Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Молекулярная физика и тепловые явления (Для студентов-иностранцев). Учебное пособие
.pdf
Примеры решения задач
Дано:
3
м10Па
10C
25C
=°
=°
Решение:
.
2
U RT
M
?
D-
11
U RT
M
22
U RT
M
2 1 21
UUU TT
M
1
mR pV
MT
mR
M
Дж или 4 МДж
МДж.
D=
Задача № 1. Аэростат объёмом V = 500м3 наполнен гелием
под давлением p = 105 Па. В результате солнечного нагрева температура газа в аэростате поднялась от t1 = 10 °C до t2= 25 °C.
Вычислите увеличение внутренней энергии газа.
500
V
=
5
p
=
t
1
t
2
U
32m
=
Гелий является одноатомным газом, поэтому
внутреннюю энергию его молекул определим
из соотношения
3
m
=
При температуре T1эта энергия равна
, а при температуре T2равна
32m
=
.
Изменение энергии равно:
D=-=-
32mR
( )
.
Масса гелия неизвестна, но её можно выразить с помощью
уравнения Менделеева – Клапейрона через начальную температуру, давление и объём газа:
= .
Подставляя значение
в уравнение для изменения энергии,
получаем
æö
3 3 298
T
2
U pV
D = - = × × - »×
2 2 283
1 10 500 1 4 10
ç÷
T
1
èø
æö
56
ç÷
èø
Ответ: 4
U
Задача № 2. Считая давление воздуха атмосферным
(p = 1,01·105 Па), вычислите внутреннюю энергию молекул воз-
духа, состоящего в основном из молекул N2и O2, в помещении
объёмом V = 5×8×4 м3.
81
Дано:
3
584
м
Па
Решение:
22
U R T pV
M
?
-
Дж.
2
Дж.
Vp=´´
1,01 10
=×
5
Внутреннюю энергию молекул определим из
соотношения
U
5
U =×××××=×
1,01 10 5 8 4 4,04 10
57
imi
= D=
.
Ответ:
4,04 10
U =×
7
Контрольные вопросы и задания
1. Что включает в себя понятие внутренняя энергия газа?
2. От каких параметров зависит внутренняя энергия идеального и
реального газа? Объясните отличия.
3. Сформулируйте определение числа степеней свободы.
4. Напишите формулу для расчёта внутренней энергии идеального
многоатомного газа.
5. Назовите способы изменения внутренней энергии системы.
Задачи для самостоятельного решения
1. Найдите увеличение внутренней энергии водорода массой 2 кг
при повышении его температуры на 10 К:
1) изохорно; 2) изобарно.
2. Какова внутренняя энергия идеального газа, находящегося в
закрытом сосуде вместимостью 1,5 л при комнатной температуре, если концентрация молекул газа равна 2·1019 см–3?
3. Воздух нагревается изохорически от 0 до 100 °С. Изменилась
ли внутренняя энергия каждого литра газа и насколько?
Удельная теплоемкость воздуха при постоянном объеме
0,7·103 Дж/кг·град. Теплообмен с окружающей средой мал.
4. Среднее давление газа в цилиндре 120 Н/см2. Площадь поверх-
ности поршня 300 см2, длина хода 50 см. Определите, насколько уменьшится внутренняя энергия газа за один ход
поршня. Теплообмен с окружающей средой мал.
5. Как изменится внутренняя энергия идеального одноатомного
газа, если его давление увеличится в 3 раза, а объём уменьшится в 2 раза?
82
4.2. Работа термодинамических систем для различных
,
ApShpV
D=××=×D
Рис.4.1.
Работа, совершаемая газом:
процессов: изобарических, изохорических и изотермических
При расширении тело перемещает окружающие его тела,
т. е. производит работу. Рассмотрим, например, газ, находящийся
под поршнем в цилиндрическом сосуде. Если газ, расширяясь,
передвигает поршень на малое расстояние h, то он производит
над ним работу ΔA, равную произведению F·h (силу умножить на
перемещение), где F – сила, действующая на поршень со стороны
газа. Но по определению давления p = F/S, где S – площадь
поверхности поршня.
а – расширение газа (ΔV> 0; ΔA> 0); б – сжатие газа (ΔV> 0; ΔA> 0)
Поэтому
где ΔV – объём газа, м3.
Работа ΔA положительна при расширении тела (ΔV>0),
когда тело производит работу над окружающей средой (рис. 4.1, а).
Напротив, при сжатии тела (ΔV<0), работа производится над телом
со стороны окружающих тел; этому случаю по определению соответствует отрицательная работа ΔA (рис. 4.1, б).
