Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Молекулярная физика и тепловые явления (Для студентов-иностранцев). Учебное пособие
.pdf
Примеры решения задач
Дано:
Решение:
?
-
Отсюда искомое давление в сосудах:
Па.
Рис.
2.9.
Изо
хоры при изохорном нагревании газа
Задача № 1. Баллон вместимостью V1= 0,02 м3, содержащий воздух под давлением p1= 4·105 Па, соединяют с баллоном
вместительностью V2= 0,06 м3, из которого воздух выкачан. Определите давление p , которое устанавливается в сосудах. Темпе-
ратура постоянна.
p1= 4·105 Па
V1= 0,02 м
V2= 0,06 м
Воздух из первого баллона займёт весь предло-
3
женный ему объём V1+ V2.
3
По закону Бойля – Мариотта:
p
pV
11
p
===
VV
++
12
Задача № 2. В автомобильной шине находится воздух под
давлением 5,9·105 Па при температуре 293 К. Во время движения
p1V1 = p (V1+V2).
5
4 10 0,02
××
0,02 0,06
10
5
Ответ: 105 Па.
41
автомобиля температура воздуха повышается до 308 К. На сколь-
Дано:
Решение:
12
12
pp
TT
?
p
D-
2
p
12
.
pT
×
Па.
-
ко увеличится давление воздуха внутри шины? Объём шины считать постоянным.
p1= 5,9·105 Па
T1= 293 К
Т2= 308 К
где
– давление, при котором находится воздух в шине при
Объём шины остаётся постоянным, следовательно, применим закон Шарля:
= ,
температуре Т2.
Из закона Шарля:
p
=
2
T
1
Увеличение давления определим как разность давлений при
температурах Т2и Т1:
TT
pppp
D=-= =× =×
211
21
5,9 10 0,3 10
T
1
308 293
-
55
293
Ответ: давление в шине увеличится на 0,3·105 Па.
Графические задачи в изучении газовых законов молекулярной физики заслуживают особого внимания. Графики иллюстрируют поведение идеального газа постоянной массы в изопроцессах.
Задача № 3. Какая из двух линий графика соответствует
большему давлению данной массы идеального газа?
42
Решение:
Для начала, установим, что это за линии. Эти линии вы-
ражают прямо пропорциональную зависимость между объемом
газа и его температурой, а это возможно для идеального газа
только при изобарическом процессе, следовательно, изображенные линии графика – изобары.
Проведем изотерму до пересечения с обеими изобарами, а
точки их пересечения спроецируем на ось ординат (объемов). Из
построения видно, что V2>V1. Поскольку при изотермическом
процессе газ подчиняется закону Бойля–Мариотта: р1V1= р2V2, то
р1>р2. Напомним, что все точки, лежащие на одной изобаре, соответствуют состояниям с одинаковым давлением.
Задача № 4. При нагревании идеального газа постоянной
массы получена зависимость р =f(T) при переходе из состояния 1
в состояние 2. Как при этом переходе менялась плотность газа?
Решение:
Внимание! Линия графика не описывается ни одним из изопроцессов.
Проведем через начальную и конечную точки линии графика
две изохоры. Проведя еще изобару (или, как вариант, изотерму) и
спроецировав точки ее пересечения с изохорами на ось Т, убедимся,
что Т2>Т1. При изобарическом процессе по закону Гей-Люссака
V ~ T, следовательно, V2>V1. А так как плотность и объем связаны
43
обратной зависимостью (при данной массе), то ρ1>ρ2, откуда следует, что газ расширялся, а значит, его плотность уменьшилась.
В задачах другого типа в условии задан некий цикл, совокупность процессов, в результате которых данная масса газа возвращается в исходное состояние. Этот цикл может быть задан на
разнообразных диаграммах: (p, V); (p, T); (V, T) и др. Как правило,
в таких задачах требуется представить заданный цикл на других
диаграммах.
Задача № 5. На диаграмме (р, T) изображен цикл идеально-
го газа постоянной массы. Изобразите его на диаграмме (р, V).
Решение:
Проведем поэтапный анализ представленного цикла.
1–2: изохорический процесс; закон Шарля; р ~ T; р , T .
2–3: изотермический процесс; закон Бойля–Мариотта; р~1/V;
р ; V .
3–1: изобарический процесс; закон Гей-Люссака; V ~ T; T ; V .
Теперь результаты поэтапного анализа перенесем на диаграмму (р, V).
