Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Молекулярная физика и тепловые явления (Для студентов-иностранцев). Учебное пособие
.pdf
На самом деле средняя за секунду сила, действующая на
FmnS
u
22
.
3
uu
.
3
F mnS
u
2
.
3
p mn
S
u
2
2
.3p nE
поршень, пропорциональна среднему квадрату скорости молекул:
0.x
2
=
Так как направления трёх осей OX, OY, OZ вследствие беспорядочного движения молекул равноправны, то
1
=
x
Тогда
1
=
2
0
x
Таким образом, давление газа на стенку сосуда равно
1
F
== (2.1)
0
Полученное выражение носит название основного уравнения молекулярно-кинетической теории газов или уравнение Клаузиуса.
Формула (2.1) связывает макроскопическую величину –
давление, которое может быть измерено манометром, – с микроскопическими величинами, характеризующими молекулы: их
массой, скоростью хаотичного движения.
Связь давления со средней кинетической энергией молекул.
Если обозначить черезEсреднюю кинетическую энергию
поступательного движения молекулы
m
0
Eu= ,
то уравнение (2.1) можно записать в виде
концентрации молекул и средней кинетической энергии поступательного движения молекул.
кулы каждого газа ударяют поршень независимо друг от друга.
В соответствии с принципом суперпозиции сил давления газов,
составляющих смесь (парциальные давления), суммируются.
2
=
(2.2)
Давление идеального газа пропорционально произведению
Если газ представляет собой смесь идеальных газов, моле-
21
Закон Дальтона: давление смеси идеальных газов равно
.
n
pppp
Дано:
3
Па
Па
кгм
-
Решение:
.
mn
=×
?
u
D-
Следовательно, основное уравнение молекулярно
-
кинетической
2
.
3
м/с.
3
Па
кгм
-
×
2
.
3
?
u
-
сумме парциальных давлений входящих в неё газов.
= + +×××+
12
Примеры решения задач
Задача № 1. Плотность газа в баллоне электрической лам-
пы 0,9 кг/м3. При горении лампы давление в ней увеличилось с
8·104 до 1,1·105 Па. Насколько при этом увеличилась средняя
скорость молекул газа?
p
=×
1
p
=×
2
= 0,9
r
8 10
1,1 10
4
×
Произведение массы moодной молекулы на концентрацию молекул (число молекул в единице
5
объёма) равно массе молекул, заключённых в
единице объёма, т. е. плотности газа
r
0
теории можно записать в виде
1
pru=
Поэтому
33
uuu
D=-= - = × ×-×»
21 21
pp
( )
r
( )
0,9
54
1,1 10 8 10 90
Ответ: 90 м/с.
Задача № 2. Считая воздух газом, состоящим из одинако-
вых молекул, оцените скорость теплового движения молекул газа
при нормальных условиях.
Дано:
1,01 10
p
=×
=1,29
r
5
Применим уравнение, устанавливающее связь
между давлением газа и его плотностью и средним значением квадрата скорости его молекул
Решение:
1
pru=
22
Из этого уравнения для средней квадратичной скорости молекул
газа получим выражение:
м/с.
27
3
Па
2,7 10
м
.3p nE
?
-
253
м.
-
Дж.
Дано:
213
Па
м
-
Решение:
?
-
3 3 1,01 10
uu
2
====
p
××
r
5
280
1,29
Ответ: 280 м/с.
Задача № 3. В сосуде объёмом V = 0,01 м3 содержится
N = 2,7·1027 молекул газа. Давление на стенки сосуда p = 105 Па.
Какова средняя кинетическая энергия поступательного движения
молекул?
Дано:
10
p
=
N
=×
0, 01
V
=
E
к
5
Согласно основному уравнению молекулярнокинетической теории газов:
Концентрация молекул газа определяется по формуле
N
n
== =×
V
2, 7 10
×
0, 01
Решение:
2
=
27
2, 7 10
Отсюда вычисляем среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул газа:
3 3 10
p
E
== »×
к
2 2 2, 7 10
n
5
×
××
25
5,6 10
21
-
Ответ: 5,6∙10
–21
Дж.
Задача № 4. Считая водород в солнечной фотосфере
(внешней видимой оболочке Солнца) идеальным газом, определите среднюю кинетическую энергию атомов водорода. Концентрация атомов водорода в фотосфере равна примерно 1,6·1021 м–3,
давление равно примерно 1,25·102 Па.
2
1,25 10
p
=×
1,6 10
n
»×
E
к
Связь между давлением идеального газа, концентрацией и средней кинетической энергией теплового движения частиц выражается основным
уравнением молекулярно-кинетической теории:
23
2
.3p nE
Дж.
=
Отсюда для средней кинетической энергии атомов водорода
получим:
21
2
1 ,2 10
19
-
Ответ: 1,2·10
–19
Дж.
3 3 1,25 10
p
n
××
××
E
= = =×
к
2 2 1,6 10
Контрольные вопросы и задания
1. Напишите формулу основного уравнения молекулярнокинетической теории газов.
2. Какие величины связывает основное уравнение МКТ? В чём
заключается его физический смысл?
3. Каким образом связаны друг с другом давление идеального
газа и средняя кинетическая энергия поступательного движения
молекул? Напишите формулу.
4. Что называется парциальным давлением газа?
5. Сформулируйте закон Дальтона.
Задания для самостоятельного решения
1. Масса молекулы водорода равна 3,3·10
–27
кг. Считая водород
идеальным газом, вычислите его давление на стенки сосуда при
концентрации 1025 м–3 и средней квадратичной скорости теплового движения молекул 700 м/с.
2. Концентрация молекул межзвёздного газа в среднем равна
1 м–3, средняя кинетическая энергия молекул газа 1,5·10
–21
Дж. Оп-
ределите давление межзвёздного газа.
3. Определите среднюю кинетическую энергию поступательного
движения молекул идеального газа с концентрацией 3·1025 м–3, при
давлении 105 Па.
4. Концентрации молекул идеального газа и их средние квадратичные скорости в двух сосудах одинаковы. Масса молекулы газа во
втором сосуде в два раза больше, чем в первом. Каково отношение
давлений p1/p2?
5. Чему равна концентрация молекул воздуха в колбе радиолампы, если давление внутри колбы равно 10–5 Па, а средняя кинетическая энергия молекул воздуха равна 5·10
–21
Дж?
24
2.4. Температура. Энергия теплового движения молекул
.3p nE
Для описания процессов в газах и других макроскопических телах нет необходимости всё время обращаться к молекулярно-кинетической теории. Поведение макроскопических тел, в
частности газов, можно охарактеризовать немногим числом
физических величин, относящимся ко всем молекулам в целом.
К таким величинам относятся объём V, давление p, температура t.
Величины, характеризующие состояние макроскопических
тел без учёта их молекулярного строения (V, p,t), называют мак-
роскопическими параметрами. Однако для описания состояния
смеси газов нужно знать ещё и концентрации (n) отдельных компонентов.
Центральное место во всём учении о тепловых явлениях
занимает понятие температура. Этот параметр характеризует
степень нагретости тела (холодное, тёплое, горячее). Система
макроскопических тел может находиться в различных состояниях, в каждом из которых температура имеет своё, строго определённое значение. Если значение температуры макроскопической
системы бесконечно долго остаётся постоянным, то система находится в состоянии теплового равновесия.
Тепловое равновесие – это такое состояние системы, при
котором в ней не меняются температура, объём и давление,
не происходит теплообмен, отсутствуют взаимные превращения
газов, жидкостей, твёрдых тел.
Средняя кинетическая энергия молекул газа при тепловом
равновесии. Согласно основному уравнению молекулярно-
кинетической теории (2.2) давление газа p прямо пропорционально средней кинетической энергии поступательного движения мо-
лекул:
2
=
При тепловом равновесии, если объём и давле-
ние данной массы газа фиксированы, средняя кинетическая энергия молекул газа должна иметь строго определённое значение,
как и температура. Практически проверить это невозможно, но с
помощью основного уравнения МКТ её можно выразить через
макроскопические параметры. Так как концентрация молекул
газа
25
,
N
nV=
22
или.
33
pE pE
VN
.
A
NN
M
Рис.
2.2 Приведение газов к состоянию теплового равновесия
то из уравнения (2. 2) получаем
NV
==
Давление p и объём V измеряются непосредственно.
Число молекул можно определить по формуле
m
=
Если кинетическая энергияEдействительно одинакова для
всех газов в состоянии теплового равновесия, то и давление p
должна быть тоже одинаковой для всех газов. Проверить это
можно только экспериментально.
Возьмём три сосуда определённого объёма, снабжённых
манометрами, заполненные водородом, гелием и кислородом
(рис. 2.2). Массы газов известны. Приведём газы в состояние теплового равновесия, охладив их до температуры 0 ºС. Давления
газов p, их объёмы V и число молекул N различны. Найдём отношение pV/N для водорода. Если, к примеру, водород в количестве
26
1 моль занимает объём
3
м,
Па.
Дж.
0
=.
==Q
Дж.
N-×
,
kT
Q=
=.
kT
N
×
давление оказывается равным
0,1
V = то при температуре 0 ºС,
H
2
2,265 10
p =×
H
2
4
Отсюда
pV
×
HH
22
N
A
2,265 10 0,1
= =×
6,02 10
4
××
23
×
3,76 10
21
-
Такое же значение получается и для всех других газов при
температуре 0 ºС. Обозначим это отношение через Θ0.
Тогда
pV pV
××
HH OO
22 22
NNN
pV
×
He He
AAA
(2.3)
Если сосуды с газами нагреть до 100 ºС при нормальном
атмосферном давлении, то отношение по-прежнему будет одним
и тем же для всех газов, но больше, чем предыдущее:
pV
= =5,14 10
Q×
100
21
Введём вместо температуры Θ, выражаемой в энергетических единицах, температуру, выражаемую в градусах:
(2.4)
где k – коэффициент пропорциональности.
