(x) = х22. Так как векторы и
ненулевые, то из аксиомы ΙΙΙ
следует, что
2
> 0 и
2
> 0, поэтому х =
скалярного произведения
3
скалярного произведения
4
. Для найденного
положительно числа х отрезки АВ и СD равны.
Уравнение
2
х2
2
имеет единственное положительное
решение х, следовательно, найденная точка D единственная. ■
Задача 4.1. Доказать, что если отрезок АВ равен отрезку А
а отрезок А1В1 равен отрезку А2В
А2В
.
2
, то отрезок АВ равен отрезку
2
1В1
Теорема 4.2. Если А – С – В, А1 – С1 – В1 и отрезки АС и СВ
равны соответственно отрезкам А
равен отрезку А
1В1
.
□ Так как А – С – В и А1 – С1 – В
1С1
и С
1
, то отрезок АВ
1В1
, то существуют такие
положительные числа t и q, что
и
Так как отрезки АС и СВ равны соответственно отрезкам А
С1В
, то
1
2
=
2
и
2
=
= q
(4.3)
и
1С1
2
(4.4)
Тогда из (4.3) и (4.4) следует, что
( = (q
Из аксиомы ΙΙΙ
2
2
t
= q
скалярного произведения из (4.5) следует, что
3
2
2
. Из последнего равенства с учетом (4.4)
)(q
) (4.5)
получаем, что t2 = q2, а так как t > 0 и q > 0 то t = q . Тогда из (4.3)
получаем, что
= t
(4.6)
Из второй аксиомы Вейля и (4.3) следует, что
,
39
= + = t, поэтому = t + 1)
. Используя
последнее равенство, получим
2
= (t + 1) t + 1)
) = (t + 1)
Аналогично, используя (4.6) получаем, что
2
= ((t + 1)
)((t + 1)
) = (t + 1)
Из (4.4), (4.7) и (4.8) следует, что
отрезок АВ равен отрезку А
Теорема 4.3. На любом луче h
. ■
1В1
с началом О существует такая
2
2
(4.7)
= (t + 1)
2
2
(4.8)
2
=
и
2
, а значит,
единственная точка Х, что длина отрезка ОХ равно 1.
□ Луч h задается так: h = {Х: = t, t > 0}. Так как
расстояние |ОХ| =
= 1, то
равенства и аксиомы ΙΙΙ
(t)(t)= t2
2
= 1 и значит t2 =
2
= (t)
скалярного произведения следует, что
3
По аксиоме ΙΙΙ
2
= 1. Из этого
скалярного
4
произведения () > 0, поэтому существует единственное
положительное число t =
Положительное число t из равенства t2 =
, для которого: = t и |ОХ| = 1.
определяется
однозначно, следовательно, существует единственная точка Х,
удовлетворяющая условию. ■
Серединой отрезка АВ называется такая внутренняя точка С
этого отрезка, что отрезок АС равен отрезку СВ.
Задача. 4.2. Доказать, что у любого отрезка существует
единственная середина.
ΙΙ. Введение в пространстве Е3(W) отношения равенства углов.
Напомним, что для любых двух ненулевых векторов и
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]