Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Начала философии науки. Учебник
.pdf
В философии математики обсуждаема её номиналистическая интерпрета-
410
411
412
413
410
411
412
413
ция
. В исследованиях оснований математики анализ противоречий наивной
теории множеств, а также её значения для математики, дополнен и обогащен
анализом теории категорий и её возможного значения для математики
. Математическое знание связано с технологией, что позволяет развивать на почве
математических теорий своеобразную метафизику. В этом отношении большое
значение принадлежит теории графов. Мир интерпретируется через понятие
графа, что позволяет говорить о своеобразной графовой структуре мира
, что
имеет значение для органичного восприятия культурой современных математи-
ческих идей.
Всё большее значение приобретает осмысление нелинейной динамики, ее
мировоззренческих и методологических возможностей. Категории нелинейной
динамики
соотнесены с универсалиями культуры, с универсалиями философ-
ского мышления. На основании когнитивного опыта нелинейности возникает
новая наука, новая философия науки.
ematics. Oxford, 1997
Synthese. Vol. 103. 1995. P. 421–447.
cal structure of the world: the world as graf // The journal of philosophy. V. XCIV. № 7, 1997. P. 329–358.
Burgess, J., Rosen, G. A subject with no object: strategies for nominalistic interpretation of math-
Marquis, J.-P. Category Theory and the foundations of mathematics: philosophical excavations //
Зыков, А. А. Теория конечных графов. В. 1. Новосибирск, 1969. Dipert, R. R. The mathemati-
Трубецков, Д. И. Колебания и волны: Для гуманитариев. Саратов, 1997.
271
ГЛАВА 20. НАЧАЛА ФИЛОСОФИИ МАТЕМАТИКИ:
ПРОБЛЕМЫ, МЕТОДЫ, КОНЦЕПЦИИ
Философия математики развивается во взаимосвязи с историей математики. История и философия математики как части истории и философии науки
являются предметами профессионального образования. Понимание соотнесённости их содержания в системе образования значимо для профессионального
становления бакалавра, специалиста, магистра. Оно имеет особое значение для
аспиранта, докторанта, соискателя ученых степеней, для педагогической дея-
тельности преподавателей. Прояснение проблем, методов и концепций фило-
софии математики в ее истории составляет задачу статьи.
Соотношение истории математики и философии математики имеет свою
историю. Философия математики без историографии математики пуста, исто-
рия математики без философии математики слепа. Выявление реального соот-
ношения истории математики и философии математики дополняется необхо-
димостью понимания их отношения к эмпирическим наукам и к научно иници-
ированным технологиям.
Являясь аспектом философии науки, философия математики конкретизирует её положения применительно к задачам осмысления феномена математи-
ки, её изменчивости и удивительно эффективной применимости в естествознании, социальных науках, практике. В контексте философии математики форму-
лируются проблемы, применяются методы их систематического решения,
выстраиваются концепции, принципы которых, претендуют на статус принци-
пов философии науки.
В историческом опыте этой традиции были реализованы возможности
трёх способов (архетипов) мышления бытия: объективность, субъективность,
интерсубъективность. Для архетипа объективности характерно вопрошание о
природе вещей, о природе в себе всеобщего, о том, что такое знание само по се-
бе, истина сама по себе, справедливость сама по себе, благо само по себе. В ар-
хетипе субъективности очевидна констатация: я мыслю: вне меня существуют
вещи. При этом не природа вещей, а природа я мыслю становится предметом
философского интереса. Интерсубъективность как архетип философствования
определяет стратегию мышления бытия, центрируя внимание на исследовании
соотношения моего я и Я другого сознания, то есть на феномене интерсубъек-
тивности. Здесь осознается предпосылочность, несамодостаточность моего
мышления. Моё мышление понимается как обусловленное родовой сущностью
человека, его социально-исторической практикой, языком, историей, культу-
272
рой. В контексте архетипа интерсубъективности разрабатываются возможности
414
414
антропологического философствования, осуществляется лингвистический поворот в философии, который активизирует аналитический проект. Развивается
психоаналитическая программа философских исследований. В центре внимания
оказываются феномены коммуникации многих Я.
