Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование и расчет пневматических приводов. Учебное пособие
.pdf
Подставляя в это выражение значение z
22
ff
f
zz
z =z +z =z +z +z +z =
22
ff
из (1.11), оконча-
Σтр
тельно получим:
ff
f
Этр
=
z +z +z +z
( )
123
ап тр
тр тр ап
.
(1.12)
Еще раз убедимся, что если в качестве расчетного значения
возьмем площадь проходного сечения аппаратуры fап, то получим
такой же результат.
Действительно, исходное значение эффективного сечения тру
бопровода
f
тр
f =
Этр
.
z
тр
Следовательно, для эквивалентной замены трубопровода необходимо выполнение условия
-
f = =
Этр
тр
Отсюда найдем сопротивление трубопровода z
z=z
Этр тр
Тогда суммарное сопротивление всей линии с сечением fап:
∑
ап ап Этр тр
z +z +z +z
( )
123
=
123
2
f
тр
Тогда, с учетом (1.13), эффективная площадь проходного сечения
всей линии будет выражаться уравнением
f
f
Эап
ап
= =
z
ап
∑
z +z +z +z
( )
123
Как видно, уравнения (1.12) и (1.14) полностью совпадают, т. е.
эффективная площадь в обоих случаях получается одинаковой.
f
ап
.
тр Этр
2
f
ап
.
f
тр
22
ff
тр тр ап
ff
ап тр
.
тр тр ап
Этр
f
ап
f
тр
:
2
(1.13)
.
(1.14)
21
2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
ТИПОВЫХ ПНЕВМОПРИВОДОВ
При расчетах типовых пневмоприводов характеристики подводящих и отводящих трубопроводов учитываются как дополнительные
сопротивления, а объем трубопроводов прибавляется к объемам
соответствующих полостей привода.
При описании газодинамических процессов, происходящих в
полостях пневмоцилиндра, подводящих и отводящих трубопроводах, принимаем следующие допущения:
1. Газодинамические процессы рассматриваем как квазиста-
ционарные, протекающие при установившихся режимах течения.
2. Температуру и давление воздуха в магистрали считаем по-
стоянными.
3. Утечками воздуха из полостей пневмоцилиндра пренебрегаем.
4. Процесс течения газа в трубопроводах считаем изотермиче-
ским.
5. Теплообменом в полостях пневмопривода пренебрегаем.
Математическая модель пневмопривода представляет собой
систему дифференциальных уравнений, описывающих движение
исполнительного органа с учетом законов изменения давлений
в полостях исполнительного механизма, сил трения и внешних
нагрузок.
22
Рис.2.1. Расчетная схема пневмопривода
2.1. Математическая модель линейного пневмопривода
MR
1
iR=
() .
M pFpFpFF NTTQ
dt
= − − − −− − −
Динамика пневматического привода определяется конструктивной схемой самого привода, характером газодинамических процессов
в его полостях и характером изменения нагрузки. Расчетная схема
типового пневмопривода на базе пневмоцилиндра представлена
на рис.2.1.
2.1.1. Уравнение движения исполнительного органа
В общем случае уравнение движения пневмопривода с массой
М подвижных частей определяется из уравнения Ньютона:
2
n
,
=
2
(2.1)
∑
i
1
=
i
где
dx
dt
n
— сумма сил, действующих на поршень со штоком.
∑
i
Определим силы, действующие на поршень со штоком:
1) R1 = p1F1 — сила, действующая на поршень в поршневой
полости;
2) R2 = p2F2 — сила, действующая на поршень в штоковой полости;
3) R3 = pА(F1 – F2) — сила атмосферного давления, действующая
на торцевую поверхность штока снаружи пневмоцилиндра;
= N — постоянная нагрузка;
4) R
4
= TS — сила трения покоя;
5) R
5
= TD — сила сухого трения;
6) R
6
= Q — сила вязкого трения.
