Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Построение евклидовой геометрии на основе системы аксиом Вейля. Учебное пособие
.pdf
Указание. Пусть α(О, W2). Доказать, что любая прямая а(А, L1),
0
параллельная плоскости α, принадлежит плоскости β(А,W2).
Далее доказать, что любая прямая, проходящая через точку А и
лежащая в плоскости β, параллельна плоскости α.
Теорема 5.11. Если одна из двух пересекающихся плоскостей,
проходит через прямую, параллельную другой плоскости, то
линия пересечения плоскостей параллельна этой прямой.
□ Пусть плоскости α и β пересекаются по прямой а = (А, L1),
тогда α = (А, L2) и β = (А, W2) и L1 = L
то существуют векторы и такие, что (,
а (,
прямой, то L2 W
) – базис W2, а так как плоскости α и β пересекаются по
, и поэтому {, ,
2
Плоскость β проходит через прямую с = (С, W
W1, и прямая с параллельную плоскости α, тогда по теореме
W2. Если и L
2
) – базис L2 ,
} – базис V3.
),
1
,
1
и
5.8 подпространство W1 принадлежит подпространству L2, значит
= х1+ у1
Но прямая с принадлежит плоскости β, значит W
(5.6)
W
1
и
2
поэтому
= х2 + у2
Из (5.6) и (5.7) получаем, что х
+ у1
1
. (5.7)
= х
2
+ у2
, отсюда
(х1 –х
у
= у
1
) + у1
2
= 0. Следовательно, = х1 и значит W
2
– у
=
, а т.к. {, ,
2
} – базис V
, то (х
3
= L1. Прямая с
1
–х2) = 0,
1
параллельную плоскости α, а прямая а принадлежит плоскости α,
поэтому прямые а и с различные. Тогда по теореме 5.2 прямые а
и с параллельны. ■
Теорема 5.12. Если две параллельные плоскости пересечены
третьей плоскостью, то линии пересечения параллельны.
61
□ Пусть плоскости α и β параллельны, тогда по теореме 5.5 их
направляющие подпространства совпадают, поэтому α(А, L2),
β(В, L2). Так как плоскости α и β параллельны, то точка А не
принадлежит плоскости β, а точка В не принадлежит плоскости α.
Пусть плоскость γ(С,W2) пересекает плоскость α(А, L
) по
2
прямой m(М,L1), тогда направляющие подпространства L2 и W2
плоскостей α и γ пересекаются по подпространству L1. Пусть
плоскость γ(С, W2) пересекает плоскость β(В, L2) по прямой
n(N, W1), тогда направляющие подпространства L2 и W2
плоскостей β и γ пересекаются по подпространству W
. Из этого
1
следует, что направляющие подпространства L1 и W1 прямых m и
n совпадают. Так как плоскости α и β параллельны, прямая m
принадлежит плоскости α, а прямая n принадлежит плоскости β,
то прямые m и n различные. Следовательно, по теореме 5.2
получаем, что прямые m и n параллельны. ■
§ 6. Перпендикулярность прямых и плоскостей в
евклидовом пространстве Е3(W)
Две прямые m = (М, L1) и n = (N, W
) называются
1
перпендикулярными, если их направляющие пространства L1 и
W
перпендикулярны, т.е. любой ненулевой вектор L
1
перпендикулярен любому ненулевому вектору W
.
1
1
Задача 6.1. Доказать, что прямые m = (М, L1) и n = (N, W1)
перпендикулярны, если существуют ненулевые векторы L
W
, которые перпендикулярны.
1
1
и
Теорема 6.1. В плоскости α через точку А, не принадлежащую
прямой а, проходит единственная прямая, перпендикулярная
прямой а.
62
□ 1) Прямая а(О, L
) = а(О,) принадлежит плоскости α(А, L
1
),
2
пусть длина вектора равна 1. Тогда по теореме 1.5 существует
такой вектор L2, что (,
Одномерное векторное подпространство W
) – ортонормированный базис L2.
с базисом (
1
принадлежит подпространству L2, которое по задаче 6.1
перпендикулярно векторному подпространству L1.
