Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Построение евклидовой геометрии на основе системы аксиом Вейля. Учебное пособие
.pdf
существует такое вещественное число φ, что cos φ =
. Это
число φ называется величиной угла между ненулевыми
векторами и
Будем говорить, что угол А
величина угла между векторами
угла между векторами
А1О1В
равен углу А
1
Равные углы будем обозначать так:
.
равен углу А
1О1В1
и
тогда и только тогда, когда
2О2В2
и
=
; из этого следует, что угол
равна величине
(4.9)
А1О1С
1
=
2О2В2
А2О2С
если
или
2
А = В.
Две прямые а(А,) и b(В,
если угол между векторами и
) называются перпендикулярными,
равен π/2. Из этого следует,
что прямые а(А,) и b(В,) перпендикулярны, если векторы и
перпендикулярны.
Задача 4.3. Доказать, что если прямые а(А,) и b(В,
)
перпендикулярны, то любой ненулевой вектор из направляющего
подпространства прямой а перпендикулярен любому ненулевому
вектору из направляющего подпространства прямой b.
Из задачи 4.3 следует, что две прямые m = (М, L1) и n = (N, W1)
перпендикулярны, любой ненулевой вектор L
перпендикулярен любому ненулевому вектору W
Задача 4.4. Доказать, что понятие равенства углов А
А2О2В
не зависит от выбора точек А1, В1, А2,
2
В2
.
1
1О1В1
на сторонах этих
1
и
углов.
Указание. Пусть точки А3, В3, А4, В4 принадлежат
соответственно лучам О1А
1
, О
1В1
, О
2А2
, О
, то есть
2В1
41
величина угла между векторами
угла между векторами
= х
= w
и
и х > 0, у > 0, z > 0, w > 0. Тогда доказать, что
= у
и
,
= z
.
и
и
равна величине
Теорема 4.4. Дан угол АОВ, полуплоскость Ω, граница
которой содержит точки О
существует единственный луч О
углу А
1О1В1
.
и А1, тогда в полуплоскости Ω
1
такой, что угол АОВ равен
1В1
□ Так как понятие равенства двух углов не зависит от выбора
точек на их сторонах (задача 4.3), то используя теорему 4.3,
будем считать, что |ОА| = |ОВ|= |О
угол АОВ равен углу А
=
.
1О1В1
1А1
| = |О
| = 1. В этом случае
1В1
тогда и только тогда, когда
Пусть а = (О1, L1) – граница полуплоскости Ω, тогда в
подпространстве L
равна 1. Если α = (О
существует вектор =
1
, L
) плоскость, которой принадлежит
1
2
полуплоскость Ω, то существует ортонормированный базис (,
подпространства L
М
принадлежит Ω, так как в противном случае
1
. Если
2
=
, то можно считать, что точка
ортонормированный базис (,
, длина которого
) заменяем на
)
ортонормированный базис (,–). Для векторов и выполнены
равенства:
2 =
= 1,
= 0 (4.10)
2
Полуплоскость Ω задается так:
Ω
Для искомой точки В
= х + у
= {Х: = t + q, t, q , q > 0}.
должно выполняться равенство:
1
, у > 0. Докажем, что существует единственная
42
пара вещественных чисел х и у, причем у > 0, для которых
OBOAx
yx 1
22
2
|О
| = 1 и угол АОВ равен углу А
1В1
=
1 =
=
. Из этого следует что
= (х + у)(х + у
, то есть
1О1В1
22
) = х
= (х + у) = х2 + у(
+2ху (
= 1 и
2
) + у
).
2
,
Учитывая равенства (4.10), получим
Обозначим φ величину угла между векторами и
так как длины векторов и равны 1, cos φ =
2
– 1 1 и (
)
1.
.
, тогда,
, то
Система уравнений имеет два решения
х = , у =
,
а значит, она имеет единственное решение х и у, где у > 0.
Следовательно, существует единственная точка В1, а значит и
единственный луч О1В
А1О1В
1
. ■
Треугольники АВС и А
АВ = А
С =
, АС = А
1В1
С
1.
, для которого угол АОВ равен углу
1
называются равными, если
1В1С1
, ВС = В
1С1
и А =
1С1
А
, В =
1
В
,
1
Теорема 4.5. Стороны АС и ВС треугольника АВС равны
тогда и только тогда, когда углы АВС и САВ равны.
