Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обеспечение показателей надежности сетей доступа на этапах жизненного цикла. Монография
.pdf
11
... ...
mi m j jm k km
R b R b R b R
1, , 1,m k i k n
ˆ
i i i
x x x
2
min 1
( / ,..., )
ik
D x x x
1
ˆ
( / ,..., )
i i i k
D x D x D x x x
1 1 2 2
ˆ
... , 1,
i i i k ki
D x b R b R b R i k n
1 1 1 2 2
/ ,..., ( ... )
i k ii i i k ki
D x x x R b R b R b R
ˆ
i
x
2
min
()
i ii
D x R
1 1 2 2
...
i i k ki
b R b R b R
1
1
k
ki ki ii
k
b R R
ˆ
i
x
2
min 1
( / ,..., ) 0
ik
D x x x
, (1.3)
где
.
Случайную величину xi можно представить в виде суммы двух независимых случайных величин [9, 12, 14]
, (1.4)
где Δxi – случайная погрешность.
При использовании линейной оценки (1.1) среднеквадратическая погреш-
ность минимальна и равна условной дисперсии [9, 12, 14]
. (1.5)
С учётом (1.4) и (1.5) дисперсия величины xi определяется как [9, 12]
. (1.6)
Дисперсия оценки выражается как [9, 12, 14]
. (1.7)
Учитывая, что D(xi) = Rii и выражения (1.6), (1.7), условная дисперсия (1.5)
определяется следующим образом [9, 12]
. (1.8)
При отсутствии корреляции между величиной xi и x1,…, xk наилучшей
оценкой
ская погрешность оценки равна
является её математическое ожидание. При этом среднеквадратиче-
.
При наличии корреляции погрешность уменьшается на величину
. Если сумма
, то погрешность оценки
стремится к нулю, т.е.
. (1.9)
11
Это указывает на возможность эффективного прогнозирования неизмеряе-
i
M х
0
i
M х
1 0 1 1
ˆ
/ ,..., ... ...
i i k j j n n
x M x x x b b x b x b x
0 1 1
( ) ... ( ) ... ( )
i j j n n
b M x b M x b M x b M x
2
min
0 ( )
ii i
R D x
ˆ
i
x
в н.к в
н н в.к
ˆ
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) ( ) ( ) ( )
i i i i i i i i i i
i i i i
i i i i
x x x x
x x x x
W x W x d x dx W x W x d x dx
в.к в.к
н.к н.к
н
в
ˆ
ˆˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) ( ) ( ) ( )
ˆ
i i i i
i i i i i i i i i i
i i i
i
ii
x
xx
x x x x
W x W x d x dx W x W x d x dx
x x x
ˆ
()
ii
Wx
ˆ
i
x
ˆ
()
i
Mx
ˆ
i
Dx
мого параметра xi контролируемого изделия по измеряемым x1,…, xk. При
этом должны быть известны характеристики
В случае, когда
, то оптимальную оценку следует искать в виде
, Rii, Rki. [8]
[10]
, (1.10)
где b0 определяется из выражения [11]
. (1.11)
Поскольку условие (1.9) является предельным, то погрешность оценки
находится в интервале
. Следовательно, при использовании
оценок (1.1), (1.10) необходимо определить достоверность их применения для
прогнозирования неизмеряемых параметров [14].
Условием годности изделия по параметру xi является принадлежность его
заданному интервалу (допуску) [xiн, xiв].
Замена xi его оценкой
ошибок I и II рода при принятии решения о годности изделия [14].
в соответствии с (1.4) приводит к возникновению
На оцениваемые параметры вводится контрольный (упреждающий) допуск
[x
, x
iн.к
условиям [хiн, x
ных, т.е. (x
x
находятся по требуемым значениям вероятностей ошибок I и II рода α и β
iв.к
], который в общем случае, не совпадает с допуском по техническим
iв.к
]. Область контрольных допусков уже области гарантирован-
iв
iв.к
- x
) < (xiв - x
iн.к
). При этом границы контрольных допусков х
iн
iн.к
[13].
Вероятности ошибок первого и второго рода определяются выражениями
[13]:
,
где
закону с математическим ожиданием
- плотность вероятности оценки
и дисперсией
по формуле (1.7);
12
, (1.12)
, (1.13)
, подчиняющаяся гауссовому
, определяемой
()
i
Wx
- плотность вероятности случайной погрешности (нормальное
1
/ ,..,
ik
M х х х
1
/ ,..,
ik
D х х х
П пр
П
cc
c
c
П
c
пр
c
П
1
i
n
i
cc
i
c
11
пр
1
kn
i i i
i i k
c c c p
i
p
ˆ
i
x
условное распределение) с математическим ожиданием
персией
, определяемой по формуле (1.8).
