Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование и расчет пневматических приводов. Учебное пособие
.pdf
И лишь в зависимости от способа торможения пневмопривода
xx xx
HH
xx xx
<≥
≥<
тт
рт
тт
тт
тт
( )
( )
( )
A
A
2
11 2 2 1 2
2
22
1
11
1
01
1 01 1
1
2
22
2
2 22
2
02
2 02 2
() ;
;
;
SD
k
k
d x dx
M pF p F p F F H N H N T T h
dt
dt
kf RT
dp kp
dx
pp
dt x x dt
Fx x
kf RT
dp p kp
dx
pp
dt p S x x dt
FS x x
−
= − − − − − −−−
= −−
+
+z
=− −+
−+
−+ z
рр т т
м
м
м
м
в уравнении движения будет изменяться слагаемое N(t), учитывающее создаваемое при торможении усилие.
Для учета режима торможения необходимо добавить условие,
при котором начинает действовать тормозное усилие.
Если до момента торможения на пневмопривод действовала
некоторая постоянная нагрузка Nр, а при достижении приводом
некоторой координаты хт начинает действовать новая постоянная
или переменная нагрузка Nт(t), создаваемая демпфером, то уравнение изменения нагрузки можно записать следующим образом:
N(t) = H
где Н
и Нт — коэффициенты, которые удовлетворяют условию
р
1, ; 1, ;
если если
= =
0, ; 0, .
если если
+ HтNт(t).
р Nр
Тогда уравнение движения привода будет описываться системой
уравнений
2
d x dx
M pF p F p F F H N H N T T h
HH
= − − − − − −−−
11 2 2 1 2
2
dt
если если
1, ; 1, ;
= =
рт
0, ; 0, .
xx xx
<≥
если если
xx xx
≥<
( )
A
рр тт
SD
dt
;
Таким образом, окончательно математическая модель пневмопривода для случая торможения с помощью внешних тормозных
устройств c учетом силы сухого трения TD (2.33) и трения покоя TS
(2.34) будет иметь вид
(2.42)
41
( )
;
P pF pF p F F
=−− −
== ≤≥
р
,.
22
T
S
T
D
2
d x dx
dt
x xx
2.4. Математическая модель пневмопривода
Рассмотрим способ уменьшения скорости пневмопривода методом противодавления, т. е. подключением выхлопной полости
к линии с некоторой постоянной величиной противодавления.
В результате воздух из выхлопной линии будет выходить не в атмосферу, а в среду с повышенным давлением.
Снижение скорости подачей противодавления начинается, как
только поршень достигает заданного значения координаты хт. До
этого момента в выхлопной полости происходит истечение газа в
атмосферу. Поэтому математическая модель до этого момента может
быть представлена полученными ранее уравнениями.
Движение привода и изменение давления воздуха в полости нагнетания на протяжении всего периода движения и торможения описываются
так же, как и в математической модели типового пневмопривода (2.37).
Изменение давления в выхлопной полости до начала торможения
также описывается ранее полученным уравнением
11 2 2 1 2
P PT
, 0;
если и
рр
=
sign
T
dvig
, 0;
если и
P PT
рр
=
sign
T
0
0, 0, 0 ;
2
= ≤=
dt
0, 0;
если
A
<=
dx
−
dt
<=
0
dx
в остальных случаях
−
dt
если или
dx
pok
dt
в остальных случаях
dx
dt
x xS
S xS
если
≥
при торможении противодавлением
;
;
dp kp
=− −+
dt S x x dt
42
kf RT
22
FS x x
−+ z
( )
2 02 2
22
pp
2
A
−+
( )
02
dx
.
(2.43)
Рассмотрим, какие процессы протекают в выхлопной полости
22
22
02
=− −+
при торможении. В режиме снижения скорости противодавлением
возможны два принципиально противоположных газодинамических процесса.
