Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обеспечение показателей надежности сетей доступа на этапах жизненного цикла. Монография
.pdf
выхода из которого является бесконечно большой величиной. На рисунке 2.16 в
12 1 1 2
p
16 2 1 2
p
23
1p
24
p
31 1 1 4
p
35 4 1 4
p
46 51 61
1p p p
1 1 2
1
2
0
3 1 4
1
43
1
52
1
63
1
12 16
31 35
0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0 1
1 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
pp
pp
P
12
31
0 0 0
0 0 1
0 0 0
0 0 0 0
UU
p
P
p
состоянии 2 система мониторинга фиксирует предотказ, после чего производится либо восстановление (состояние 3), либо ВОЛС переходит в предотказовое состояние (состояние 4). Эта операция выполняется практически мгновенно, что означает: после попадания в состояние 2 производится отражение от не-
го с вероятностью β в состояние 4 и с вероятностью 1−β в состояние 3.
Будем использовать метод относительных частот [41], при котором ис-
пользуются вероятности переходов между состояниями в момент изменения
состояния, а характеристиками каждого состояния является частота попадания
в это состояние и время нахождения в нём после попадания в него. Метод позволяет вычислять временные характеристики подмножеств состояний и на этой
основе вычислять показатели надёжности.
К исходным характеристикам модели относятся вероятности прохождений
между состояниями:
;
;
;
;
;
;
. (2.13)
Средние времена нахождения в состояниях после попадания в них:
;
;
;
;
;
. (2.14)
Разобьём множество состояний на два подмножества: U = {1, 2, 3, 4}, V =
{5, 6}. В результате такого разбиения эксплуатацию ВОЛС во времени можно
представить в переходах между этими подмножествами: U → V → U → V…
Будем называть циклом нахождение ВОЛС в состояниях подмножества U и
следующее за ним нахождение в состояниях подмножества V. Из диаграммы
рисунка 2.16 следует, что подмножество U всегда начинается с состояния 1.
Матрица вероятностей прохождений на всём множестве состояний обозна-
чена через P, а на подмножестве U – через PUU:
;
. (2.15)
Матрицы вероятностей прохождений PUU получена путём удаления из
матрицы P строки и столба, относящихся к состоянию подмножества V.
По матрице PUU в (2.15) находится матрица относительных частот NU на
множестве U:
41
1
,
U U UU
N n i j E P
,
U
n i j
(0)
U U U
n n j p N
1 2 4 1
( ) ( )
1
1,1
U
AB
n
12 1 4 1
()
1,2
U
p
AB
n
12 1 4 1
(1 ) (1 ) ( )
1,3
U
p
AB
n
12 1 4 1
()
1,4
U
p
AB
n
12 31
11A p p
1 2 1 1 2 4
B
1,3 1,4 1,2
U U U
n n n
где
– среднее число вхождений (попаданий) в j–е состояние до вы-
, (2.16)
хода из множества U при условии, что i–е состояние является начальным при
вхождении в множество U.
Элементы матрицы относительных частот названы относительными часто-
тами состояний. Если известно начальное распределение вероятностей состоя-
ний p(0), то относительные частоты состояний можно представить в виде стро-
ки
.
Поскольку состояние 1 всегда является начальным при переходе V → U, то
информация о средних относительных частотах всех состояний множества U
содержится в первой строке матрицы N
, определяемой в (2.16). Элементы пер-
U
вой строки матрицы NU на основании (2.13):
;
;
;
, (2.17)
где
;
.
Для лучшего понимания полученного результата отметим некоторые соот-
ношения и частные случаи:
1) среднее число вхождений в состояние 1 больше одного при β < 1;
2) при β = 0 ошибки контроля отсутствуют, мониторинг является досто-
верным;
3) при β = 1 повреждения не обнаруживаются, что эквивалентно отсут-
ствию системы мониторинга;
4) при 0 < β < 1 контроль является недостоверным;
5) из полученных соотношений видно, что сумма относительных частот
состояний 3 и 4 равна относительной частоте состояния 2:
.