и дис-
Номенклатура параметров, часть которых измеряется, а часть прогнозируется, определяется по следующим правилам. При попадании оценки параметра
в контрольное поле допуска [х
iн.к
, x
] изделие по данному параметру считается
iв.к
годным, в противном случае выполняется дополнительное измерение параметра xi.
Контролируемые и прогнозируемые (оцениваемые) параметры выбирают
по критерию уменьшения затрат при прогнозировании части параметров по
сравнению с затратами с
на полный контроль. При этом относительное
П
уменьшение затрат равно
, (1.14)
где
- затраты на полный контроль по n параметрам;
- средние затраты при прогнозировании части k из n параметров.
Затраты на полный контроль по n параметрам определяются из выражения:
, (1.15)
где
- затраты на контроль i-гo параметра.
Средние затраты при прогнозировании части параметров можно опреде-
лить как
, (1.16)
где
- вероятность попадания оценки в контрольный допуск [х
iн.к
14].
Вероятность попадания оценки
в контрольный допуск вычисляется по
, x
iв.к
] [9,
формуле [12, 13]:
13
в.к
н.к
ˆˆ
()
i i i i
i
i
x
x
p W x dx
. (1.17)
Задача выбора количества и состава прогнозируемых параметров может
быть решена с помощью ранжировки комплексов признаков (параметров), т.е.
путём перебора тем или иным способом различных по составу комплексов па-
раметров из исходной номенклатуры, определения информативной ценности
каждого из комплексов и расстановки их в ряд. Информативность используемо-
го комплекса параметров характеризуется каким-либо критерием, в данном
случае критерием минимизации затрат на измерительный контроль.
Ранжировку комплексов признаков можно провести различными методами, например, способом исчерпывающего перебора или частичного перебора.
Выбор способа ранжировки зависит от типа решаемой задачи и объёма вычислений. Алгоритмы частичного перебора более экономичные. К ним относятся
алгоритмы «последовательной селекции вперёд» (SFS - sequential forward
selection), «последовательной селекции назад» (SBS - sequential backward
selection) и обобщённые алгоритмы селекции (generalized sequential selection).
Сущность алгоритма SFS заключается в следующем. Поочерёдно выбира-
ются одиночные признаки, для каждого из них вычисляется критерий, проводится сравнение и определяется наиболее ценный по критерию признак. С этим
признаком поочерёдно объединяют остальные одиночные признаки, в резуль-
тате чего образуются парные комплексы признаков. Для каждой из образованных пар вычисляется критерий, проводится сравнение и определяется оптимальный парный комплекс и второй по критерию одиночный признак. Далее к
оптимальному парному комплексу признаков поочерёдно добавляются оставшиеся одиночные признаки и тем самым формируются тройные комплексы.
Для каждого из них определяется критерий, проводится сравнение и определя-
ется наиболее ценный по критерию тройной комплекс и так далее, до заверше-
ния ранжировки всех образующихся при таком способе перебора комплексов
признаков.
Алгоритм SBS основан на поочерёдном исключении всех признаков исходной системы и определении критерия для каждой из оставшихся подсистем.
Далее осуществляется сравнение всех подсистем, наиболее ценная по критерию
считается оптимальной. Не вошедший в комплекс признак исключается из
дальнейшего перебора. После этого процедура повторяется до тех пор, пока не
будет получен упорядоченный по критерию ряд всех рассмотренных комплексов признаков.
Основным недостатком описанных алгоритмов SFS и SBS является отсут-
ствие учёта статистических связей между исключаемыми и остальными при-
знаками.
Статистические связи между признаками учитывают обобщённые алгоритмы селекции. В них при определении очередного наилучшего по критерию
комплекса признаков поочерёдно включаются в комплексы предыдущего уров-
14
ня или исключаются из них не одиночные признаки, оставленные для рассмот-
ˆ
i
x
ˆ
()
ii
Wx
ˆ
i
x
П
c
пр
c
рения на данном уровне, а все возможные сочетания из них по несколько при-
знаков. [15]
На первом шаге применения алгоритма обобщённой последовательной се-
лекции вперёд из номенклатуры параметров n можно выбрать один прогнозируемый параметр, остальные – измеряются. Поочерёдно для каждого параметра:
1) составляется оценка
в соответствии с (1.1) или (1.10);
2) определяются параметры распределения
3) определяются границы контрольного допуска [х
;
iн.к
, x
] при заданных α
iв.к
и β из выражений (1.12), (1.13);
4) вычисляется вероятность попадания оценки
по формуле (1.17);
5) определяются затраты на полный контроль
в контрольный допуск
из (1.15), средние за-
траты на прогнозирование
из (1.16) и относительное уменьшение затрат δс
из (1.14).