7) R
7
Подставляя все значения сил в уравнение (2.1), получим следующее уравнение, описывающее движение поршня:
2
dx
2
11 2 2 1 2
A
SD
(2.2)
Для решения этого уравнения необходимо записать:
– уравнения изменения давлений в полости нагнетания р1
и в штоковой полости р2;
– уравнения, описывающие закон изменения сил сухого, вязкого
трения и трения покоя;
23
– условия, ограничивающие движение поршня в диапазоне
изменения координаты х от 0 до заданной длины хода S.
2.1.2. Уравнение изменения давления в полости нагнетания
Выведем уравнение изменения давления p1 в полости нагнетания.
В соответствии с первым законом термодинамики количество
энергии dQм, поступающей с газом в полость нагнетания из магистрали, идет на изменение внутренней энергии газа dU
в полости
1
и на совершение работы привода dL, т. е.
dQ
= dU1 + dL. (2.3)
м
Количество энергии dQм, поступающей с элементарной массой
газа dm, определяется выражением
dQ
= qdm, (2.4)
м
где q — удельная энергия поступающего в полость газа.
Как известно из теории термодинамики, удельная энергия газа
q определяется его теплосодержанием — энтальпией i, которая
связана с удельной теплоемкостью ср и температурой газа в магистрали Тм зависимостью
q = i = с
Элементарную массу газа dm выразим через расход G
dm = G
Тм. (2.5)
р
:
м
dt. (2.6)
м
Подставляя (2.5) и (2.6) в уравнение (2.4), найдем количество
энергии, которая поступает в полость нагнетания:
dQ
= срТ
м
Gмdt. (2.7)
м
Уравнение изменения внутренней энергии газа имеет вид
dU
= d(сVТ1 m1) = сV d(Т1 m1), (2.8)
1
где сV — удельная теплоемкость газа при постоянном объеме; Т1 —
температура газа в полости нагнетания; m1 — масса газа в полости
нагнетания.
Масса газа в полости определяется величиной плотности r1 и объема полости V1:
m
= r1V1. (2.9)
1
24
Тогда, подставляя (2.9) в уравнение (2.8), получим выражение
R
1 1 11
VV
cc
RR
для определения изменения внутренней энергии газа dU1 в полости:
dU1 = d(сVТ1 m1) = сV d(Т1r1V1). (2.10)
Преобразуем уравнение (2.10) в целях сокращения числа пере-
менных. Согласно уравнению Клапейрона–Менделеева имеем:
p
= RT1,
1/r1
откуда найдем произведение Т
Т
, входящее в уравнение (2.10):
1r1
= p1/R. (2.11)
1r1
Тогда, подставляя (2.11) в уравнение (2.10), получим уравнение
с меньшим числом переменных, чем в (2.10):
c
V
=
dU d p V
( )
11
.
Дифференцируя это выражение, окончательно получим
dU p dV V dp
= + (2.12)
.
Найдем работу, совершаемую газом:
dL
= p1dV1. (2.13)
1
Подставляя значения слагаемых (2.7), (2.13), (2.14) в исходное
уравнение (2.3), получим:
с
dt = сV /R p1dV1+ сV /R V1dp1+ p1dV1.
рТмGм
Преобразуем это выражение следующим образом:
с
dt = p1 (сV/R+1) dV1 + сV /R V1dp1. (2.14)
рТм Gм
Удельные теплоемкости газа при постоянном давлении и по-
стоянном объеме связаны между собой следующей зависимостью:
сV +R= ср.
Подставляя это уравнение в (2.14), после преобразований получим:
срТм Gмdt = сp /R p1dV1 + сV / R V1dp1.
25
Умножим все члены уравнения на R и разделим на сV, учитывая,
22
11
G Kp p
мм
1
м
что ср / сV = k = 1,4 — показатель адиабаты для воздуха. Оконча-
тельно получим:
kRТ
dt = kp1dV1 + V1dp1. (2.15)
мGм
Найдем выражения для составляющих членов этого уравнения.