Переходы между подмножествами U → V описываются матрицей вероят-
ностей PUV, полученной из матрицы P в (2.15) [41]:
42
16
35
0
00
0
01
UV
p
P
p
15 16
1,1 1,2 1,3 1,4
U U U U UV
b b n n n n P
14
15
(1 )
b
B
1 2 4 1
16
( ) ( )
b
B
41
11
1,1
U
B
tn
2
0t
1
33
(1 )
1,3
U
B
tn
1 4 1
3
44
()
1,4
U
B
tn
14
15
55
2
(1 )
tb
B
1 2 4 1
16
66
3
( ) ( )
tb
B
1 3 1 3 4 1
3
1 2 3 4
(1 ) ( ) ( )
U
B
t t t t t
1 4 3 2
1 2 4 1
56
23
(1 )
V
B
t t t
, (2.18)
Поскольку состояние 1 всегда является начальным состоянием подмноже-
ства U, то вероятности попадания в состояния 5 и 6 вычисляются по формуле
[41]:
. (2.19)
Из выражения (2.19) получим
;
. (2.20)
Среднее время нахождения в каждом состоянии подмножества U после
вхождения в это подмножество на основании выражений (2.14) и (2.17):
;
;
;
. (2.21)
Среднее время нахождения в каждом из состояний подмножества V на ос-
новании выражений (2.14) и (2.20):
;
. (2.22)
Среднее время нахождения в подмножествах U и V после вхождения в них,
исходя из выражений (2.21), (2.22):
.
Cредняя продолжительность цикла составляет tц = tU + tV.
43
;
Перейдём к вычислению временных и вероятностных показателей надёж-
1 3 4 1
р 1 4
3
( ) ( )
B
t t t
1 3 2
4 2 1 2 4 1
н 3 5 6
23
(1 )
B
t t t t
Г
р
ц
t
t
K
Н
н
ц
t
t
K
ности ВОЛС:
– средняя продолжительность работоспособного состояния на одном цикле
; (2.23)
– средняя продолжительность неработоспособного состояния
– коэффициент готовности
; (2.25)
– коэффициент неготовности
; (2.26)
; (2.24)
Проверка показывает, что tр + tн = tц и KГ + KН = 1.
2.4.3 Исследование модели с постепенными отказами при отсутствии
ошибок контроля
При отсутствии внезапных отказов отказ ВОЛС может произойти только
при наличии состояния предотказа. При этом возможны следующие ситуации.
1) Предотказ заканчивается ремонтом (рисунок 2.17).
а - для случая восстановления предотказа;
б - для случая перехода предотказа в отказ
Рисунок 2.17 – Схема функционирования ОТЭ
44
41
14
р1
tt
42
н 3 5
11
t t t
1
42
42
Нп
1
()
41
2
K
На рисунке 2.17а моменты времени 1, 2, 3 и 4 определяют следующие эта-
пы: 1 – появление предотказа; 2 – обнаружение предотказа; 3 – РВБ приступила
к устранению предотказа; 4 – ремонт завершён. Интервалы времени: T1 – среднее время обнаружения предотказа (локализации повреждения); T2 – среднее
время подъезда РВБ; T3 – среднее время ремонта.
Из рисунка 2.17а видно, что, если за время нахождения ВОЛС в состоянии
предотказа нет переходов в отказ, то время простоя определяется временем ремонта T3.
2) Предотказ переходит в отказ (рисунок 2.17б).
Если за время предотказа произошел отказ через интервал времени ∆T, то
среднее время простоя из-за отказов, вызванных предотказом, будет [(T1+T2∆T)+T
]. Вероятность появления внезапного отказа во время предотказа счита-
3
ем пренебрежимо малой.
При внезапных отказах среднее время простоя ВОЛС равно T1+T2 +T
. Та-
3
ким образом, отказы постепенные и внезапные следует рассматривать отдельно.
Рассмотрим случай, когда отсутствуют ошибки контроля и внезапные от-
казы.
Тогда с учётом выражений (2.21) - (2.24) получим
,
. (2.27)
Коэффициент неготовности, исходя из (2.25) и (2.27),
. (2.28)
Если восстановление происходит из предотказа, то интенсивность восста-
новления μ
= 1/T
1
. В этом случае РВБ подъехала к месту неисправности в мо-
3
мент, когда ВОЛС ещё не перешла из предотказа в отказ.
Отказ ВОЛС из предотказа может произойти в течение времени T1+T
. Ес-
2
ли к моменту подъезда РВБ уже произошел отказ, то восстановление будет
осуществляться из состояния отказа, и интенсивность восстановления при этом
будет равна μ
= 1/([T1+T2]-∆T+T3), где ∆T - интервал времени, в течение кото-
2
рого ВОЛС находилась в состоянии предотказа до момента отказа, пока РВБ
ехала к месту неисправности. ∆T может принимать значения в интервале
[0; T1+T2]. Если ∆T = 0, то отказ ВОЛС произошёл сразу после обнаружения
предотказа, а если ∆T = T1+T
, то имеем ситуацию восстановления из предотка-
2
за.