Выбирается параметр с наибольшим δс. Он будет включен в ряд оцениваемых параметров.
На втором шаге алгоритма из оставшихся n-1 параметров составляются все
возможные комбинации из k параметров. Теперь оценивается 1+k параметров:
один параметр, полученный на первом шаге, и комбинация из k параметров
(поочерёдно перебираются все комбинации). Для них выполняются действия 1)
– 5). Выбирается комплекс из 1+k параметров с наибольшим δс.
Далее из оставшихся n-(1+k) параметров снова составляются все возможные комбинации из k параметров, и производятся операции второго шага при-
менения алгоритма. Указанные действия производятся до тех пор, пока выпол-
няется условие для области контрольного допуска (x
iв.к
- x
) < (xiв - xiн) и δс
iн.к
остаётся наибольшим.
Параметры, не включенные в полученный ряд, подвергаются измеритель-
ному контролю.
Пример использования предлагаемой методики приведён в [9]. При допу-
стимой β ≤ 0.005, относительное уменьшение числа измерений по сравнению с
полным контролем составляет примерно 60%. [9]
1.3 Оптимизация требований к точности измерений
При заданной номенклатуре измеряемых параметров объекта контроля
следует рассмотреть задачу математического обоснования оптимальных требо-
ваний к точности измерений, результаты решения которой определяют выбор
средств и методов выполнения измерений.
Для оценки оптимальности требований к точности измерений воспользуемся моделью, которая включает аддитивные систематическую (фиксирован-
ную) и случайную составляющие погрешности.
15
и. c.
( ) ( ) ( ) ( )
i i i i
Z t U t t y t
и. и. и.
( , ) ( ) ( | )
i i i i i
f U y f U f y U
и. и. и. и.
||
ba
i yi i i i i i i i i
ab
f U f y U dy f y U dy dU
и. и. и. и. и. и.
||
a b b
i yi i i i i i i i i i i
a b a
f U f y U dy dU f U f y U dy dU
2
и. 0
и.
2
1
| exp
2
2
i
i
ii
ii
y
y
U
f y U
2
и. 0 c.
и.
2
1
| exp
2
2
i
i
i i i i
ii
y
y
y U U
f y U
i
y
, (1.18)
где U
Δ
c.i
ятности f(U
(t) - истинное значение измеряемого параметра;
и.i
(t) – систематическая погрешность, распределённая с плотностью веро-
);
и.i
yi(t) - аддитивная случайная погрешность, распределённая с плотностью
вероятности f(y). [9]
Известно, что оптимальные требования к точности измерений параметров
объекта контроля определяются допустимыми значениями вероятностей оши-
бок первого и второго рода. [16]
Совместная плотность вероятности сигнала и аддитивной случайной по-
грешности в модели (1.18) выражается в виде
.
Cредние вероятности ошибок 1-ого и 2-ого рода при контроле i-го параметра можно записать как
;
в случае гауссового распределения параметра
,
где - среднеквадратическое отклонение (СКО) аддитивной погрешности yi из (1.18);
μ
– математическое ожидание, равное U0i (номинальное значение i-го па-
0i
раметра).
При нормальном распределении аддитивной погрешности yi и при фиксированных значениях ∆
получим условную плотность вероятности [9]:
с.i
,
16
.
На рисунках 1.1, 1.2 представлены зависимости средних вероятностей
ср ср
( ) ( )
U
C K K K
ошибок 1-ого рода α(σy) и 2-ого рода β(σ
) при σ
y
= 0.1, 0.2…1; μ0 = U
y
ном
0; σc = 1; a = -3, b = 3; СКО измеряемого параметра σU = 1 [9].
Рисунок 1.1 - Зависимость ошибки первого рода от СКО
погрешности измерения
= 0, μу =
Рисунок 1.2 - Зависимость ошибки второго рода от СКО
погрешности измерения
При проведении контроля одним из основных критериев оценки достовер-
ности являются затраты на измерения.
Суммарная функция затрат определяется как
, (1.19)
где KU - коэффициент затрат на измерение;
Kα, Kβ - коэффициенты затрат на потери из-за ошибок α, β;
α
(σ), βср(σ) - средние вероятности ошибок 1-ого и 2-ого рода.
ср
Суммарная функция затрат (1.19) при KU = 1, Kα = 1 и Kβ = 10 для σу = 0.1,
0.2…1 представлена на рисунке 1.3.
