Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование и расчет пневматических приводов. Учебное пособие
.pdf
1
22
p
pp
1
− +z
1 01 1
()
+z
22
22
pp
1
k
−
dp
Интеграл
∫
p
1H
1
существует при значениях р1 < рм. По-
−
1
м
этому, подставляя в уравнение (4.2) значение р1 = рм, найдем допустимый интервал интегрирования исходного дифференциального
уравнения по времени:
π
arcsin ( )
2
=
t
1
p
1
H
Fx x
p
м
kf RT
1 01 1
.
м
При t > t1 получим р1 = рм.
Таким образом, окончательно получим аналитическое выражение, описывающее процесс наполнения полости нагнетания
в подготовительном и заключительном периодах:
где
ω=
=
p
1
kf RT
1
sin arcsin , 0 ;
p t tt
p tt
м
ω+ ≤ <
м
,,
м
≥
1
.
p
1
Н
p
м
1
Fx x
4.2. Расчет заключительного периода работы пневмопривода
Найдем закон изменения давления в выхлопной полости пневмопривода.
Уравнение изменения давления в выхлопной полости пневмопривода при неподвижном поршне имеет вид
1
k
−
2
kf RT
dp p
dt p
−
= −
FS x x
2
+− z
( )
2 02 2
м
k
м
.
(4.3)
A
2
Рассмотрим в уравнении (4.3) сомножитель
d=
2
k
p
2
p
.
м
61
Обычно в промышленной сети рм = 0,5 МПа. Поэтому практиче-
+− z
t
∫∫
AA
22 2 2
t p pp p p p
2A
22
22
p pp
+−
2 2A
22
22
p pp
+−
ски во всех случаях с погрешностью до 4 % можно принять среднее
значение сомножителя dср [1]:
1
k
−
2
k
p
d= ≅
ср
ср
p
м
0,97.
Запишем уравнение (4.3) в следующем виде:
kf RT
dp
2
22
pp
−
2
A
−d
2
=
FS x x
2 02 2
ср м
+− z
( )
dt
.
Обозначим
a=
FS x x
( )
2 02 2
ср м
.
kf RT
d
2
Проинтегрируем полученные выражения:
p
2
dp
p
2H
2
22
pp
−
A
2
= −a
,
dt
0
где р2Н — начальное давление в выхлопной полости.
После интегрирования получим уравнение
ln ln .
−a = + − − + −
22 2 2
Полученное выражение запишем следующим образом:
−a =
ln .
t
Отсюда можем найти время истечения газа из полости в атмо-
сферу при изменении давления в полости от начального давления
р
до конечного р2:
2Н
1
= −
t
ln .
a
62
HH
+−
p pp
22
НН
+−
p pp
22
НН
A
2
A
(4.4)
(4.5)
Найдем закон изменения давления при опустошении полости.
2 2A
22
22
p pp
+−
tt
22
p pp
+−
AA
22
++
22
pp
11
Для этого преобразуем уравнение (4.4) следующим образом:
p pp
t
−a
e
+−
22
=
НН
A
.
Отсюда после несложных преобразований окончательно найдем
решение уравнения (4.3). Полученное решение описывает изменение
давления в выхлопной полости пневмопривода в подготовительном
и заключительном периодах:
p
A
= +
p be e
2
2
1
a −a
b
,
(4.6)
где
=
b
22
HН
A
.
A
p
Уравнение (4.6) можем записать в следующем виде:
ln( ) ln( ) ln( ) ln( )
bt b t t b t b
a − −a a + −a −
pp p
2
ee e e e e
= =
.
Выражение в скобках представляет собой гиперболический
косинус. Таким образом, окончательно получим:
р
dp
Интеграл
2
−
2
= рACh[at + ln(b)]. (4.7)
2
существует на интервале времени, пока р2 > рA.
A
Поэтому необходимо определить допустимый интервал интегрирования по времени t2. Из уравнения (4.7) при р2 = рA получим:
ln .t
=
2
a
b
При t ≥ t2 давление р2 = рA.
63
Таким образом, окончательно изменение давления в выхлопной
+− z
1 01 1
()
+z
+− z
полости описывается следующими зависимостями:
( ln( )), 0 ;
p Ch t b t t
где
kf RT
a=
2
FS x x
( )
2 02 2
p
2
d
ср м
=
a+ ≤ <
A
,,
p tt
≥
A
2
.
2
(4.8)
Из уравнения (4.8) можем определить время изменения давления
при опустошении полости пневмодвигателя от начального значения
р2Н до любого значения р2 ≥ рA:
1
ln .
=
t
a
bp p p
p
A
22
+−
22
( )
A
Таким образом, изменение давления р1 в полости нагнетания
и давления р2 в выхлопной полости пневмопривода в подготовительном и заключительном периодах работы соответственно описывается следующими аналитическими зависимостями:
где
ω=
p
1
kf RT
1
sin arcsin , 0 ;
p t tt
=
p tt
м
ω+ ≤ <
м
,,
≥
м
1
,
p
A
p
м
1
Fx x
и
( ln( )), 0 ;
p Ch t b t t
a+ ≤ <
A
,,
p tt
≥
A
2
.
2
где
kf RT
a=
2
FS x x
( )
2 02 2
p
2
d
ср м
=
64
4.3. Расчет установившейся скорости движения пневмопривода
dt
dt
dt
22
()
22
pp
У мУ
1
22
22
k
pp
pp
−
мУ
Выполним расчет возможной установившейся скорости движения исполнительного органа в типовом пневмоприводе. Для этого
запишем систему уравнений (3.32) для установившегося движения
поршня. При установившемся движении
2
dx
2
dp
1
0,
=
dp
2
0
=
и
0
=
система дифференциальных уравнений (3.32) будет иметь вид
pF p F p F F N
− − − −=
kf RT
1
Fx x
+z
( )
1 01 1
kf RT
− −+ =
FS x x
2
−− z
( )
2 02 2
( ) 0;
A11 2 2 1 2
м
22
pp
м
м
kp
dx
−− =
1
p kp
p S x x dt
м
1
x x dt
+
01
1
k
−
2
k
pp
0;
22
2
А
−−
0.
dx
02
Пусть υУ — значение установившейся скорости движения
поршня; р1У и р2У — постоянные установившиеся значения давлений в полостях. Тогда, учитывая, что dx / dt = υУ, получим
уравнения:
p
+ pA(F1 – F2) – p1УF1 + N = 0; (4.9)
2УF2
f RT
1
υ= −
Fp
f RT
2
υ=
У
z
F
м
z
1
11
У
2
м
k
p
2
У
;
(4.10)
1
−
2
A
У
.
(4.11)
2
Вычислим сомножители в уравнении (4.11). Давление в промышленной пневмосети, как правило, не превышает 0,5 МПа,
т. е. Рм < 0,5 МПа. Поэтому при любом значении установившегося
давления р2У получим:
p
2
У
0,2...1,0.
=
p
м
65
Тогда, учитывая, что показатель адиабаты k = 1,4, найдем со-
12k
−
22
pp
22
1.
pp
УУ
22
множитель:
Определим диапазон изменения сомножителя
k
p
2
У
p
м
= 0,8...1,0.
(4.12)
−
2
A
У
p
2
У
в уравнении (4.11). Преобразуем его:
22
pp
−
2
У
A
= −
2
p
A
Если даже считать, что установившееся давление в выхлопной
полости р2У изменяется в максимальном диапазоне, т. е. от атмосферного давления рА до давления магистрали рм, то диапазон
изменения сомножителя составит:
22
pp
−
2
У
A
1 0,92...0,98.
pp
=−=
УУ
22
2
p
A
(4.13)
Найдем диапазон изменения произведения двух сомножителей
(4.12) и (4.13):
1
k
−
22
2
k
pp
p
2
У
pp
мУ
−
2
A
У
=
0,83...0,98.
2
Принимаем среднее значение этого произведения равным 0,9.
Тогда уравнение (4.11) с погрешностью не более 8 % можем записать
следующим образом:
В большинстве случаев фактическая погрешность этого выражения намного меньше, так как здесь рассмотрены наихудшие
условия.
66
0,9 .
υ=
У
f RT
2
F
z
м
(4.14)
Подставив (4.14) в уравнение (4.10), найдем величину устано-
( ).