□ 1) Пусть стороны АС и ВС треугольника АВС равны, тогда
2
=
2
(4.11)
Докажем, что углы АВС и САВ равны, то есть
=
(4.12)
43
Из (4.11) и (4.12) следует: надо доказать, что
=
= ( + ) =
= (+ ) =
(4.13)
2
2
+ =
+
(4.14)
2
+
(4.15)
Из равенств (4.11), (4.14), (4.15) следует (4.13), и значит (4.12).
Следовательно, угол АВС равен углу САВ.
2) Пусть углы АВС и САВ равны, то есть выполняется
равенство (4.12), а значит равенство
Отсюда получаем:
или
Отсюда |
| +
+
– |
или (| | – | |) + ( )
=
=
(4.16)
+
= 0
.
= 0.
=
| –
Из этого следует, что
(| |– |
|)(1 –
) = 0 (4.17)
Из равенства (4.17) следует, что или (| |– | |) = 0, или
Если
= 0.
= 0, то
= 1, значит cos
= 1 и
значит величина угла ВСА равна 0 и поэтому точки А, В, С лежат
на одной прямой. Получаем противоречие с определением
треугольника, поэтому
| | – | | = 0, то есть | | = |
|. ■
44
Теорема 4.6. (Первый признак равенства треугольников). Если
в треугольниках АВС и А1В1С
соответственно равны сторонам А1В
равен углу В
, то треугольники АСВ
1А1С1
□ Из равенства углов ВАС и В
=
стороны АВ и АС
1
1
следует, что
1А1С1
и А
, а также угол ВАС
1С1
и А
равны.
1С1В1
(4.18)
По условию стороны АВ и АС соответственно равны
сторонам А1В1 и А1С
|| = |
, из этого следует, что
1
2
=
|, || = |
2
,
2
=
| или
2 (4.19)
Тогда из равенства (4.18) и (4.19) получаем, что
=
Теперь докажем, что угол АВС равен углу А
(4.20)
, то есть что
1В1С1
выполнено равенство:
Равенство | | = |
| равносильно равенству | | = |
или =
=
(4.21)
(4.22)
Используя вторую аксиому Вейля и аксиомы скалярного
произведения, получим
2
= ( + )( + ) =
2
или
=
2
+ 2 +
2
– 2 +
2
2
(4.23)
Аналогично получаем, что
2
=
Из (4.19), (4.20), (4.22), (4.23), (4.24) следует, что
значит || = |
2
– 2
| (4.25)
+
2
(4.24)
2
=
2
|
,
45
Используя вторую аксиому Вейля и аксиомы скалярного
произведения, получим
=
2
–
(4.26)
= ( + ) = +
= (–)(–) + (–) =
Аналогично получаем, что
=
2
–
(4.27)
Из (4.19), (4.20), (4.26), (4.27) следует, что
=
(4.28)
Тогда из равенств (4.28), (4.22), (4.25), (4.26), (4.27) следует
равенство (4.21), следовательно, угол АВС равен углу А
Аналогично получаем, что угол А
Из равенства (4.25) следует, что стороны СВ
Следовательно, треугольники АСВ
равен углу А
1С1В1
и А1С1В
и С1В
равны. ■
1
1
равны.
1В1С1
2С2В2
.
.
Теорема 4.7. (Второй признак равенства треугольников). Если
в треугольниках АВС и А
В
то треугольник АВС равен треугольнику А
1
□ Обозначим = , = ,
условия следует, что
cos = cos
2 – 2 +
, значит
АВ = А
1В1С1
2
= 2 – 2
=
=
, А =
1В1
=
+
(4.30)
(4.31)
=
,
2
(4.29)
А
и В =
1
.
1В1С1
=
. Тогда из
, cos = cos
Из равенства (4.29) следует равенство (4.32):
(
)(
) + (
+
)(
–
) – 2+ 2
= 0
Из (4.30) и (4.31) следует
,
46
)
–
=
–
и
–
–
=
=
=
–
–
–
или
(4.33)
(4.34)
–
Подставляя (4.33) и (4.34) в (4.32), получим
(
+ (
+
)
– 2+ 2
откуда после раскрытия скобок
–
–
= 0.
Отсюда
–
= 0
или
С =
С
.