2) Пусть существует еще одно векторное подпространство W′1,
принадлежащее векторному подпространству L2, которое
перпендикулярно векторному подпространству L1. Тогда для
любого вектора W′1, = 0. (,
базис L
, поэтому = х + у
2
. Тогда
0 = = (х + у)= х2 + у() = х, поэтому = у
) – ортонормированный
следовательно, W′1 = W1.
3) Рассмотрим прямую l (А, W
). Векторные подпространства
1
L1 и W1 перпендикулярны, поэтому прямая l перпендикулярна
прямой а. Так как точка А принадлежит плоскости α и векторное
подпространство W1 принадлежит векторному подпространству
L2, то прямая l принадлежит плоскости α. ■
Задача 6.2. Доказать, что если две прямые а и b, лежащие в
плоскости α, перпендикулярны прямой с также лежащей в
плоскости α, то прямые а и b параллельны.
Теорема 6.2. Множество всех прямых пространства,
проходящих через данную точку А и перпендикулярных данной
прямой а, принадлежат одной плоскости.
□ Рассмотрим любую прямую l (А,), перпендикулярную
данной прямой а(О, L
принадлежащий L1, тогда а(О, L
). Пусть – вектор единичной длины,
1
) = а(О, ).
1
)
,
63
По теореме 1.2 в евклидовом векторном пространстве V3
существует ортонормированный базис (, ,
= х + у + z
. Так как прямая l перпендикулярна прямой а, то
), тогда
векторы и перпендикулярны, значит их скалярное
произведение равно нулю 0 = = (х + у + z
) = х. Поэтому
любой вектор , перпендикулярный вектору , можно
представить в виде = у + z, из этого следует, что вектор
принадлежит двумерному векторному подпространству L2 с
базисом базис (, ). Из этого следует, что прямая l (А,)
принадлежит плоскости α(А,,
).
Рассмотрим любую прямую с(А,), проходящую через точку
А и лежащую в плоскости α(А,, ). Тогда = у1 + z1
и поэтому
скалярное произведение = (у1 + z1) = 0. Следовательно,
прямая с перпендикулярна прямой l. ■
Теорема 6.3. Для любых двух скрещивающихся прямых а и b
существует единственная прямая с, которая пересекает эти
прямые и перпендикулярна каждой из них.
□ Докажем, что существует прямая, которая пересекает
прямые а(А,) и b(О,
) соответственно в точках Х и Y и
перпендикулярна каждой из них.
Так как прямые а и b скрещиваются, то их направляющие
подпространства не совпадают, значит, векторы и
линейно
независимы, поэтому существует двумерное векторное
подпространство L
подпространстве L
Разложим векторы и
c базисом (,
2
существует ортонормированный базис (, ).
2
по этому базису:
= а1 + а2,
= b
1
). По теореме 1.4 в
+ b2 (6.1)
64
По теореме 1.2 в векторном пространстве V3 существует
ортонормированный базис (, , ). Разложим вектор
по этому
базису
= а + b + с
(6.2)
По второй аксиоме Вейля получим, что
= + +
(6.3)
Так как точки Х и Y принадлежат соответственно прямым а и b,
то
= х = х(а1 + а2), = у
= у(b
+ b2) (6.4)
1
Из того, что прямая ХY перпендикулярна и прямой а, и прямой b
следует, что вектор перпендикулярен и вектору , и
вектору, поэтому вектор
подпространства L
2
следует, что вектор = z
перпендикулярен любому вектору
, в частности и векторам и . Из этого
(6.5)
Подставив (6.4) и (6.5) в (6.3), получим (6.6):
= х(а
+ а2) + у(b1 + b2) + z
1
= (ха
уb1) + (ха2уb2) + z
1
.
Тогда из (6.2) и (6.6) следует, что
(ха
Так как векторы и
уb1) а, (ха2уb
1
линейно независимы, то определитель,
) = b, z = с.
2
составленный из их координат в базисе (, ), не равен нулю, т.е.
(ха
0. Поэтому система, состоящая из уравнений
уb1) а, (ха2уb
1
) = b, имеет единственное решение.