1. Если давление в выхлопной полости p2 меньше величины
противодавления pМ2, т. е. p2 < pМ2, то происходит наполнение
этой полости. В данном случае уравнение изменения давления
в выхлопной полости будет иметь вид
dp kp
= −+
dt S x x dt
kf RT
H
2
FS x x
−+ z
( )
2 02 2
м
22
pp
М
H
22
−+
02
dx
,
(2.44)
где pМ2 — величина настройки редукционного пневмоклапана,
подающего давление (противодавление) в выхлопную полость;
f2Н и z2Н — площадь проходного сечения выхлопной линии и ее
сопротивление в режиме нагнетания противодавлением.
2. Если в выхлопной полости давление больше величины противодавления, т. е. p2 > pМ2, то происходит истечение газа через
редукционный клапан с давлением pМ2. В конечном счете, редукционный клапан выпускает воздух в атмосферу. В результате клапан
поддерживает постоянную величину противодавления. Поэтому
в математической модели считаем, что выхлоп происходит в среду
с давлением pМ2. В этом случае уравнение изменения давления
в выхлопной полости будет иметь вид
1
k
−
2
dx
k
м
2
,
22
pp
M
(2.45)
dp p
2
dt p
kf RT
B
2
−+ z
FS x x
( )
2 02 2
м
+
−+
S x x dt
kp
B
2
где f2В и z2В — площадь проходного сечения выхлопной линии и
ее сопротивление в режиме выпуска воздуха через редукционный
пневмоклапан. Причем z
— сопротивление линии между полостью
2В
и редукционным клапаном.
43
Таким образом, на протяжении всего периода движения привода
22
22
2 22
H pp
=− −+
− −+
xx
xx
22
< ≥≥
22
< ≥<
тт
процессы в выхлопной полости описываются уравнениями (2.43),
(2.44) и (2.45).
Чтобы объединить все три уравнения, описывающие разные
процессы в выхлопной полости, введем коэффициенты управления,
которые принимают значения 0 или 1 в зависимости от того, какое
слагаемое используется:
1
k
−
2
M
dx
м
Н
k
2
2
,
k
2
22
M
1
−
k
22
A
dp p
dt p
H pp
+ −−
HM2 2 2
H pp
ВМ М
FS x x
2 02 2
kf RT
в
FS x x
( )
2
−− z
( )
2 02 2
kf RT
2H
FS x x
−+ z
( )
2 02 2
kf RT
2B M
−+ z
+
()
−+
S x x dt
м
kp
м
B
2
02
p
p
где коэффициенты управления определяют, исходя из следующих
условий:
1, ;
если
H
=
в
0, ;
если
1, ;
HM
BM
=
2
0, ;
1, ;
=
2
0, .
если или и
H
H
xx p p
если и
если или и
если и
≥<
т
xx xx p p
тт
xx p p
≥≥
т
xx xx p p
<
т
≥
т
M
22
M
22
Окончательно получим математическую модель пневмопривода
с торможением противодавлением (2.46).
Пример программы расчета пневмопривода по этой модели
и графики переходного процесса приведены в приложениях 2 и 3.
44
M
M
( )
( )
( )
( )
A
H
B
2
11 2 2 1 2
2
1
22
11
1
01
1 01 1
1
2
2
22
22
2
2 02 2
2
22
HM2 M2 2
2 02 2 H
2B
2
BM2
2 02 2
() ;
;
SD
k
k
À
d x dx
M pF p F p F F N T T h
dt
dt
kf RT
dp kp
dx
pp
dt x x dt
Fx x
kf RT
dp p
H pp
dt p
FS x x
kf RT
H pp
FS x x
kf RT
p
H
p
FS x x
−
= − − − −− − −
= −−
+
+z
=− −+
−− z
+ −−
−+ z
−
−+ z
м
м
м
в
м
м
м
м
( )
M
HM
M
M
BM
M
PA
1
2
22
2 M2
2
02
22
2
22
22
2
22
11 2 2 1 2
,
1, ;
0, ;
1, ;
0, ;
1, ;
0, .
( );
,
k
k
pok
S
pp
kp
dx
S x x dt
xx
H
xx
xx p p
H
xx xx p p
xx p p
H
xx xx p p
P pF p F p F F
P PT
T
−
−+
+
−+
<
=
≥
≥<
=
< ≥≥
≥≥
=
< ≥<
=−− −
<
=
т
в
т
т
тт
т
тт
рр
если
если
если и
если или и
если и
если или и
если
sign
sign
0
0
2
2
0,
.
, 0,
.
0, 0, 0 ;
0, 0; , .
dvig
D
dx
dt
dx
T
dt
dx
P PT
dt
T
dx
T
dt
d x dx
x xS
dt
dt
x x xS xS
=
−
<=
=
−
== ≤≥
= ≤= ≥
рр
и
в остальных случаях
если и
в остальных случаях
если или
если если
(2.46)
45
2.5. Математическая модель поворотного пневмопривода
12c
J MM M
dt
Подход к математическому моделированию поворотных приводов
принципиально не отличается от вывода уравнений, описывающих
движение линейного привода. Рассмотрим вывод уравнений математической модели поворотного пневмопривода, расчетная схема
которого приведена на рис.2.5.
Уравнение движения поворотного привода имеет вид:
2
a
d
=−−
2
,
(2.47)
где J — момент инерции подвижных частей привода; α — угол поворота лопасти (см. рис.2.5); М1 и М2 — моменты результирующих сил
Р1S и Р2S от давлений воздуха р1 и р2 соответственно в полости нагнетания и выхлопной полости; Мс — сумма моментов всех возможных
сил: статический момент сопротивления (нагрузки), момент от сил
сухого и вязкого трения, от трения покоя.
Рис.2.5. Расчетная схема поворотного пневмопривода
46
Найдем момент, создаваемый давлением в полости нагнетания
11
M Pa
S
22
rr rr
−+
нв нв
22
2
Mp h
нв
( )
2
r rh
поворотного пневмопривода:
где а — плечо силы Р
1S
=
.
(2.48)
,
Определим суммарную силу Р1S, создаваемую давлением воздуха:
P
= p1F,
1S
где р1 — давление в полости нагнетания; F1 — рабочая площадь
лопасти, которая определяется в соответствии с расчетной схемой
(см. рис.2.5) по формуле
F
= (rн– rв)h,
1
где (rн– rв) – высота лопасти; h — ширина лопасти (внаправлении,
перпендикулярном рисунку).
Тогда
P
= p1(rн– rв)h. (2.49)
1S
Плечо силы а определим как расстояние от оси вращения лопасти
до середины лопасти:
Подставив значения для Р1S и а из (2.49) и (2.50) в исходное
уравнение (2.48), получим следующее выражение для вычисления
момента М1:
Обозначим
Тогда получим
M
Аналогично получим зависимость для расчета момента М
M
ar
=+=
в
rr
=
11
K−=
V
−
22
нв
= KV p1. (2.51)
1
= KV p2. (2.52)
2
.
(2.50)
.
.
:
2
47
Подставляя (2.51) и (2.52) в уравнение (2.47), получим:
12 c
( ).
J Kp p M
dt
22
G pp
мм
( )
2
( )
22
11
2
d
a
= −−
V
2
(2.53)
Для того чтобы вывести уравнение изменения давления в полости
нагнетания, нужно воспользоваться ранее полученным уравнением,
отражающим 1-й закон термодинамики:
kRТ
где расход G
вычисляется по формуле
м
dt = kp1dV1 + V1dp1, (2.54)
мGм
f
1
= −
RT
z
1
м
.
(2.55)
1
Найдем выражение для вычисления объема полости нагнетания V1.