44
Задача № 6. Для постоянной массы идеального газа пред-
ставлен цикл на диаграмме (р, V). Изобразить этот цикл на диаграмме (V, T).
Решение:
Проведем поэтапный анализ.
1–2: изобарический процесс; закон Гей-Люссака; V~ T; V ; T .
2–3: изохорический процесс; закон Шарля; р~ T; р ; T .
3–4: изобарический процесс; закон Гей-Люссака; V ~ T; V ; T .
4–1: изохорический процесс; закон Шарля; р ~ T; р ; T .
45
Задача № 7. Получены две экспериментальные зависимости.
pV RT
M
pVM
,
pVM
.
pVM
В каком случае масса газа больше? Давление в первом и во втором
случае одинаково.
Решение:
m
=
, откуда
mRT=
;
mRT=
1
1
mRT=
2
2
Так как V1>V2, то m1>m2.
Ответ: m1>m2.
Контрольные вопросы и задания
1. Какие процессы изменения состояния идеального газа называют изопроцессами?
2. Какой процесс называют изотермическим?
3. Сформулируйте закон Бойля – Мариотта.
4. Постройте изотермы в осях (p,V), (p,T), (V,T).
46
5. Какой процесс называют изобарным?
6. Сформулируйте закон Гей-Люссака.
7. Постройте изобары в осях (p,V) и (V,T).
8. Какой процесс называют изохорным?
9. Сформулируйте закон Шарля.
10. Постройте изохоры в осях (p,V) и (p,T).
Задачи для самостоятельного решения
1. Идеальный газ занимает объем 0,5 м3. Какой объем займет
этот газ, если при изотермическом расширении его давление уменьшилось в 3 раза?
2. Во сколько раз увеличится давление газа в цилиндре, если
поршень опустится на 1/3 высоты цилиндра? (Т = сonst)
3. Газ сжат изотермически от объема 8до объема 6 л. Давление при этом возросло на 4 кПа. Определить начальное
давление газа.
4. При нормальных условиях газ занимает объем 6 м3. Какой
объем займет тот же газ при изотермическом сжатии до
давления, в 30 раз больше атмосферного?
5. При какой температуре находится газ, если при его изобарном нагревании на 280 К его объем увеличился в 2 раза?
6. Газ массой 0,015 кг занимает объем 0,003 м3 при температуре 300 К. Определить плотность газа после того, как его
нагрели до температуры 800 К при постоянном давлении.
7. Газ находится в баллоне при температуре 288 К и давлении 6·105 Па. При какой температуре давление газа станет
равным 5·105Па?
8. Во сколько раз уменьшится давление газа при его изохорическом охлаждении от 600 до 300 К?
9. Когда объем, заполненный газом, уменьшили на 10 %, а
температуру увеличили на 16 К, давление газа увеличилось на 20 %. Найти конечную температуру газа.
10. Резиновый мяч содержит воздух при температуре 300 К.
Во сколько раз уменьшится его объем при опускании в
воду на глубину 8,8 м? Температура воды 282 К, плотность– 103 кг/м3.
47
11. Температура газа при нагревании увеличилось в 2 раза, а
давление уменьшилось в 2,5. Во сколько раз увеличился
объем газа?
12. Определить конечную температуру газа при сжатии, если
его давление увеличилось в 8 раз, а объем уменьшился в
4 раза. Начальная температура была равна 37 °С.
13. Температура газа при нагревании увеличилась от 7 до
63 °С, при этом объем увеличился на 5%. Определить ко-
нечное давление газа, если начальное было равно 105 кПа.
14. Во сколько раз уменьшится давление идеального газа, ес-
ли его температура уменьшится в 1,5 раза, а объем увеличится в 3 раза?
15. В баллоне содержится газ под давлением 2,8·106 Па, при
температуре 280 К. Удалив половину массы газа, баллон
поместили в помещение с другой температурой. Определить температуру в этом помещении, если давление газа в
баллоне стало 1,5·106 Па.
16. Начертите график изменения состояния идеального газа,
если его сначала сжимают изотермически, а затем охлаждают изохорически.
17. Идеальный газ сначала нагревался при постоянном давлении, потом его давление увеличивалось при постоянном
объёме, затем при постоянной температуре давление газа
уменьшилось до первоначального значения. Построить
графики изменения состояния газа в координатных осях
р-Т, V-Т, p-V.
