Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Механика. Теоретическая механика. Учебное пособие
.pdf
Давление вездехода на дно оврага больше его веса G = mg = 19,6 кН.
x
x
F
N
Следовательно, чтобы уменьшить давление на грунт, необходимо снизить скорость.
Пример (вторая задача динамики). Груз весом mg начинает дви-
гаться из состояния покоя вверх вдоль наклонной гладкой поверхности
под действием силы F = 3t, направленной вдоль оси x (рис. 3.6). Определить закон движения груза.
Решение
Принимаем тело за материальную точку. Выбираем начало отсчета О
в начальном положении точки и направляем ось движения х в предполага
емом направлении движения точки (рис. 3.6, а).
Груз не является свободным. Мысленно отбросим наклонную поверхность и заменим ее действие реакцией N. Тогда на точку при ее
движении действуют три силы: F, mg, N (рис. 3.6, б). Начальные усло-
вия задачи: при t = 0 V
F
mg
а б
= 0, x0 = 0.
0
α
α
O
Рис. 3.6
α
mg·cos α
y
mg·sin α
mg
O
Запишем закон движения точки в проекции на ось x:
dV
ma m F t mg
dt
3sin
x
.
Разделим переменные по известной схеме и проинтегрируем полученное уравнение с учетом начальных условий задачи:
3 mdV t dt mgsin dt
m dV t dt mg dt
00 0
tt
3sin
71
,
откуда
M
mV t mg t
,
0
t
3
2
2
0
sin
t
0
33
Vtgtttg
2
22
mm
sin sin
.
Ответ
Анализ полученной зависимости V(t):
груз движется вдоль оси x вверх по наклонной плоскости, когда
1)
> 0, т. е. при t > (2/3)mg sin ;
груз движется вдоль оси x вниз по наклонной плоскости, когда
2)
< 0, т. е. при 0 < t < (2/3)mg sin ;
груз останавливается при t = (2/3)mg sin .
3)
3.2. Динамика точки: работа и энергия
Для решения многих задач динамики вместо метода интегрирования дифференциальных уравнений движения оказывается более удобным пользоваться так называемыми общими теоремами, являющимися следствиями основного закона динамики. В этом и следующем разделе мы рассмотрим, как выглядят эти теоремы для одной материальной точки.
Работа силы. Определим работу силы F, приложенной в точке М
(рис. 3.7). При движении точки по траектории s из положения
положение
r
имеем бесконечно малое перемещение dr = r1 – r. В ки-
1
нематике было показано, что модуль дифференциала радиуса-вектора
равен дифференциалу пути ds, т. е. |d
F
обозначить угол между направлениями силы
перемещением d
скалярная величина
r, то элементарная работа силы есть
dA = F ds cos ,
или через скалярное произведение векторов
dA = F · dr.
O
r
1
ds
α
dr
r
s
Рис. 3.7
r в новое
r| = ds. Если
F и
F и dr
r
Этот результат можно представить двояко: либо как произведение F
и проекции перемещения на направление силы, т. е. ds cos, либо как
72
произведение ds и проекции силы на направление перемещения, т. е.
F
α
s
s
s
s
F
α
.
F cos
Если угол α острый (0 ≤ < 90º), то работа положительна (сила помогает движению), если угол тупой (90º < ≤ 180º), то работа отрицательна (сила мешает движению). При = 90º, т. е. сила направлена
перпендикулярно перемещению, работа силы равна нулю.
Единицей измерения работы в системе СИ является джоуль (1 Дж =
= 1 Н·м).
Для решения основной зада
чи динамики важно выделить те силы,
работу которых можно вычислить заранее, не зная закона движения
точки. Рассмотрим эти случаи.
Работа силы, зависящей от положения (координаты) движу-
щейся точки F = F(s). Работа силы на конечном перемещении вдоль
r
траектории от
до r2 или s1 до s2 (рис. 3.8, а) вычисляется как инте-
1
гральная сумма соответствующих элементарных работ и будет равна
s
2
AFds
12
cos .
s
1
Если нарисовать график зависимости F cos от s (рис. 3.8, б), то ин-
теграл в этом уравнении может быть истолкован как площадь под кривой между s
и s2.
1
s
1
r
1
F
α
cos
s
2
r
2
cos
а
Рис. 3.8
Работа постоянной силы, действующей на точку, движущуюся
по прямолинейной траектории (рис. 3.9, а). Работа постоянной силы
F = const на прямолинейном отрезке s
1s2
:
1
F cosα
ds
б
2
73
ss
s
F
α
F
α
s
z
x
s
22
AFdsF ds
12
cos cos
ss
11
→
12 2 1
cos – .()AF ss
Здесь работа силы представляется площадью прямоугольника на
рис. 3.9, б.
F
F cosα
а
α
s
2
s
1
cos
cos
Рис. 3.9
s
1
s
2
б
Работа силы тяжести. Рассмотрим точку, которая движется по
траектории s из положения s
точного положения перемещение d
тяжести с учетом
A d Gdxdydz GdzGzz
12 2 1
Fr k i j k
G = − Gk будет
r
22
()( ) ( ),
r
11
в положение s2 (рис. 3.10). Для промежу-
1
r = dx i + dy j + dz k. