Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Молекулярно-динамический подход в проблеме описания конформационных перестроек макроцепных структур. Методические указания к лабораторным работам
.pdf
kT
m
kT
m
f
iii
i
2
exp
2
)(
2
2/3
v
v
k
dof
N
i
ii
dof
m
kN
tT
1
2
1
v
dof
N
nNN
dof
3
N
P
, (1.15)
где
– постоянная Больцмана.
Эти назначение скоростей неравновесное: скорости соседних атомов
нескоррелированы – например, связанные между собой атомы могут
двигаться в противоположных направлениях. Также случайным образом
может какая-либо группа атомов при назначении получить высокие скорости,
в результате получится «горячая точка», вызвав нестабильность в
моделировании. Для преодоления этой проблемы скорости сначала
назначают при низкой температуре, которую увеличивают, когда происходит
динамическая релаксация системы. Нагревание происходит до тех пор, пока
не достигается нужная температура моделирования. Нагревание на практике
выполняется увеличением скорости атомов, или повторно назначая скорости
из распределения Максвелла при поднятой температуре, или увеличивая
скорости умножая на одинаковый коэффициент. Температуру можно
определить из кинетической энергии системы:
, (1.16)
где
– число степеней свободы системы,
, (1.17)
где
– число атомов, n– число ограничений.
Другая проблема, связанная с начальным распределением скоростей,
это большая величина полного импульса
и полного момента импульса M
молекулы. Эти импульсы приводят к перемещению центра масс и
глобальному вращению молекулы, затеняя малые внутренние движения, а
это снижает эффективность моделирования. Поэтому эти импульсы
периодически обнуляют в процессе моделирования [5, 20, 22].
11
t
N
V
T
От размера шага времени
зависит величина ошибки
интегрирования. Чем меньше шаг, тем лучше качество интегрирования, но
при этом требуется большое количество шагов для той же самой длины
моделирования. Поэтому надо выбрать максимально возможный шаг
интегрирования, который все еще будет гарантировать точное
моделирование. Этот шаг времени должен быть маленьким по сравнению с
периодом самых быстрых движений в моделируемой системе примерно в 1020 раз.
Для биомолекул, типа белков, самые быстрые движения – это
колебания связей, соединяющих водород с тяжелыми атомами, с периодом
примерно 10 фемтосекунд (фс). Следовательно, соответствующий шаг
времени для моделирования биомолекул 0.5-1фс [1, 5, 11, 12].
1.4 Молекулярная динамика канонического ансамбля
В пункте 1.1.1 рассматривалась изолированная (консервативная)
система, полная энергия системы частиц была постоянной в процессе
моделирования. Во многих случаях требуется исследовать систему,
находящуюся при постоянной температуре. Уравнения движения позволяют
рассчитать поведение системы только при постоянной энергии, поэтому их
необходимо изменить [5].
Молекулярная динамика NVT-ансамбля.
Канонический ансамбль, описывающий равновесие системы в
тепловом резервуаре, имеет фиксированное число частиц
объем
и температуру
, полный импульс системы равен нулю. Для
, постоянный
поддержания постоянной температуры должны вводиться флуктуации в
полную энергию. Этим введением флуктуаций может быть дополнение
уравнений движения уравнением связи (метод связей), дополнение к силам в
уравнения движения силы реакции связи (метод диссипативной силы,
частный случай метода связей). Также можно погрузить систему в тепловой
резервуар путем введения случайной силы, моделирующей столкновение с
12
2/1
0
T
T
T
0
T
0
T
2/1
0
11
T
T
t
t
1
0
T
T
bb
I
ii
i
b
I
i
b
виртуальными частицами, с максвелловским распределением по скоростям
при заданной температуре [5, 11, 15].
Самый простой метод поддержания температуры в течение МД
моделирования – это пересчет скорости на каждом шаге времени с
коэффициентом
, где
- текущая температура, а
- желаемая
температура.
Берендсеном был предложен метод поддержания температуры путем
перевычисления скоростей, при котором система соединялась с резервуаром
температурой
коэффициентом
. В HyperChem [20] каждая скорость вычисляется с
:
,
(1.18)
где
- размер шага итерации, - характерное время релаксации, T
мгновенная температура.
Параметр
определяет скорость установления теплового равновесия
между системой и резервуаром с заданной температурой. Если он является
малым, то тепловое равновесие устанавливается быстро, но при слишком
малом параметре (
<0.1пс) возникают беспорядки в моделировании. Метод
Берендсена не соответствует точно каноническому ансамблю [5, 7, 11].
В NAMD используется предложенный Берендсеном метод с
масштабируемым коэффициентом трения [23]. Коэффициент трения
вычисляется согласно:
, (1.19)
где
- коэффициент трения атома i, а
- задается для каждого атома.
Метод, предложенный Андерсеном, представляет связь с тепловым
резервуаром в виде стохастических сил, которые действуют на беспорядочно
13
skTf
Q
p
U
sm
H
N
i
s
i
N
i
i
i
Nose
ln)1(
2
)(
2
1
2
1
2
2
r
p
s
f
k
T
Q
Q
s
s
Q
p
s
отобранные частицы. Между стохастическими столкновениями с
виртуальными частицами, с максвелловским распределением по скоростям,
система развивается при постоянной энергии по нормальным законам
движения Ньютона. После столкновения виртуальная частица получает
новую скорость из распределения Максвелла [5, 11].
Термостат Нозе-Гувера поддерживает температуру системы, соединяя
ее с тепловым резервуаром, формулируя уравнение Лагранжа для движения
этой расширенной системы. Энергии позволяют течь от резервуара к системе
и назад, резервуар при этом имеет некоторую тепловую инерцию.
Гамильтониан расширенной системы
, (1.20)
где
дополнительную степень свободы системы,
- динамическая переменная, которая представляет собой
- степень свободы системы, Q
- эффективная масса, ассоциирующаяся с дополнительной степенью свободы,
управляет сцеплением между системой и резервуаром,
Больцмана,
- желаемая температура. Третий и четвертый термы в
- постоянная
гамильтониане представляют собой кинетическую и потенциальную энергию
резервуара соответственно. Если
резервуаром медленный, если
высок, то поток между системой и
низок, то возникают долговечные
слабозатухающие колебания энергии.
Неудобство первоначального Нозе подхода состоит в том, что
динамическая переменная
действует как коэффициент шага времени. В
моделировании не удобно работать с флуктуирующими временными
интервалами. Гувер показал, что уравнения Нозе могут быть упрощены. Он
получил набор уравнений без динамической переменой
. Если
термодинамический коэффициент трения
, (1.21)
14
i
ii
mdt
d pr
i
i
i
U
dt
d
p
r
p
kTf
mQdt
d
N
i
i
i
1
1
1
2
p
dt
sd
s
dtds ln/
P
T
V
3
то уравнения движения станут:
, (1.22)
, (1.23)
, (1.24)
. (1.25)
Термостаты Андерсена и Нозе-Гувера воспроизводят канонический
ансамбль. Иногда у термостата Нозе-Гувера возникают проблемы с
эргодичностью, и желаемое распределение не может быть достигнуто. Для
решения этой проблемы соединяют несколько термостатов Нозе-Гувера в
цепь. Термостат Андерсена не имеет таких проблем, но его распределение
менее реалистично, чем Нозе-Гувера [11, 18, 22, 23].
МД-моделирование может производиться при температурах, при
которых в реальности произошло бы разрушение исследуемой молекулярной
системы (до 2000 К). Высокая температура в данном случае является
методом, который служит для более быстрого прохождения потенциальных
барьеров. Валентные связи при этом не разрываются, это запрещено в
молекулярной динамике [5, 6, 20, 28].
Молекулярная динамика NPT-ансамбля.
NPT-ансамбль, описывающий равновесие системы при постоянном
давлении и температуре, имеет фиксированное число частиц N, постоянное
давление
и температуру
, полный импульс системы равен нулю. Для
поддержания постоянного давления используют баростаты Берендсена или
Нозе-Гувера, который объединяет вместе термостат и баростат [17, 22, 23].
Баростат Берендсена пересчитывает объем ячейки
коэффициентом
или каждую сторону ячейки с коэффициентом
с заданным
. Можно
15
3
1
0
)(1
PP
t
p
P
0
P
t
p
)(
0
rr
mdt
d
i
ii
pr
i
i
i
U
dt
d
p
r
p
)(
kTf
mQdt
d
N
i
i
i
1
1
1
2
p
)(
1
0
2
0
PPV
NkT
dt
d
p
V
dt
dV
3
задавать давление анизотропно. Баростат Берендсена может быть объединен
с любым из термостатов для генерации требуемого NPT-ансамбля.
, (1.26)
где
- временной шаг,
- давление в данный момент времени,
- характерное время релаксации.
- требуемое давление,
Баростат Нозе-Гувера объединяет вместе баростат и термостат,
представляя собой модифицированный термостат Нозе-Гувера.
, (1.27)
, (1.28)
, (1.29)
, (1.30)
, (1.31)
где
- коэффициент пересчета объема, остальные параметры те же,
что и в (1.19).
1.5 Функции потенциальной энергии и силовые поля
Для изучения химических систем методом молекулярной динамики
важным является качество математической модели, использующей
вычисление энергии системы как функции ее структуры. Для химических
систем с небольшим количеством атомов (порядка 100 атомов) можно
использовать квантово-механические методы. Системы, представляющие
биохимический и биофизический интерес, могут содержать несколько
16
)(RU
HBelLJdihedralsanglesbonds
UUUUUURU )(
2
0
)(
bonds
bbonds
bbkU
2
0
)(
angles
angles
kU
dihedrals
dihedrals
nkU )cos(1[
десятков тысяч атомов. Поэтому для их изучения методом молекулярной
динамики с целью упрощения вычислительных расчетов используют
эмпирические функции энергии. Математические уравнения в эмпирической
функции энергии включают в себя относительно простые термы для
описания физических взаимодействий, которые определяют структуру и
динамические свойства молекул. Эмпирические силовые поля используют
атомистические модели, в которых атомы являются самыми маленькими
частицами системы [11, 13, 15].
Функция потенциальной энергии – это математическое выражение, по
которому вычисляется потенциальная энергия
химической системы как
функция ее трехмерной структуры. Уравнение содержит термы, которые
описывают различные физические взаимодействия, определяющие структуру
и свойства химической системы.
Рисунок 1.1
, (1.32)
, (1.33)
, (1.34)
, (1.35)
17
ji
ijij
ij
ji
ij
ij
ij
ij
LJ
r
r
r
r
r
B
r
A
U
6
min
12
min
612
2
jjiiij
6
min
2
r
2
jjii
ij
ji
ij
ji
el
r
qq
U
Hbonds
ij
ij
ij
ij
HB
r
D
r
C
U
1012
0
b
0
b
b
k
k
k
33
spsp
3n
22
spsp
, (1.36)
где
,
,
, (1.37)
(1.38)
Значения этих термов обычно получаются из экспериментальных
структур, полученных методами рентгено-кристаллографии или ядерного
магнитного резонанса. Параметры этих термом ассоциируются со
специфическим типом атома и типом ковалентной связи. Таким образом,
параметры учитывают различные типы атомов и связей и используются в
уравнениях. Качество параметров определяет точность результатов,
полученных при вычислениях.
Для вычисления потенциала валентных связей (1.33) и валентных углов
(1.34) используется гармоническая функция, где
длина связи и валентный угол в положении равновесия,
валентный угол в данный момент времени,
и
и
соответственно
и - длина связи и
- силовые константы
связанные с данной связью и с углом соответственно. Использование
гармонических термов достаточно для моделирования МД при условии
отсутствия разрыва связей и соударения связанных атомов. При комнатной
температуре атомы остаются вблизи положения равновесия, а гармонический
потенциал точно описывает местные искажения связей и валентных углов.
Торсионный потенциал или потенциал углов скрученности описывает
вращение, которое происходит вокруг связи, ведя к изменению
конформации. Этот терм является колебательным по природе. В уравнении
(1.35)
- угол вращения. В случае
- силовая константа, n - кратность торсионного барьера, - фаза,
связи (этан)
,
связи
18
2n
ij
r
ij
A
ij
B
min
r
i
q
qj
ij
r
ij
r
ij
C
ij
D
(этилен) -
. Каждый торсионный угол в молекуле может представляться
суммой торсионных термов, которые имеют различную периодичность.
Ван-дер-ваальсовые взаимодействия описываются потенциалом
Леннарда-Джонса (1.36), где
постоянные, зависящие от типов взаимодействующих атомов,
потенциальной ямы,
- конечное расстояние, при котором потенциал между
частицами равен нулю,
- расстояние между атомами,
и
- глубина
- расстояние, при котором потенциал достигает
своего минимума.
Электростатическое взаимодействие между парциальными зарядами
атомов
и
описывается термом (1.37), где
- расстояние между атомами,
- диэлектрическая проницаемость среды.
Водородные связи описываются потенциалом (1.38), где
-
-
расстояние между атомами,
и
- постоянные, зависящие от типов
взаимодействующих атомов
Для уменьшения вычислительных ресурсов, требуемых для МД
моделирования, часто обрезают потенциалы Ван-дер-ваальсовых и
электростатических взаимодействий на некотором конечном расстоянии,
однако при этом снижается точность моделирования и возможно
возникновение аномального и нефизического поведения системы [17, 19, 23,
28].
Силовое поле – это комбинация функции потенциальной энергии и
набора параметров этой функции. Точность вычислений определяется
параметрами функции потенциальной энергии.
Наиболее распространенные силовые поля: AMBER, MM+, OPLS,
CHARMM, GROMOS. Силовые поля обычно разрабатываются для
определенных типов молекул, поэтому использование их в других ситуациях
будет давать неточные результаты или, в отсутствии параметров для данного
типа молекул, будет приводить к ошибке в вычислениях.
19
CSbbCSCSbbswitchbbkU
bonds
bbonds
))(
3
4
,
3
1
,(1)(
00
2
0
1),,( dcxswitch
cx
0),,( dcxswitch
dx
3
2
)(
)32()(
),,(
cd
cxdxd
dcxswitch
dxc
CS
2CS
0
b
b
b
k
Каждое силовое поле имеет собственную форму функции
потенциальной энергии и набор параметров этой функции. Силовые поля
AMBER и CHARMM разработаны для исследования макромолекул
(нуклеиновых кислот, белков). Силовое поле OPLS разработано для
моделирования небольших молекул в жидкости и потом расширено для
вычисления макромолекул. Функция потенциальной энергии этих силовых
полей описывается выражениями (1.32-1.38), при этом у каждого поля свой
набор параметров [11, 17, 20, 26].
ММ+ - это расширение силового поля MM2, разработанного
Аллинжером, прежде всего для небольших органических молекул,
впоследствии расширенного для различных макромолекул.
В MM+ функция потенциальной энергии такая же, как (1.32), но термы
потенциалов валентных связей и валентных углов в ней отличаются. Термы
потенциалов валентных связей и валентных углов могут иметь порядок выше
второго.
Потенциал валентных связей силового поля MM+ вычисляется по
формуле:
, (1.39)
где
при
при
,
,
при
, (1.40)
- коэффициент, по умолчанию
положении равновесия,
- длина связи в данный момент времени,
,
- длина связи в
-
силовая константа, связанная с данной связью.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]