Полная работа A, производимая телом при расширении от
некоторого объёма V1 до объёма V2, выражается особенно просто
для процесса, происходящего при постоянном давлении (изоба-
рический процесс) (рис.4.2).
83
(
)
.
ApVV
(
)
.
Q UpVV
.
RT
Рис.4.2.Работа, совершаемая газом
при изобарном
расширени
и
(p= const; m = const)
В этом случае
=-
21
Уравнение для изобарического расширения имеет вид:
=D+-
21
При изохорическом процессе (V = const) расширения газа не
происходит, поэтому нет механического перемещения (ΔV= 0), и
работа газом не выполняется (A = 0). Вся теплота, передаваемая
телу, расходуется только на изменение его внутренней энергии:
=DQU.
При изотермическом процессе T = const, значит ΔT= 0,
поэтому и ΔU= 0. Внутренняя энергия газа не изменяется. Вся
подводимая к газу теплота полностью расходуется на совершение
работы расширения (рис. 4.3):
=QA.
Определим ещё работу, совершаемую при изотермическом
расширении идеального газа. Для одного моля газа давление
pV=
84
Поэтому
ln.
ApV V RTV
V
2
1
ln.
V
V
2
1
ln.
V
MV
Рис.
4.3.
Работа, совершаемая газом
при изотермическом
D=D= D=
RT
()()
А так как температура T остаётся постоянной, отсюда следует, что полная работа при расширении будет равна
ARTV
=
()
Для произвольного количества газа выражение примет вид:
m
A RTV
=
()
расширении (T= const; m = const)
Работа, совершаемая газом в процессе его расширения
(или сжатия) при любом термодинамическом процессе, численно
равна площади под кривой, изображающей изменение состояния
газа на диаграмме p– V.
Задача № 1. В двух цилиндрах под подвижным поршнем
находятся водород и кислород. Сравнить работы, которые совер-
Примеры решения задач
85
шают эти газы при изобарном нагревании, если их массы, а также
Дано:
г/моль
г/моль
D =D
Решение:
A RT
M
D=D
A RT
D=D
A RT
D=D
/?
D D-
16.
Ответ:
работа, совершаемая
Дано:
моль
Дж
D=
Решение:
A RT
M
=D
UQA
D=-
??
AU
-D-
А
= 800 · 8,31· 500 =
3324000 Дж
≈
3,3 МДж,
ΔU=
(9,4−3,3)= 6,1
МДж.
начальные и конечные температуры равны.
TT
HO
22
const
p
=
M
M
mm
2
=
H
2
32
=
O
2
=
HO
22
AA
HO
22
m
для водорода
для кислорода
AM
D
Поэтому
HO
AM
D
OH
, откуда
m
H
2
M
H
2
m
O
2
M
O
2
22
= ==
22
32
2
, а
.
водородом в 16 раз больше.
Задача № 2. Для изобарного нагревания газа в количестве
800 моль на 500 К ему сообщили количество теплоты 9,4·106 Дж.
Определите работу газа и приращение его внутренней энергии.
T
const
p
=
800
n
=
9,4 10
Q
=×
500 K
6
Работа газа при изобарном нагревании:
m
.
Изменение внутренней энергии газа определим из первого начала термодинамики:
.
86
Вычисления:
Ответ: А≈ 3,3 МДж, ΔU = 6,1 МДж.
Контрольные вопросы и задания
1. Как можно преобразовать хаотическое движение молекул газа
в направленное движение макроскопического тела?
2. От каких величин зависит работа, совершаемая силой давления
газа?
3. Какую по знаку работу совершает газ при расширении и при
сжатии?
4. Чему равна работа газа при его изобарическом расширении?
5. Как определить работу газа при изотермическом процессе?
6. Как определить работу по диаграмме p – V?
7. В каком случае работа газа больше: при изотермическом или
изобарном расширении? Ответ обоснуйте графически.
8. Чему равна работа газа в изохорном процессе?
Задачи для самостоятельного решения
1. В цилиндре под поршнем находится некоторая масса воздуха.
На его нагревание при постоянном давлении затрачено
5 кДж. Найдите работу, произведенную при этом газом. Теплоемкость воздуха при постоянном давлении 103 Дж/(кг·К), молярная масса 29·10–3 кг/моль.
2. В цилиндрическом сосуде с площадью основания 250 см2 находится азот массой 10 г, сжатый поршнем, на котором лежит
гиря массой 12,5 кг. Какую работу совершит газ при нагревании
его от 25 до 625 ºС? На сколько увеличится при этом объем газа?