2
Таким образом, существует единственная тройка чисел x, y, z,
для которых выполняются условия (6.3), (6.4), (6.5) и точки Х и Y
принадлежат, соответственно, прямым а и b и прямая ХY
перпендикулярна каждой из прямых а и b. ■
65
Прямая а = (А, L1) называется перпендикулярной плоскости
α = (А, L
любому ненулевому вектору L
Задача 6.3. Доказать, что прямая а = (А, L
), если любой ненулевой вектор L
2
.
2
перпендикулярен
1
) перпендикулярна
1
плоскости α = (О, L2), то прямая а пересекает плоскость α в
некоторой точке.
Указание. Рассмотреть ортонормированный базис (, )
векторного подпространства L
ортонормированный базис V
и доказать, что если (, ,
2
, то вектор
3
принадлежит
) –
подпространству L1. Далее показать, что пересечение
подпространств L1 и L
есть
2
и что пересечение прямой а и
плоскости α есть точка.
Задача 6.4. Доказать, что прямая а = (А, L
плоскости α = (О, L
), если существует ненулевой вектор L
2
) перпендикулярна
1
1
и базис (,) векторного подпространства L2, такие, что вектор
перпендикулярен и вектору и вектору .
Теорема 6.3. Через данную точку А, проходит единственная
прямая, перпендикулярная данной плоскости α.
□ 1) Дана плоскость α(О, L2), тогда по теореме 1.4 в L2
существует ортонормированный базис (, ). По теореме 1.3 в
векторном пространстве V3 существует ортонормированный
базис (, ,
). Рассмотрим прямую а(А, L
) = а(А,
1
определения ортонормированного базиса следует, что вектор
). Из
перпендикулярен и вектору , и вектору , тогда по задаче 6.4
получим, что прямая а перпендикулярна плоскости α.
2) Рассмотрим прямую l(А, W
) = l(А,), которая
1
перпендикулярна плоскости α, тогда вектор перпендикулярен и
вектору , и вектору , Пусть = х + у + z
, тогда
66
0 = = (х + у + z) = х, 0 = = (х + у + z
) = у, значит
= z, поэтому вектор принадлежит векторному
подпространству L1 прямой а, поэтому прямая l совпадает с
прямой а. ■
Теорема 6.4. Если прямая а перпендикулярна двум
пересекающимся прямым, принадлежащим плоскости α, то
прямая а перпендикулярна плоскости α.
□ Пусть прямая а(А,) перпендикулярна двум
пересекающимся прямым b(О,) и с(О,), принадлежат
плоскости α, тогда векторы и образуют базис направляющего
подпространства плоскости α, то есть α(О, , ).
Из определения перпендикулярности двух прямых следует, что
вектор перпендикулярен и вектору , и вектору . Тогда по
задаче 6.4 прямая а перпендикулярна плоскости α.
Теорема 6.5. Две различные прямые, перпендикулярные одной
плоскости, параллельны.
□ Пусть прямые а(А, L
) = а(А,) и b(В, W1) = b(О,
1
)
перпендикулярны плоскости α(О, L2). По теореме 1.4 в L2
существует ортонормированный базис (, ). По теореме 1.3 в
векторном пространстве V3 существует ортонормированный
базис (, , ).Тогда = х1 + у1 + z1, = х2 + у2 + z2
.
Из того, что прямая а(А,) перпендикулярна плоскости
α(О, L
), следует, что вектор перпендикулярен и вектору , и
2
вектору . Поэтому
0 = = (х1 + у1 + z1
= z1
.
) = х
, 0 = = (х1 + у1 + z1
1
) = у
, значит
1
67
Аналогично, из того, что прямая b(О,
) перпендикулярна
плоскости α(О, L
вектору , получаем, что
) и что вектор перпендикулярен и вектору , и
2
= z
.
2
Следовательно, направляющие подпространства L1 и W1
прямых а и b совпадают, поэтому по теореме 5.2 прямые а и b
параллельны. ■
Теорема 6.6. Две различные плоскости, перпендикулярные
одной прямой, параллельны.
□ Пусть плоскости α(А, L2) и β(В, W
прямой а(О,L
). Рассмотрим вектор единичный длины,
1
) перпендикулярны
2
принадлежащий подпространству L1.