Определённая равенством (2.4) температура называется
абсолютной. Учитывая определение (2.3), получим
pV
(2.5)
Температура, которая вводится по этой формуле, не может
быть отрицательной, т. к. все величины, стоящие в левой части
заведомо положительны. Следовательно, наименьшим возможным значением температуры является значение T = 0, если давле-
ние p или объём V равны нулю.
Предельную температуру, при которой давление идеального газа обращается в нуль при фиксированном объёме или при
которой объём идеального газа стремится к нулю при неизменном давлении, называют абсолютным нулём температуры.
27
Обозначим абсолютную температуру при 0 ºС через T1, а
(
)
,
kTT
(
)
Дж.
Дж
10 1 ,38 10 .
100
К
-
Дж,
К.
Рис
. 2.3. Соотношение между абсолютной шкалой и шкалой Цельсия
при 100 ºС через T2. Тогда согласно формуле (2.4)
Q-Q=-
100 0 2 1
21
100 5,14 3,76 10
Q-Q=×=-×
100 0
k
-
Отсюда
5,14 3,76
k
= × =×
Коэффициент k = 1,38·10
-23
Дж/К называется постоянной Больцмана.
21 23
--
Постоянная Больцмана связывает температуру Θ в энергетических единицах с температурой T в Кельвинах.
Зная постоянную Больцмана, можно найти значение абсолютного нуля по шкале Цельсия. Для этого найдем сначала значение абсолютной температуры, соответствующее 0 ºС.
Так как при 0 ºС
3,76 10
kT-=× то
1
3,76 10
T
=»
1
1,38 10
21
21
-
×
×
273
23
-
Один Кельвин и один градус шкалы Цельсия совпадают (рис. 2.3).
Поэтому любое значение абсолютной температуры T будет на
273 градуса выше соответствующей температуры t по Цельсию:
T = t + 273.
Абсолютному нулю соответствует температура t = – 273 ºС.
Абсолютный нуль температуры недостижим!
28
Из основного уравнения молекулярно-кинетической теории
и .
3
E kT
NN
.2E kT
.
p nkT
=
3 253
м 2,7 10 м
--
2
2
0
.kTm
в форме (2. 2) и определения температуры (2. 5) вытекает важнейшее следствие: абсолютная температура есть мера средней
кинетической энергии молекул. Докажем это.
Левые части уравнений одинаковы:
2
pV pV
==
Значит должны быть равны и их правые части. Отсюда вытекает связь между средней кинетической энергией поступательного движения молекулы и температурой:
3
=
(2.6)
Средняя кинетическая энергия хаотичного поступательного
движения молекул газа пропорциональна абсолютной температуре.
Учитывая, что n= N/V, из формулы (2.2) получим выражение
Это соотношение позволяет по двум известным макроскопическим параметрам (давлению и температуре газа) оценить
микроскопический параметр (концентрацию молекул).
Найдем концентрацию молекул любого идеального газа при
нормальных условиях: атмосферное давление p = 1,01·105 Па,
температура 0 °С, или T = 273 K:
p
n
== »×
kT
1,01 10
1,38 10 273
5
×
23
-
××
Значение концентрации молекул идеального газа при нормальных условиях называется постоянной Лошмидта.
Уравнение (2.6) дает возможность найти средний квадрат
скорости движения молекулы. Подставив в это уравнение
получим выражение для среднего квадрата скорости:
m
0
Eu= ,
3
2
u
=
29
Квадратный корень из этой величины называется средне-
0
.kTm
Дано:
O2,
N
Решение:
12
.
ppp
?
-
,,
p RT p RT
rr
12
.
rrr
11 22
,.
nM nM
11 22
.
nM nM
12 12
или.
nnn nn
kT
=+ =+
квадратичной скоростью молекул:
3
u
=
Примеры решения задач
Задача № 1. Смесь кислорода и азота при температуре
T = 290 K и давлении p= 5,8 кПа имеет плотность ρ = 0,40 кг/м3.
Определите концентрацию молекул кислорода в смеси.
2
T= 290K
p = 5,8 кПа
ρ = 0,40 кг/м
n
O
2
Давление смеси газов согласно закону Дальтона
равно сумме парциальных давлений:
3
=+
Эти давления найдем из уравнения Менделеева –
Клапейрона:
12
== (1)
12
MM
12
где ρ1 и ρ2 – парциальные плотности кислорода и азота, т.е. плотности, которые имели бы газы, если бы каждый из них
отдельности занимал весь этот объем.
Очевидно, что
=+ (2)
Так как из основного уравнения молекулярно – кинетиче-
ской теории следует, что p = nkT, уравнения (1) можно записать в
следующем виде:
Подставим их в равенство (2):
Концентрация молекул смеси газов равна сумме концен-
трация компонентов:
30
rr
==
12
NN
AA
rrr
=+=+ (3)
12
NN
AA
p
(4)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]