Атмосферное давление нормальное.
3. Какое количество теплоты необходимо сообщить азоту при
его изобарическом нагревании, чтобы газ совершил работу
А = 2,0 Дж?
4. Один моль некоторого идеального газа изобарически нагрели
на ΔT = 72 К, сообщив ему количество теплоты Q = 1,60 кДж.
Найдите совершенную газом работу, приращение его внутренней
энергии.
5. Некоторую массу газа при постоянной температуре сжимают
так, что его объём уменьшается в 4 раза. После этого при постоянном объёме охлаждают с 77 до 7 °С. Определите, во сколько
раз изменилось давление газа.
87
4.3.Первый закон термодинамики
вн
UQA
0,
D=-=
21
.
UU
.
AA
=-
До сих пор мы рассматривали два способа изменения внутренней энергии системы: теплообмен и совершение работы над
системой независимо друг от друга. В общем случае внутренняя
энергия может изменяться одновременно как за счёт теплообмена
с окружающими телами, так и за счёт совершения работы внешними силами.
Первый закон термодинамики (закон сохранения энергии
для тепловых процессов) определяет количественное соотношение между изменением внутренней энергии системы ΔU, количе-
ством теплоты Q, подведённым к ней, и суммарной работой
внешних сил Aвн, действующих на систему.
Первый закон термодинамики: изменение внутренней энер-
гии системы при её переходе из одного состояния в другое равно
сумме количества теплоты, подведённого к системе извне, и работы внешних сил, действующих на неё:
D=+
Количество теплоты, поглощаемое телом, считают положительным, а выделяемое – отрицательным.
Для изолированной системы, которая не обменивается теплотой с окружающими телами (Q = 0)и над которой не соверша-
ется работа внешних сил (Aвн = 0),
или
сохраняется. В термодинамике наибольший интерес представляет
преобразование внутренней энергии в работу, совершаемую газом.
Эта работа отличается от работы внешних сил только знаком:
88
UUU
21
=
Внутренняя энергия замкнутой, изолированной системы
вн
Действительно, пусть при сжатии газа (рис. 4.1, б) внешней
cos0.
A Fh Fh
вн
.
FF
cos180 .
A Fh Fh
.
Q UA
=D+
,
222
U U U RT RT R T
MMM
D=-= - =D
21
TTT
D=-
.
2
Q RT
M
=D
силой Fвн поршень смещается в направлении силы на величину h.
Тогда
= °=
вн вн вн
По третьему закону Ньютона сила давления газа на
поршень равна
=-
Следовательно, работа, совершаемая силой давления газа,
= °=-
вн вн
С учётом равенства первый закон термодинамики можно
сформулировать так: количество теплоты, подведённое к систе-
ме, идёт на изменение её внутренней энергии и на совершение
системой работы над внешними телами:
Рассмотрим применение первого закона термодинамики к
различным изопроцессам. При изохорном процессе объём газа оста-
ётся постоянным (ΔV = 0), поэтому газ не совершает работу (А = 0).
Изменение внутренней энергии газа происходит благодаря
теплообмену с окружающими телами:
Q = ΔU. (*)
Если начальная температура идеального газа равна T1, а конечная
T2, то
im im im
2121
где
– изменение температуры газа.
Подставляя это выражение в равенство ( *), получим
im
Нагревание газа (ΔT> 0)происходит при подведении к нему коли-
чества теплоты(ΔQ> 0). При изохорном нагревании (рис. 4.4)
давление газа возрастает из-за увеличения средней кинетической
энергии молекул. Если от газа отводится количество теплоты
(ΔQ < 0), то газ охлаждается (ΔT< 0) и его давление
падает.
89
При изотермическом процессе температура постоянна
Рис.4.
4. Изохорный процесс (
V=const
;m=
const
)
(ΔT= 0), поэтому и внутренняя энергия газа не изменяется
(ΔU= 0). Количество теплоты, переданное газу от нагревателя,
полностью расходуется на совершение работы:
Q = A.
Температура газа может оставаться постоянной при подведении к
нему определённого количества теплоты, если газ будет совершать работу при его расширении (рис. 4.5).
При изотермическом расширении газа, находящегося в цилиндре под поршнем, молекулы газа, сталкиваясь с поршнем,
уменьшают свою скорость и, соответственно, среднюю энергию,
поэтому для поддержания температуры газа постоянной к нему
подводится дополнительное количество теплоты.
При изотермическом сжатии газа (A< 0)для сохранения
температуры постоянной от газа отводится определённое количество теплоты (ΔQ< 0).
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]