Философия математики в современных условиях реализуется преимущественно в контексте архетипа интерсубъективности, однако история философии
математики представляет опыты реализации возможностей архетипа объективности и субъективности
. Философия математики в качестве части философии
является процессом и результатом применением всего интеллектуального потенциала философии к освоению феномена математического познания. Она
возникает там и тогда, где и когда философия относится к осмыслению исторического опыта математики систематически как к уникальной сфере опыта бы-
тия человека-в-мире.
В современной развитой культуре философского освоения математики
соответственно исторически сформировавшемуся философствованию можно
выделить такие относительно самостоятельные области философии математи-
ки, как метафизику математического знания, сопоставленную с антиметафизической установкой, онтологию и методологию математики, эпистемологию, ак-
сиологию и праксиологию математического познания и знания.
Любая концепция философии математики предполагает ответы на вопро-
сы о природе, целях и ценностях математического познания, о его предметных
мирах и способах их существования, о методах овладения этими мирами, о
структуре и генезисе математического знания, об основаниях его концептуальных изменений и эффективности в других сферах деятельности. Это определяет
сопряженность философии математики не только с культурой философствова-
ния в целом, но и с направлениями науковедения, с историографией и социоло-
гией математики, с психологией математического творчества и с логикой мате-
матики.
Объективная история математики есть объект историографии математи-
ки, которая понимается как описание, объяснение и предсказание явлений ис-
тории математики. Историография математики опирается на определённое понятие математики, которое является предпосылкой историографии математики,
предлагаемой философией математики. Социально-исторически ориентированная философия математики рассматривает математику как свой эмпирический
Мысль, 2010. С. 216–218.
Гутнер, Г. Б. Философия математики // Новая философская энциклопедия в 4-х тт. Т. 4. М.:
273
(исторический) объект. Это обстоятельство определяет их когнитивную взаи-
415
415
мосвязь, спецификация которой определяется структурой философского во-
прошания о математике.
Взаимоотношения философии математики и историографии математики
конкретизируются посредством выявления эпистемологических, аксиологиче-
ских и онтологических аспектов их связи. Философия математики и историография математики соотнесены в контекстах понимания их предмета и метода,
в характере формулировки проблем и концепций. Эпистемологический анализ
показывает, что философия математики и историография математики есть спе-
цифические виды знания, характеризующиеся отношениями сходства и различия. Выявление статуса оценок и ценностей, идеалов и норм в этих областях
позволяет понять характер их аксиологической определенности. Прояснение
онтологических аспектов соотношения философии математики и историогра-
фии математики предполагает сравнительный анализ объектов языка философии математики и объектов языка историографии математики, а также обсуж-
дение проблемы выяснения специфики их существования. Осмысление основа-
ний достоверности математических смыслов — важнейшая задача
исследований.
Выбор единицы методологического анализа математики — языка, теории,
исследовательской программы, парадигмы — соотносится с различными спо-
собами концептуализации фактов и тенденций реальной объективной истории
математики.
Основные вопросы философии математики, по мнению P. M. S.Hacker,
могут быть сформулированы так: «Что такое число?», «Какова природа необходимости, которую мы связываем с математической истиной?», «Каково от-
ношение математической истины к доказательству?»
. С этими вопросами
связаны разнообразные проблемы. Должен ли аксиоматический метод основы-
ваться на той или иной концепции интуиции? Может ли теория, сконструиро-
ванная посредством аксиоматического метода, быть нейтральной по отноше-
нию к интуитивным импульсам математика? Могут ли формальные инструменты математического рассуждения освободиться от интуитивных моментов?
Существует ли так называемая «чистая интуиция»? Могут ли логика и математика освободиться от психологии, если интуиция есть психологический фено-
мен? Существует ли связь между пониманием логики и пониманием необходи-
мости обращения к интуиции в ходе прояснения оснований арифметики и гео-
The story of analytic philosophy. Plot and heroes. London, New York: Routledge, 2002. P. 10.
Hacker, P. M. S. Analytic philosophy: what, whence, and whether? // Biletzki A., Marat A. (eds.)
274
метрии? Каковы возможности логики и феноменологии в осуществлении ин-
416
417
418
416
417
418
терпретаций теории интуиций пространства и времени?
Последователь Пифагора, Филолай, принимая одно (единое) за основу
противоположности предела и беспредельного, полагал, что число есть контроль и самоорганизация связи вечного пребывания вещей в космосе
. Фило-
лай, отмечает Л. Я. Жмудь, не считал что «всё есть число» (как интерпретиро-
вал Аристотель). «Его [Филолая — С. М.] число — это не онтологическое нача-
ло, а функция «предела», который вносит определенность в этот мир, делая его
тем самым познаваемым»
. Для Платона числа и фигуры есть начала вещей,
которые (начала) определяют «причастность» вещей бытию. По Аристотелю,
числа и фигуры есть абстракции от чувственно воспринимаемых тел. Математика, изучая сущность вещей, абстрагирует числа и величины как их количе-
ственные феномены.
Новоевропейская философия сознания, философия субъективности, фи-
лософия субъект-центрированного разума осмысливала математическое знание
с позиций рационализма и эмпиризма. По мнению Р. Декарта, математика есть
достоверное основание познания протяженности, которая истолковывалось как
атрибут телесной субстанции, понятие о котором недоступно анализу и опосредованному представлению. Интуиция, ясное и непосредственное интеллектуальное созерцание, истолковывалась как основание прямого усмотрения истины. Геометрия как наука о протяжении становится основанием эмпирических
исследований протяженности. Геометрическая интуиция как созерцание протяженных величин истолковывается как основание математики. Посредством
отношений величин вводятся числа и числовые отношения. Алгебраические
выражения осмысливаются геометрически как выражения для линии. Метод
геометризации познавательных задач претендовал на универсальную применимость. «Истины математики, пишет исследователь философии Декарта, не мо-
гут быть извлечены из другого интеллекта (person): либо мы их видим сами для
себя, либо мы их вообще не видим»
. Сложные математические истины
(например, 2 + 3 = 5), состоящие из более чем одной идеи, можно в непрерывном движении мысли привести к интуитивно целой идее, как если бы она была
простой.
Понимание дедукции проясняет определенность математического познания. Декарт различает отношения принципов и следствий дедукции так, что
press, 1993. P. 347, 355.
С. 191.
Huffman, C. Philolaus of Croton. Pythagorean and presocratic. New York, Cambridge university
Жмудь, Л. Я. Филолай // Новая философская энциклопедия в 4-х тт. Т. 4. М.: Мысль, 2010.
Davies, R. Descartes Belief, scepticism and virtue. London, New York: Routledge, 2001. 371 p.
275
«первые могут быть познаны без последних, но не наоборот»
419
420
421
422
419
420
421
422
. Отрицание
взаимности Р. Дэвис оценивает как знак того, что понимание дедукции Декартом отличается от понимания, свойственного современной логике. Он должен
отрицать, что отношение высказывания к самому себе характеризуется выводимостью. Принципы не могут быть выведены из вещей так же, как они были
созданы в настоящий момент. Принципы — единственный источник знания.
Поэтому «то, что может быть выведено из истинных принципов философии, не
может быть известно, если оно не выводится из них»
. Тезис априоризма в
понимании знания выражен так: знание принципов существует до знания всех
других вещей; ничто не может быть известно, если оно не выведено из первых
принципов.
Декартов образ философии как древа познания (корни — метафизика,
ствол — физика, плодоносящие ветви — медицина, механика, мораль) не
включает чистой математики. Можно дополнить этот образ: математика есть
сок древа, обеспечивающий его жизнь
, формирующий стандарты рациональ-
ного получения знания из первых принципов и опыта.
Дж. Беркли исходит из того, что математика — ветвь спекулятивного
знания
. Ясность и определенность демонстраций, тем не менее, не освобождает её от ошибок. Её первые принципы ограничены рассмотрением количества. Источник возможных ошибок предполагается в положениях более общих,
чем количественные абстракции математики. Понимание общих абстрактных
идей и статуса существования объектов вне сознания связывается с осмыслением природы математических ошибок. Арифметика имеет дело с абстрактными
идеями числа. Если при осмыслении природы теорий арифметики абстрагироваться от имен и чисел, от их применения на практике, имеющей дело с конкретными вещами, то тогда такие теории становятся ничтожными. В арифмети-
ке исследуются не вещи, а знаки (the signs), которые функционируют не сами
по себе, а определяют наше отношение к вещам. Абстрактные идеи обозначаются числовыми именами. Правильно образованные понятия должны непосредственно выражать данные чувств. В субъективном смысле существует то,
что дано восприятиям. Идеи, теории есть лишь представления, репрезентации
того, что воспринимается. Конструирование математических знаний, посредством таких репрезентантов, как число и фигура, не гарантирует их соответствия восприятиям. Этот сенсуалистический критерий применяется как основа-
knowledge // Berkeley G. Philosophical writings. Cambridge University Press. Cambridge, 2008. P. 131.
Davies, R. Descartes Belief, scepticism and virtue. P. 233.
Ibid.
Ibid. P. 239.
Беркли, Дж. Соч. М., 1978.; Berkeley, G. A Treaties concerning the principles of human
276
ние критической оценки наличного математического знания, например, исчис-
423
424
423
424
ления бесконечно малых.
Р. Декарт акцентировал эффективность применения математики в науке.
Дж. Беркли поставил проблему границ образования математических понятий и
теорий. Дж. Локк различал демонстративные науки (математика, этика) и натуральную философию. Поскольку содержание математики (как и этики) составляют наши собственные идеи, постольку мы имеем демонстративное знание о
них, резюмирует Э. Карсон философию математики Дж. Локка
. Э. Карсон резонно замечает, что отождествление математики и этики неосновательно, поскольку геометрия реального тела накладывает ограничения на свободу приме-
нения аксиоматического метода в геометрии, чего нет в этике.
Для преодоления этой трудности концепции Дж. Локка И. Кант применяет понятие чистой интуиции при осмысления природы математического знания
. И. Кант попытался соединить достоинства рационалистической филосо-
фии математики Декарта и эмпирико-сенсуалистической критики Беркли. Со-
гласно Канту, спонтанная чувственность, регулируемая временем и
пространством как априорными формами синтеза ощущений, производит явления. Их познание задается такими формами рассудка, как число и величина, которые задают правила, посредством которых рассудок конструирует объекты
природы. Следовательно, объекты естествознания конструируются математиче-
ски. Измерение и исчисление — универсальные методы математического есте-
ствознания. Понятия математики оказываются применимыми лишь в процессе
непосредственного (чувственного) созерцания. Элементарные геометрия,
арифметика, алгебра получают такое объяснение в философии трансценден-
тальной субъективности Канта.
Создание неевклидовых геометрических систем, идеи нелинейности и их
применение в физике начала ХХ века, актуализировало исследования оснований математики. Логицизм, формализм, интуитивизм, теоретико-
множественный подход предложили свои понимания проблем, методов и кон-
цепций оснований математического познания.
Рационалистический лингво-аналитический поворот в философии, ини-
циированный идеями Д. Юма, исследованиями Г. Фреге, текстами Б. Рассела,
Л. Витгенштейна и других философов, изменил контекст философского вопро-
математика и этика есть только наши собственные идеи, постольку у нас есть демонстративное знание о них»; «Because mathematics and ethics are only of our own ideas, we have certain demonstrative
knowledge of them» // Emily Carson, Renate Huber eds. Intuition and the axiomatic method. Springer, Dordrecht, The Netherlands, 2006. P. 10.
ition and the axiomatic method. Springer, Dordrecht, The Netherlands, 2006. P. 3–19.
Emily Carson пишет, излагая суть концепции философии математики Локка: «Поскольку
Carson, E. Locke and Kant on mathematical knowledge // Emily Carson, Renate Huber eds.. Intu-
277
шания вообще, исследования математики в особенности. Аналитическая фило-
425
426
425
426
софия математики является результатом применения методов аналитической
философии к анализу математического знания. Метод анализа (аналитический
метод философии) используется как инструмент превращения философии в
точное и доказательное знание. Различаются редуктивные и нередуктивные методы анализа онтологического, методологического и других типов, формальные
и неформальные методы.
Философия математики двадцатого века формировалась в процессе переосмысления принципов философии математики И. Канта. Положение о том, что
математика основывается на априорных синтетических суждениях, принятое
Кантом, было подвергнуто критике в контексте логицизма Г. Фреге и Б. Рассела. Логицизм Г. Фреге и его последователей предполагает замену интуиции
формальными инструментами математических преобразований.
По мнению Рассела, единственной причиной, по которой Кант ввел интуиции пространственной и временной координации спонтанного потока ощущений в основания математики, было отсутствие в то время «современной логики,
то есть логики количественных отношений»
. В исследованиях логических
оснований математики Б. Рассел опирается на такие понятия математики девятнадцатого века, как непрерывность и предел. Логический язык был инструментом анализа естественного языка, раскрытия логических форм фактов. Теория
описания, теория типов, преобразованная в часть теории логического синтаксиса языка, раскрывали логические формы выражения знания. Математика для
Рассела была парадигмой определенного знания. Его исследование оснований
математики было мотивировано желанием отстаивать истину и несомненность
аксиом Пеано для арифметики. Для достижения этой цели Рассел разработал
метод выведения их из чистой логики.
Рассел, размышляя в контексте логицизма, резонно отмечает, что матема-
тика и логика, возникнув как различные науки, в наше время сблизились. Логи-
ка стала математичнее, математика — логичнее. В результате эти две науки
стали чем-то одним
. Конструктивно применяя «бритву» Оккама (не умножать сущности сверх необходимости), Рассел формулирует высший принцип
научной философии: везде, где возможно, подставлять логические конструкции
вместо предполагаемых сущностей.
Netherlands, 2006. P. VII.
tween the two; in fact, the two are one» (Russell, B. Introduction in mathematical philosophy. Dover publication, inc. NY, 1993. P. 194.)
Emily Carson, Renate Huber eds.. Intuition and the axiomatic method. Springer, Dordrecht, The
Рассел пишет: «The consequence is that it has now become wholly impossible to draw a line be-
278
Для осмысления оснований интуитивизма необходимо прояснить само
427
428
427
428
понимание интуиции. Гёдель, Пуанкаре, Вейль и другие формировали различные понятия интуиции. Развитие абстрактной теории множеств, изобретение
неевклидовых систем геометрии показало, что интуиция является сомнительным основанием выбора между конкурирующими геометрическими системами.
Исследование Гильбертом оснований геометрии актуализировало применение
аксиоматического метода для построения знания в виде аксиоматической си-
стемы.
Обусловлено ли содержание математики, например математической геометрии, логикой, языком, опытом, конвенцией или интуицией? Этот вопрос являлся и является актуальным как для философии математики, так и для математического образования. Почему эмпирическая интерпретация аксиоматических
систем математики оказывается эффективной в физике и других науках? Суще-
ствует ли одна-единственная «истинная» геометрическая теория пространства?
Или научно оправдано изобретение теоретических и методологических альтернатив в области математической и физической геометрии для реализации потенциала критического метода исследования научных проблем? Опровергает ли
эмпирическое подкрепление специальной и общей теории относительности
учение Канта об интуициях пространства и времени как об априорных формах
нашей чувственности?
Важнейшая проблема философии математики — понимание оснований и
механизмов концептуальных изменений
. Исток математики — эмпирический
и интуитивный опыт. Целенаправленное формирование математики подчинено
преобразованию этого опыта в систему абстрактных понятий, отличающих,
например, понятия числа, операции сложения от конкретных совокупностей
объектов и практических операций с ними. Математическая практика предполагает принятие конвенциональных определений, переформулировка которых
ведет к радикальным концептуальным изменениям, понимание которых составляет проблемы, как для философского объяснения математики, так и для её
изучения
.
Рациональная реконструкция объективной истории математики есть модель возникновения, развития и конкуренции исследовательских программ. И
Лакатос преодолевает негативный характер критического рационализма
Education, 2007, Vol. 16. Issue 9–10. P. 921–954.
и концептуальные переформулировки малочисленны, но они представляют собой, пожалуй, серьёзнейшие проблемы для учащихся»; «The major innovations and conceptual reformulations are few in number, but
these represent perhaps the greatest challenges to learners» // Robert N. Carson, Stuart Rowlands. Teaching the
conceptual revolution in geometry // Science & Education, 2007. Vol. 16. Issue 9–10. P. 921.
Robert, N. Carson, Stuart Rowlands. Teaching the conceptual revolution in geometry // Science &
Robert, N. Carson, Stuart Rowlands пишут о революциях в математике: «Основные нововведения
279
К. Поппера формулировкой конструктивной концепции методологии исследо-
429
430
431
429
430
431
вательских программ. В её контексте акцент делается не на опровержении ис-
следуемой теории фактами, а на создании альтернативы — новой исследова-
тельской программы, конкретизирующей проблемную ситуацию. Критический
рационализм К. Поппера преобразуется в критический конвенционализм
И. Лакатоса, в котором эпистемические оценки понимаются как прагматически
мотивированные соглашения
.
Важно понять, какие ограничения на применение аксиоматического метода в математике накладывает интуиция, какие возможны аргументы для введения интуиции в основания геометрии и арифметики. Сопоставление интуиционистских и формалистических установок открывает возможности для фе-
номенологического подхода в философии математики. Различение
формального, геометрического и интуитивного пространств является конструктивным опытом реализации возможностей принципа различия. Если интуитивное пространство осмыслить не как «пространство повседневного опыта»
,
что очень неопределенно и вторичность чего вполне вероятна, а как пространство перцептивное, то анализ формальных пространств ставит вопросы о применении результатов такого анализа к исследованию геометрического про-
странства и пространства интуитивного.
Сопоставление логицизма, формализма, интуитивизма, теоретико-
множественного подхода к осмыслению специфики математического знания
ставит задачу поиска новых подходов. Я. Хинтикка считает, что необходима
переоценка наших представлений о логике и об основаниях математики. Если
аксиоматическая теория множеств определяет концептуальные рамки математики, то это искажает среду математического теоретизирования
.
В этих условиях математическая практика была и остается источником оп-
тимизма в осмыслении опыта и перспектив научного познания мира человеком.
лософии и методологии науки. М., 2008. С. 27–190; Его же. История науки и её рациональные реконструкции // Лакатос И. Избранные произведения по философии и методологии науки. М., 2008.
С. 201–273.
Huber (eds.). Intuition and the axiomatic method. Springer, Dordrecht, The Netherlands, 2006. P. 67–85.
analytic philosophy. Plot and heroes. London, New York: Routledge, 2002. P. 253–269.
Лакатос, И. Доказательства и опровержения // Лакатос И. Избранные произведения по фи-
Ren’e Jagnow. Edmund Husserl on the applicability of formal geometry // Emily Carson, Renate
Hintikka, J. Who is about to kill analytic philosophy? // Biletzki A., Marat A. (eds.) The story of
280
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]