45
Вероятность отказа определяется выражением
о4
( ) 1 expp t t
0
14
1
11
04
40
1
0
Н4 0
1 Н4
()
1TT
H4
1 H4 2
H4 2 H4 1
1 H4 2
Нп
( ) (1 )
( ) 1 1
TT
K
T T T
= 1/Т
4
ем pо(t) для ТН4 = 2T2, 5T2, 10T
Н4
, а Т
– время наработки на отказ из состояния предотказа. Рассчита-
Н4
. На рисунке 2.18 изображены графики зависимо-
2
, где
сти pо(t) при постоянных значениях T1 = 0,5 ч и T2 = 3 ч на интервале времени
∆T = [0; T1+T
]. Из рисунка 2.18 видно, что вероятность отказа снижается при
2
увеличении времени наработки на отказ из состояния предотказа.
Рисунок 2.18 – Зависимость pо(t) при ТН4 = 2T2, 5T2, 10T2
Пусть λ
= 10-5 (1/ч) - интенсивность постепенных отказов. Из выражения
0
[29] получим
или
.
Запишем коэффициент неготовности (2.28) в виде
. (2.29)
Из [29] следует: T1 = 0.5 ч, T2 = 3 ч и T3 = 2 ч, тогда μ1 = 1/2 (1/ч), а μ2 опре-
деляется, исходя из значения ∆Т, находящемся в промежутке [0; T1+T
]. Примем
2
∆Т = 0, 0.5, 1.5, 3.5 ч. Соответственно μ2 = 1/(T1+T2-∆T+T3) = 1/5.5, 1/5, 1/4, 1/2
(1/ч).
На рисунке 2.19 представлены графики зависимости K
ных μ
и μ2.
1
Нп
от Т
при задан-
Н4
Из рисунке 2.19 видно, что график KНп имеет точку минимума при
∆T < T1+T
. При этом отказ происходит до того, как РВБ приступила к восста-
2
новлению.
46
При ∆T = T1+T2 поведение KНп схоже с поведением коэффициента неготов-
14
Но
1 4 2
42
K
4
1
Но
12
lim K
ности при отсутствии мониторинга состояния предотказа.
Если предотказ не фиксируется, то в этом случае восстановление происхо-
дит только после отказа ВОЛС, и время простоя определяется T1+T2+T3, где
T1 – среднее время обнаружения отказа. При этом интенсивность восстановления будет равна μ
= 1/(T1+T2+T3).
2
Рисунок 2.19 – Зависимость коэффициента неготовности KНп от времени
наработки на отказ из предотказа при различных значениях ∆T
Коэффициент неготовности можно получить, используя формулы, приве-
дённые в [41]:
. (2.30)
Поскольку состояние предотказа не обнаруживается, то можно принять
= 1/ТН4 = ∞ или ТН4 = 0, а λ
≈ λ0. Тогда
1
.
В таблице 2.3 приведены значения коэффициента неготовности при раз-
личных значениях Т
λ
= 10-5 (1/ч): KНп – при фиксации предотказа и восстановлении ВОЛС из пре-
0
для двух стратегий восстановления ВОЛС при
Н4
дотказа; KНо – без фиксации предотказа и восстановлении ВОЛС из состояния
отказа.
4
47
Таблица 2.3 – Значения коэффициента неготовности для двух стратегий восста-
Параметр
Значения параметра
Т
Н4
, ч
6
15
30
KНп
2.00008∙10
-5
2.00026∙10
-5
2.00056∙10
-5
KНо
5.49937∙10
-5
5.49887∙10
-5
5.4981∙10
-5
Параметр
Значение
Т
Н4
, ч
2T2 (T2 = 3 ч)
∆T, ч
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
pо
0.080
0.153
0.221
0.283
0.341
0.393
0.442
KНп
2.75∙10
-5
2.62∙10
-5
2.50∙10
-5
2.37∙10
-5
2.25∙10
-5
2.12∙10
-5
2.0001∙10
-5
Т
Н4
, ч
5T2
pо
0.033
0.064
0.095
0.125
0.153
0.181
0.208
KНп
2.35∙10
-5
2.29∙10
-5
2.24∙10
-5
2.18∙10
-5
2.12∙10
-5
2.06∙10
-5
2.0003∙10
-5
Т
Н4
, ч
10T2
pо
0.016
0.033
0.049
0.065
0.080
0.095
0.110
KНп
2.19∙10
-5
2.16∙10
-5
2.13∙10
-5
2.09∙10
-5
2.06∙10
-5
2.03∙10
-5
2.0006∙10
-5
1
*
3 4 2 1 3 1 2 4 1 2
Нп
1
4 2 1 3 3 1 2 4 1 3 2 1 3 4 1 2 3
K
новления ВОЛС
Очевидно, что применение стратегии с обнаружением предотказа предпо-
чтительней.