Объем полости нагнетания V1 состоит из рабочего (переменного)
объема рабочей полости V1Р пневмоцилиндра и начального (постоянного) объема V01 пневмопривода:
= V
V
1
+ V01. (2.16)
1Р
Рабочий объем полости нагнетания V1Р выразим через площадь
поршня F1 в полости нагнетания и координату х:
V
= F1 x. (2.17)
1Р
Начальный объем V01 включает в себя конструктивный объем
полости нагнетания в крайнем положении поршня и объем подводящей линии, состоящий из объемов трубопровода и подключенной
пневмоаппаратуры.
Начальный объем V01 подводящей линии можем записать, как
принято в некоторых работах [4], следующим образом:
V
— приведенная начальная координата положения поршня.
где x
01
= F1 x01, (2.18)
01
Окончательно, подставляя (2.17) и (2.18) в уравнение (2.16), найдем объем полости нагнетания V1:
V
= F1 (x+ x01). (2.19)
1
Формула для расчета расхода газа, поступающего в полость
нагнетания, зависит от характера процесса.
В пневматических промышленных приводах течение газа близко
к изотермическому процессу [5]. Поэтому расход газа определим
из уравнения (1.5), с учетом того, что s = p / pм:
где
26
= ,
KRT=
1
−
f
1
z
(2.20)
.
Подставляя значения V1 и Gм из (2.19) и (2.20) в исходное урав-
11
22
pp
11
нение (2.15), после преобразований получим уравнение изменения
давления в полости нагнетания привода:
dp kp
dt x x dt
kf RT
1
= −−
Fx x
( )
1 01 1
м
+z
22
pp
1
м
dx
.
+
(2.21)
01
Выполним анализ уравнения. Если скорость равна нулю (dx/ dt =
= 0), то получим уравнение, которое описывает процесс наполнения
постоянного объема:
dp
dt
kf RT
1
1
= −
Fx x
( )
1 01 1
м
+z
.
1
м
Если перекрыть отверстие, т. е. f1 = 0, то получим уравнение,
описывающее адиабатический процесс изменения давления в
полости пневмоцилиндра:
dp kp
= −
dt x x dt
dx
+
.
01
2.1.3. Уравнение изменения давления в выхлопной полости
Выведем уравнение изменения давления газа в выхлопной полости.
Количество энергии dQ2, вытекающей с газом из выхлопной
полости, идет на изменение внутренней энергии газа dU2 в полости
и на совершение работы привода dL2:
–dQ
= dU2 + dL2. (2.22)
2
Найдем выражения для определения составляющих уравнения
(2.22).
Найдем уравнение для определения количества энергии dQ2,
вытекающей с газом из выхлопной полости:
dQ
= срТ2dm2 = срТ2G2 dt. (2.23)
2
Уравнение изменения внутренней энергии газа имеет вид
dU
= d(сVT2 m2) = сV d(Т2 r2V2). (2.24)
2
27
Согласно уравнению Клапейрона–Менделеева p2 / r2 = RT2, откуда
A
22
2 22
GKp p
22
22
()
Т2r2 = p2 / R.
Тогда, подставляя значение Т
dU
= сV d(V2 p2 /R) = сV /R p2dV2+ сV / R V2dp2. (2.25)
2
в уравнение (2.24), получим:
2r2
Определим составляющую dL2 в уравнении (2.22). В выхлопной
полости, как правило, работа dL2 связана с сжатием газа в полости
и определяется уравнением
dL
= p2dV2. (2.26)
2
Подставляя значения слагаемых (2.23), (2.25) и (2.26) в исходное
уравнение (2.22) и учитывая, что сV +R = ср, после преобразований
получим:
–kRT
dt = kp2dV2 + V2dp2. (2.27)
2G2
Объем газа в выхлопной полости с учетом объема отводящего
трубопровода и пневмоаппаратуры равен:
V
= (S+ x02 — x)F2. (2.28)
2
Истечение газа из выхлопной полости по трубопроводу близко
к изотермическому процессу. Поэтому расход определим из упрощенного уравнения, соответствующего изотермическому истечению газа:
где
KRT=
2
= − (2.29)
f
2
.
z
,
Подставляя значения V2 и G2 из (2.28) и (2.29) в уравнение (2.27),
после преобразований получим следующее уравнение изменения
давления в выхлопной полости:
dp kp
=− −+
dt S x x dt
kf RT
22
FS x x
−+ z
( )
2 02 2
22
pp
A
2
−+
dx
.