18. Идеальный газ сначала нагревался при постоянном объё-
ме, потом его объём увеличивается при постоянном давлении, затем при постоянной температуре давление газа
уменьшилось до первоначального значения. Построить
графики изменения состояния газа в координатных осях
р-Т, V-Т, p-V.
19. Идеальный газ сначала охлаждается при постоянном дав-
лении, потом его давление увеличивалось при постоянном объёме, затем при постоянной температуре давление
газа уменьшилось до первоначального значения. Построить графики изменения состояния газа в координатных
осях р-Т, V-Т, p-V.
48
20. Идеальный газ сначала охлаждался при постоянном дав-
лении, потом его давление уменьшалось при постоянном
объёме, затем при постоянной температуре объём газа
увеличился до первоначального значения. Построить графики изменения состояния газа в координатных осях р-Т,
V-Т, p-V.
2.7. Реальные газы
Уравнение состояния идеального газа Менделеева–
Клапейрона и вытекающие из него законы Бойля – Мариотта,
Гей-Люссака и Шарля выведены для идеального газа, и им строго
подчиняется только воображаемый идеальный газ.
Законы Бойля – Мариотта, Гей-Люссака и Шарля были установлены этими учеными экспериментально. Это может на первый взгляд показаться странным: законы идеального газа, а установлены экспериментально! Все объясняется просто. Дело в том,
что плотность реальных газов, находящихся при не очень больших давлениях (примерно до 100 атм.), весьма мала, поэтому и
объем, занимаемый молекулами (по сравнению с объемом, занимаемым газом), очень невелик, и силы взаимодействия между
молекулами практически отсутствуют. При этих условиях свойства реального газа приближаются к свойствам идеального газа,
отступления от законов идеального газа ничтожно малы. Однако
при очень больших давлениях отступления становятся значительными.
При давлении 1000 атм. все газы дают сильные отступления от закона Бойля – Мариотта. Все они сжимаются меньше, чем
следует по закону Бойля – Мариотта.
Для реальных газов также заметны отступления от законов
Гей-Люссака и Шарля. Опыты показывают, что термические ко-
эффициенты давления и объемного расширения для одного и того же газа не совпадают. Кроме того, значения каждого
из этих коэффициентов для различных газов тоже неодинаковы.
Отступления реальных газов, находящихся при больших
давлениях, от законов идеального газа объясняются тем, что в
сильно сжатых газах размеры молекул сравнимы с расстояниями
49
между молекулами и свободное пространство, в котором движутся
молекулы, значительно меньше, чем объем, занимаемый газом.
Кроме того, в достаточно сжатом газе появляются силы притяжения между молекулами, а при очень высоких давлениях появляются силы отталкивания; все это приводит к заметным отступлениям.
Если же газ находится при условиях, не очень сильно отличающихся от нормальных, то отклонения от законов идеального
газа настолько незначительны, что ими можно пренебречь и применять для реальных газов рассмотренные законы. Поэтому и
расчеты, выполненные на основе уравнения состояния идеального газа, могут быть распространены и на реальные газы, если эти
газы находятся при условиях, не сильно отличающихся от нормальных.
Если попробовать распространить законы идеального газа
Гей-Люссака и Шарля на реальные газы при очень низких температурах, то приходим к абсурдному выводу: при Т= 0 К получим
соответственно V = 0 и p = 0. В действительности объем вещества
никогда не может стать равным нулю. Дело в том, что любой реальный газ превратится в жидкость и затвердеет раньше, чем будет достигнута эта температура.
В 1873 году голландский физик И. Ван-дер-Ваальс показал,
что совпадение результатов теории и эксперимента в области высоких давлений и низких температур оказывается значительно
лучшим, если учесть, что молекулы не только отталкиваются при
соударениях, но и притягиваются друг к другу сравнительно слабыми силами на расстояниях, сравнимых с размерами молекул.
При движении молекулы вдали от стенок сосуда, в котором
заключён газ, на неё действует сила притяжения соседних с ней
молекул, но равнодействующая всех этих сил в среднем равна
нулю, так как молекулу со всех сторон окружает в среднем одинаковое число соседей. При приближении некоторой молекулы к
стенке сосуда все остальные молекулы газа оказываются по одну
сторону от неё, и равнодействующая всех сил притяжения оказывается направленной от стенки сосуда внутрь газа. Это приводит
к тому, что уменьшается импульс, передаваемый молекулой
стенке сосуда. В результате давление газа на стенки сосуда
уменьшается по сравнению с тем, каким оно было бы в отсутствие сил притяжения между молекулами:
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]