17
По графику на рисунке 1.3 можно определить оптимальное значение СКО
погрешности измерения, при котором затраты минимальны. Наблюдаемое сни-
жение суммарных затрат обусловлено уменьшением ошибки 2-го рода. [9]
Рисунок 1.3 - Зависимости суммарной функции затрат, затрат на потери из-за
ошибок 1-го и 2-го рода и на измерение от СКО погрешности измерения –
соответственно кривые 1–3
Оптимальность выбора точности СИ по минимуму суммарных затрат на
средства измерений и проведение измерений и затрат, вызванных потерями качества измерений, является одной из основных задач метрологического обеспечения продукции. Используемая модель функции потерь качества измерений
позволяет учесть требования к измеряемым параметрам, реальным статистическим свойствам этих параметров и всех составляющих погрешностей измере-
ний.
Исследования функции суммарных затрат, включающих затраты на приобретение СИ, на выполнение контрольных операций и вследствие потерь качества измерений показали наличие минимума затрат. При этом, чем выше стои-
мость потерь из-за ошибок (погрешностей) измерений, тем резче наблюдаемый
минимум [9].
1.4 Достоверность измерительного контроля с учётом требований к
показателям точности измерений [16]
Рассмотрим решение задачи оптимизации требований к точности измерений в общем случае, когда измерительная модель включает комплекс погрешностей, каждая из которых имеет собственный закон распределения вероятно-
стей.
Представим измеренное значение i–того параметра Zi в виде некоторой
(обобщённой) модели:
18
и. c.
[1 ]
i i i i i
Z U y
1, n
и.i i i
ZU
и. сi i i i i
Uy
2
2 2 2
и.
12
ii
i
i i y
Us
2
2 2 2
и.
3
ii
i
i i y
Us
2
i
s
2
i
y
и. и.
/
i i i i i
f Z U f Z U
, i =
, (1.20)
где U
ξ
– мультипликативная случайная погрешность;
i
Δ
ci
- истинное значение измеряемого сигнала (параметра);
и.i
– систематическая (неисключённая) погрешность;
yi - аддитивная случайная погрешность;
n – число измеряемых параметров объекта контроля.
Составляющие в правой части (1.20) имеют распределения вероятностей с
плотностями вероятности f(U
), f(ξi), f(Δci) и f(yi) соответственно.
и.i
Представим выражение (1.20) в виде:
, (1.21)
. (1.22)
Суммарное СКО погрешностей измерения Zi для несимметричного распределения систематической погрешности
, (1.23)
а для её симметричного распределения
,
где
,
-дисперсия мультипликативной и аддитивной составляющих по-
грешности.
При известной плотности вероятности f(ψi) условная (апостериорная)
плотность вероятности измеренного параметра (1.20) имеет вид:
, (1.24)
где в правой части представлена плотность вероятности для разности ψ
Zi – U
и.i
.
Совместная плотность вероятности истинного и измеренного параметров
определяется выражением:
=
i
19
и. и. и.
,
i i i i i i
p Z U f U f Z U
c
и. и.
1
i
i y i i
ii
u
f f f u du
UU
i
fx
i
y
fx
2
i
2
i
y
2 2 2 2
и.
ii
g i y
Us
2
и. c
и.
2
2
1
/ exp
2
2
i
i
ii
ii
g
g
ZU
f Z U
, (1.25)
где f(U
) – априорная плотность вероятности измеряемого параметра U
и.i
и.i
.
Совместная плотность вероятности (1.25) позволяет определить ошибки
первого и второго рода, характеризующие достоверность измерительного кон-
троля.
Определим плотность вероятности f(ψi) суммарной погрешности (1.22) и
условную плотность вероятности (1.24).
Для фиксированных случайных значений параметра U
погрешности Δ
плотность вероятности суммы (1.22) в соответствии с прави-
сi
и систематической
и.i
лом свёртки распределений независимых случайных величин определяется вы-
ражением
, (1.26)
где
и
– плотности вероятности мультипликативной и адди-
тивной случайных погрешностей соответственно.
Для гауссовых распределений f(ξi) и f(yi) с нулевыми средними и дисперси-
ями
ским ожиданием µ = U
и
плотность вероятности f(ψi) будет также гауссовой с математиче-
+ Δci и дисперсией
и.i
, (1.27)
где s – СКО мультипликативной погрешности.
Тогда условная плотность вероятности (1.24) примет вид:
Для случая, когда распределения независимых погрешностей f(ξi) и f(yi)
нормальные, а плотность вероятности неисключённой систематической погрешности ∆
– равномерная в интервале [c, d], с помощью операции свёртки
ci
распределений погрешностей в правой части (1.21) получим плотность вероят-
ности суммарной погрешности
. (1.28)
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]