2
22
22
pp
УУ
вившегося давления в полости нагнетания:
p
p
=
У
1
1 0,81
+
м
2
Ff
12 1
Ff
21 2
z
z
.
(4.15)
Найдем установившееся давление в выхлопной полости, под-
ставляя полученное выражение (4.15) в уравнение (4.9):
+
p
м
2
Ff
12 1
Ff
21 2
z
z
(4.16)
1
p F pF F N
= − −−
У
2 1 A1 2
F
2
1 0,81
Окончательно уточненное значение установившейся скорости
υУ найдем из уравнения (4.11):
1
k
−
2
f RT
υ= −
2
Fp
У
м
z
k
p
2
У
p
м
2
,
A
где p2У определяется из уравнения (4.16).
Решение можно постепенно уточнять, повторяя вычисления
по описанной схеме, т. е. снова подставить уточненное значение
скорости (4.11) в уравнение (4.10) и найти уточненное значение
давления в полости нагнетания. Затем из уравнения (4.9) найти
уточненное, значение давления в выхлопной полости. И, наконец,
из уравнения (4.11) получить третье, уточненное, значение установившейся скорости.
67
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Донской А. С. Математическое моделирование процессов в пнев-
матических приводах : учеб. пособие / А. С. Донской. — СПб. : Изд-во
Политехн. ун-та, 2009. — 126 с.
2. Донской А. С. Обобщенные математические модели элементов пнев-
мосистем / А. С. Донской. — СПб. : СПГУТД, 2001. — 215 с.
3. Донской А. С. Моделирование переходных процессов в пневматиче
ских системах / А. С. Донской. — СПб. : СПГУТД, 1998. — 204 с.
4. Герц Е. В. Расчет пневмоприводов : справочное пособие / Е. В. Герц,
Г. В. Крейнин. — М. : Машиностроение, 1975. — 272 с. — (Библиотека
конструктора).
5. Погорелов В. И. Газодинамические расчеты пневматических приво-
дов/ В. И. Погорелов. — Л. : Машиностроение, 1971. — 182 с.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
По заданным условиям разработать математическую модель
пневмопривода и программу расчета для различных режимов торможения.
В приложении 1 приведены соответствующие схемы расположения пневмоприводов. Нумерация рисунков соответствует номеру
задания.
1. Горизонтальный пневмопривод с выдвигающимся штоком.
Исходное положение — шток выдвинут (приложение1, рис. П.1.1).
2. Горизонтальный пневмопривод с неподвижным штоком
и выдвигающимся корпусом пневмоцилиндра. Исходное положение — корпус втянут (приложение1, рис. П.1.2).
3. Горизонтальный пневмопривод с неподвижным штоком
и выдвигающимся корпусом пневмоцилиндра. Исходное положение — корпус выдвинут (приложение1, рис. П.1.3).
4. Вертикальный пневмопривод с выдвигающимся вверх
штоком. Исходное положение — шток втянут (приложение1,
рис.П.1.4).
5. Вертикальный пневмопривод с выдвигающимся вверх штоком. Исходное положение — шток выдвинут (приложение1,
рис.П.1.5).
-
68
6. Вертикальный пневмопривод с неподвижным штоком (шток
снизу от корпуса) и выдвигающимся корпусом пневмоцилиндра
(корпус выдвигается вверх). Исходное положение — корпус внизу
(приложение1, рис. П.1.6).
7. Вертикальный пневмопривод с неподвижным штоком (шток
снизу от корпуса) и выдвигающимся корпусом пневмоцилиндра
(корпус выдвигается вверх). Исходное положение — корпус наверху
(приложение1, рис. П.1.7).
8. Вертикальный пневмопривод с неподвижным штоком (шток
сверху от корпуса) и выдвигающимся корпусом пневмоцилиндра
(корпус выдвигается вниз). Исходное положение — корпус наверху
(приложение1, рис. П.1.8).
9. Вертикальный пневмопривод с неподвижным штоком (шток
сверху от корпуса) и выдвигающимся корпусом пневмоцилиндра
(корпус выдвигается вниз). Исходное положение — корпус выдвинут
вниз (приложение1, рис. П.1.9).
69
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение1
Рисунки к заданиям для самостоятельной работы
Рис. П.1.1
70
Рис. П.1.2
Рис. П.1.3
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]