В таблице 2.4 приведены значения коэффициента неготовности и вероят-
ности отказа при различных значениях Т
в фиксированных интервалах ∆T.
Н4
Таблица 2.4 – Значения KНп при различных значениях вероятности отказа
Из таблицы 2.4 видно, что при контроле с обнаружением предотказа с
уменьшением времени восстановления уменьшается значение коэффициента
неготовности. Чем больше время нахождения ВОЛС в состоянии предотказа,
тем больше вероятность того, что отказ не произойдёт до подъезда РВБ.
2.4.4 Исследование модели с учётом внезапных отказов и ошибок кон-
троля
Рассмотрим параметры модели, представленной на рис.2.16. В данной мо-
дели учитывается наличие внезапных отказов и ошибки системы мониторинга
второго рода.
Коэффициент неготовности с учётом выражений (2.21) – (2.24) будет
иметь вид
. (2.31)
Если система мониторинга пропустила предотказ, то ВОЛС переходит в
состояние 4 с вероятностью ошибки β, а затем в состояние 6 – состояние отказа
(см. рисунок 2.16). Неисправность ВОЛС будет обнаружена только после отказа. В этом случае восстановление участка ВОЛС происходит с той же интен-
48
сивностью, что и восстановление после внезапного отказа, т.е. с интенсивно-
*
нп
К
*
Нп
K
стью
= 1/(T1+T2+T3).
3
Переходы 3→5 и 4→6 на рисунке 2.16 имеют одинаковую природу, поэто-
му λ
= λ4=1/ТН4.
3
Пусть T1 = 0.5 ч, T2 = 3 ч и T3 = 2 ч [29], тогда μ1 = 1/2 (1/ч), а μ2 = 1/(T1+T2 -
- ∆T+T
) = 1/5.5, 1/5, 1/4, 1/2 (1/ч). Интенсивность восстановления μ
3
= 1/(T1+T2+
3
+ T3) = 1/5.5 (1/ч).
При β = 10-3 и λ2= 10
от Т
Н4
.
-6
(1/ч) на рис. 2.20 представлены графики зависимости
Рисунок 2.20 – Зависимость коэффициента неготовности
от времени
наработки на отказ из предотказа при различных значениях ∆T с учётом
внезапных отказов и ошибок 2-го рода
Наличие внезапных отказов и ошибок мониторинга второго рода приводят
к ощутимому увеличению коэффициента неготовности даже в условиях, когда
интенсивность внезапных отказов на порядок меньше интенсивности постепен-
ных отказов.
2.5 Модель надежности волоконно-оптической линии связи при пери-
одическом контроле и фиксации предотказов
2.5.1 Постановка задачи
1) Процесс мониторинга заключается в проведении периодических прове-
рок на предмет диагностики состояния ВОЛС.
2) При проверке обнаруживаются как отказы, так и предотказы.
3) Отказы всегда происходят после предотказов, то есть предотказы всегда
предшествуют отказам.
49
4) Проверки проводятся с постоянным периодом (Т – продолжительность
1 1 1
0 по
0
пп
0
оо
0 0 0
периода).
5) Отказы и предотказы обнаруживаются при проверках достоверно.
6) Время проверки принято пренебрежимо малым.
7) Время восстановления ВОЛС после обнаружения предотказа и отказа
является разными. Обозначения: Т
дотказа, Т
– среднее время восстановления после отказа.
во
– среднее время восстановления после пре-
вп
8) Интервал времени между двумя последовательными проверками или
между восстановлением и проверкой будем называть периодом.
9) Процесс переходов между состояниями на периоде происходит в непрерывном времени: возникают скрытые предотказы и отказы. Этот процесс пред-
ставлен диаграммой состояний в непрерывном времени.
10) Каждый период может завершиться тремя вариантами: работоспособным состоянием, предотказом или неработоспособным состоянием. Эти состо-
яния обнаруживаются при проверках.
11) Процесс эксплуатации с учетом состояний в начале периода, в конце
периода (результат проверки) и восстановления представлен диаграммой экс-
плуатации в дискретном времени.
2.5.2 Построение модели
На одном периоде могут происходить как предотказы, так и отказы. При
этом отказы всегда происходят после предотказов.
Диаграмма состояний на одном периоде в непрерывном времени приведе-
на на рисунке 2.21.
На диаграмме рисунка 2.21 обозначено: 1Р – работоспособное состояние;
2П – предотказное состояние; 3Н – неработоспособное состояние; λп и λо – ин-
тенсивность предотказов и отказов. Причем
сивность постепенных отказов.
Матрица интенсивностей переходов в непрерывном времени:
Рисунок 2.21 – Диаграмма состояний на периоде
[29], где
. (2.32)
50
– интен-
0
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]