Тогда по теореме 1.3 в векторном пространстве V3 существует
ортонормированный базис (, ,
Пусть – любой вектор из векторного подпространства L
тогда = х + у + z
. Так как плоскость α перпендикулярна
).
2
прямой а, то векторы и перпендикулярны, значит
0 = = (х + у + z
) = х.
Из этого следует, что для любого вектора из подпространства
L
= у + z , значит (,
2
плоскость β перпендикулярна прямой а, получаем, что (,
) – базис L
. Аналогично из того, что
2
) –
базис W2. Следовательно, направляющие подпространства L2 и W2
плоскостей α и β совпадают, тогда по теореме 5.5 различные
плоскости α и β параллельны. ■
Введем понятие величины двугранного угла.
Если дана полуплоскость Ω с границей а(О,) и луч ОМ,
принадлежащей полуплоскости Ω, то будем говорить, что луч
ОМ перпендикулярен прямой а, если прямая ОМ
перпендикулярна прямой а.
,
68
Пусть [а, В, С) – двугранный угол. Рассмотрим любую точку О
2
на ребре а данного двугранного угла. По теореме 6.1 получаем,
что в грани двугранного угла, содержащей точку В, существует
единственный луч ОМ, перпендикулярный прямой а, и в грани
двугранного угла, содержащей точку С, существует
единственный луч ОN, перпендикулярный прямой а. Угол MON
будем называть линейным углом данного двугранного угла.
Ясно, что у двугранного угла существует бесчисленное
множество линейных углов.
Задача 6.5. Доказать, что величина линейного угла
двугранного угла [а, В, С) не зависит от выбора точки О на
ребре двугранного угла.
Указание. Пусть ХОY и Х
двугранного угла и векторы , ,
единичной длины. Доказать, что = =
два линейных угла данного
1О1Y1
,
– векторы
.
Величиной двугранного угла называется величина любого
линейного угла этого двугранного угла. Двугранный угол
называется прямым, если величина этого угла равна
.
Две пересекающиеся плоскости называются
перпендикулярными, если они образуют четыре прямых
двугранных угла.
Задача 6.6. Доказать, что если один из двугранных углом,
полученных при пересечении двух плоскостей, прямой, то эти
плоскости перпендикулярны.
Теорема 6.7. Если одна из двух плоскостей проходит через
прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости
перпендикулярны.
69
□ Даны плоскости α(А, L2) и β(В, W2). Прямая а(О,L1)
принадлежит плоскости α и перпендикулярна плоскости β. По
задаче 6.3 прямая а пересекает плоскость β в некоторой точке С,
следовательно, плоскости α и β различны и пересекаются по
некоторой прямой с(С, W1).
По теореме 6.1 в плоскости β через точку С проходит
единственная прямая b, перпендикулярная прямой с. Так как
прямая а перпендикулярна плоскости β, то прямая а
перпендикулярна и прямой с и прямой b. Так как прямые а и b
лежат соответственно в плоскостях α и β и каждая их них
перпендикулярна линии пересечения этих плоскостей, то
величина угла между плоскостями α и β равна величине угла
между прямыми а и b, Но прямые а и b перпендикулярны,
следовательно, и плоскости α и β перпендикулярны. ■
Задача 6.7. Доказать, что через прямую а, не
перпендикулярную плоскости α, можно провести единственную
плоскость, перпендикулярную плоскости α.
Указание. Через точку пересечения прямой а и плоскости α
провести прямую b, перпендикулярную плоскости α. Доказать,
что плоскость, проходящая через пересекающиеся прямые а и b,
перпендикулярна плоскости α. Единственность доказать от
противного.
Задача 6.8. Доказать, что если через точку, лежащую в одной
из двух перпендикулярных плоскостей, проведена прямая,
перпендикулярная линии пересечения данных плоскостей, то эта
прямая перпендикулярна второй плоскости.
Указание. Даны две перпендикулярные плоскости α и β,
пересекающиеся по прямой а. Через точку А, лежащую в
плоскости α, проведена прямая b, перпендикулярная прямой а.
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]