(2.30)
02
При отсутствии теплообмена изменение состояния газа в выхлопной полости происходит по адиабатическому закону, поэтому температуру T2 в уравнении выразим через давление P2 из уравнения
адиабатического процесса:
28
1
k
k
−
22
22
02
=− −+
22
22
pp
=−−
22
()
p
=
TT
2
2
м
p
м
.
Подставляя значение Т2 в уравнение (2.30), окончательно получим
дифференциальное уравнение, описывающее изменение давления
газа в выхлопной полости:
1
k
−
2
dx
k
pp
A
м
2
(2.31)
.
dp p
dt p
kf RT
2
м
−+ z
FS x x
( )
2 02 2
+
()
−+
S x x dt
kp
2
Выполним анализ уравнения.
Если скорость равна нулю (dx/ dt = 0), то получим уравнение, ко-
торое описывает процесс истечения из полости постоянного объема:
1
k
−
2
dp p
dt p
kf RT
2
м
−+ z
FS x x
( )
2 02 2
k
м
.
A
2
Если перекрыть отверстие, т. е. f2 = 0, то получим уравнение,
описывающее адиабатический процесс в полости пневмоцилиндра:
dp kp
=
dt S x x dt
−+
dx
.
02
2.1.4. Уравнения изменения внешних сил
Рассмотрим некоторые ошибки, которые возникают при разработке программ и расчетах сил, действующих на поршень со штоком.
1. Довольно часто при расчетах пневмопривода некоторые не
учитывают в правой части уравнения (2.2) слагаемое pA(F1 – F2),
т. е. не учитывают силу, с которой атмосферное давление действует
на торцевую поверхность штока. В этом случае иногда получаются
абсурдные решения.
Рассмотрим случай, когда давления в полостях пневмоцилиндра в исходном положении равны атмосферному (p1 = p2 = pА),
а силы N = TD = TS = Q = 0.
29
Очевидно, что поршень при этом должен быть неподвижен.
dx
() .
Однако, если не учитывать слагаемое pА(F1 — F2), расчеты дадут
другой результат, т. е. получится, что поршень начнет двигаться.
Действительно, в этом случае уравнение движения будет иметь
2
M
вид
= pАF1 — pАF2 = pА(F1 — F2) > 0. Следовательно, поршень
2
dt
не подключенного к магистрали пневмоцилиндра начнет разгоняться с постоянным ускорением!
В уравнении (2.2) можно было бы и не учитывать слагаемое
pА(F1 — F2), если рассматривать давления р1 и р2 как избыточные.
Но базовые уравнения газовой динамики получены для абсолютных
давлений. Тогда при выводе уравнений, описывающих изменение
давлений р1 и р2 в полостях пневмоцилиндра, придется преобразовывать эти уравнения газовой динамики, что значительно усложнит
математическую модель пневмопривода.
2. Следующее замечание касается описания силы сухого
трения Т. Учитывая, что знак силы сухого трения зависит от направления движения, при расчетах часто силу сухого трения опи-
сывают уравнением
TT
=
D
dx
sign .
0
dt
Например, когда на привод
действует только сила сухого трения, обычно записывают уравне-
2
d x dx
M pF p F p F F T
ние
= − − −−
11 2 2 1 2 0
2
dt
A
sign
dt
В результате получается ошибочное решение, которое дает колебательный характер скорости движения привода, например в начале
движения, а также в конце движения при его торможении. Причем
скорость меняет знак, что не соответствует физическому процессу.
На рис.2.2 показан пример такого графика изменения скоростиV. В результате у некоторых возникает ошибочное мнение, что в
приводе действительно происходят некоторые колебания скорости.
Амплитуда таких колебаний зависит от метода и шага интегрирования и от конструктивных параметров привода. В некоторых
практических случаях колебания скорости почти незаметны, поэтому
такой подход к описанию силы сухого трения вполне допустим.
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]