Объем V1 равен произведению площади Fa1 сектора с углом
a + a01 на ширину лопасти h:
V
= Fa1h, (2.56)
1
где площадь сектора Fa1 в соответствии с расчетной схемой рис.2.5:
F rr
a
1
22
=π−
нв
a+a
π
01
,
(2.57)
где a01 — приведенная начальная угловая координата, характеризующая объем вредного пространства.
Подставляя (2.57) в уравнение (2.56), найдем объем полости
нагнетания:
22
r rh
−
нв
( ) ( )
V
.
(2.58)
в
a+a
π
01
V rr h K
1 01 01
22
=π − = a+a = a+a
( )
н
Подставляя значения (2.58) и (2.55) в уравнение (2.54), после
преобразований получим уравнение изменения давления в полости
нагнетания привода:
dp kp
dt dt
kf RT
1
= −−
K
a+a z
( )
1 01 1
м
22
pp
1
м
a+a
d
01
48
a
.
(2.59)
Для вывода уравнения изменения давления в выхлопной полости
22 2 2 2 2
−=+
22
22
22
G pp
( )
2
a −a+a
( )
2
a −a+a
22
1
k
−
22
22
−
=− −+
воспользуемся также ранее полученным уравнением (2.27):
,kRT G dt kp dV V dp
(2.60)
где
f
2
= −
RT
z
.
(2.61)
À
Найдем объем выхлопной полости:
V
= Fa2h,
2
где площадь сектора F
в соответствии с рис.2.5
α2
F rr
a
2
22
=π−
нв
S
02
.
π
Тогда объем выхлопной полости
V r r hK
2 02
22
=π − = a −a+a
нв
S
02
π
( )
VS
.
(2.62)
Подставляя значения G2 и V2 из уравнений (2.61) и (2.62) в (2.60),
получим уравнение изменения давления в выхлопной полости:
dp kp
=− −+
dt dt
kf RT
22
K
a −a+a z
( )
VS
02 2
22
pp
2
A
a −a+a
( )
S
02
d
a
.
В выхлопной полости считаем процесс адиабатическим. Тогда
температуру T2 выразим через давление P2 из уравнения адиаба
-
тического процесса:
k
p
=
TT
2
2
м
p
м
.
Окончательно получим
1
k
2
dp p
dt p
kf RT
2
a −a+a z
K
( )
VS
+
a −a+a
( )
м
02 2
kp
S
2
02
k
pp
A
м
a
d
.
2
(2.63)
dt
49
Таким образом, мы получили уравнение движения поворотного
dt
dt
dt
11
22
=− −+
пневмопривода (2.53), уравнения изменения давлений в полостях
(2.59) и (2.63).
Угловая координата положения поршня a изменяется от 0 до aS,
т. е. лопасть перемещается от упора до упора.
Отразим это ограничение в математической модели, так как
формальное решение уравнений математической модели поворотного пневмопривода без учета этих ограничений приведет к
абсурдным результатам, аналогичным тем, которые описаны ранее
для линейного пневмопривода.
Введем в уравнение движения ограничение по углу:
2
aa
dd
= = a=
– если a ≤ 0, то
– если a ≥ aS, то
0, 0, 0;
2
2
dd
dt
aa
= = a=a
0, 0, .
2
S
Таким образом, математическая модель поворотного пневмопривода, вал которого поворачивается от упора до упора, будет
описываться системой дифференциальных уравнений:
2
d
a
J Kp p M
2
dt
dp kp
= −−
dt dt
dp p
dt p
+
a −a+a
( )
S
2
aa
dd
2
dt
a= a≤
0, 0;
a=a a≥a
( );
= −−
V
12 c
kf RT
K
( )
V
K
VS
kp
2
= = a≤ a≥a
0, 0, 0 ;
м
1
a+a z
01 1
kf RT
2
a −a+a z
( )
a
d
dt
02
если или
м
;
22
pp
м
02 2
1
a+a
−
k
2
k
м
1
dt
если
,.
если
SS
d
01
22
pp
2
S
a
;
A
(2.64)
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]