1
Так как (
+
–
) 0, то
(
+
=
= 0. Значит
) = 0.
, следовательно,
Докажем теперь, что сторона АС равна стороне А
равенства
=
=
. Подставляя эти соотношения в (4.33) и (4.34),
следует, что
=
получим
–
=
–
=
(4.35)
= 0
. Из
1С1
и
47
)
–
–
= (
и
Обозначим
=
–
= λ, λ 1, так как cos
=
и
–
–
)
. Отсюда
= (
–
1. Тогда
.
получим
–
.
Если
–
0, то λ 0, поэтому
этого следует, что
Если
=
= 0, то λ = 0 и из равенства (4.35) получаем, что
.
= λ(
=
Следовательно, сторона АС равна стороне А
Тогда так как в треугольниках АВС и А
АС = А
и А =
1С1
А
, то по теореме 4.6 получаем, что данные
1
) и
–
–
= λ(
1В1С1
= λ2(
.
1С1
АВ = А
–
–
).
). Из
1В1
треугольники равны. ■
Теорема 4.8. (Третий признак равенства треугольников).
Доказать, что если в треугольниках АВС и А
= А
А1В1С
и ВС = В
1С1
.
1
то треугольник АВС равен треугольнику
1С1
1В1С1
АВ = А
1В1
, АС
□ Из условия следует, что
2
=
Докажем, что угол АСВ равен углу А1С1 В
2
,
2
=
=
2
2
,
=
, то есть
1
(4.37)
2
(4.36)
Из равенств (4.36) и (4.37) следует: необходимо доказать, что
=
= = ( + ) ( + ) = + 2 +
(4.38)
(4.39)
,
48
2
=
Из (4.36), (4.38), (4.39) следует, что =
– = –
=
= (
+ 2
+
)(
+
, или =
+
) =
. (4.40)
, а это (4.38).
, или
Следовательно, угол АСВ равен углу А1С1В1. Следовательно, по
первому признаку треугольник АВС равен треугольнику А1В1С
. ■
1
Биссектрисой угла АОВ называется такой внутренний луч ОС
этого угла, что АОС = СОВ.
Теорема 4.9. У любого угла существует единственная
биссектриса.
□ Дан угол АОВ. По теореме 4.3 можно считать, что
=
= 1. Рассмотрим луч ОС, где
=
= +
.
Докажем, что луч ОС – биссектриса угла АОВ. Из равенства
= +
по задачам 3.4 и 3.5 следует, что ОС –
внутренний луч угла АОВ.
Докажем, что угол АОС равен углу ВОС, для этого докажем,
что
=
В самом деле,
Следовательно,
.
=
=
АОС =
ВОС.
=
=
=
=
.
.
Пусть существует луч ОХ, который является также
биссектрисой угла АОВ. Так как луч ОХ – внутренний луч угла
АОВ, то по задаче 3.4 = x + y
, где х > 0, у > 0.
49
Так как
следует, что =
АОХ =ВОХ, то
, или
(x + y) = (x + y
2
x
+ y = x + y
=
), отсюда получаем
2
или (х – у) = (х – у)
Из этого равенства следует, что или х = у, или
Последнее равенство перепишем так:
= 1, значит, косинус
. Из этого
= 1.
угла АОВ равен 1, следовательно, лучи ОА и ОВ совпадают, что
противоречит определению угла. Следовательно, их того, что луч
ОХ является биссектрисой угла АОВ, следует, что
= x + х = х( + ) = = х
и х > 0.
Из этого следует, что лучи ОС и ОХ совпадают. ■
Задача 4.5. Доказать, что если равны два угла, то равны и
смежные с ними углы.
Указание. Пусть
смежный с АОВ, а А1О1С
Будем считать, что = – и
АОВ =
А1О1В
– угол смежный с
1
и АОС – угол
1
= –
.
А1О1В
1
Задача 4. 6. Доказать, что вертикальные углы равны.
Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий
вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Биссектрисой треугольника называется отрезок,
принадлежащей биссектрисе угла треугольника и соединяющий
вершину с точкой, принадлежащей противоположной стороне.
Задача 4.7. Доказать, что медиана равнобедренного
треугольника является его биссектрисой.
Указание. Сначала доказать: если АМ – медиана треугольника
АВС, то
. Затем доказать, что ВАМ = МАС.
.
.
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]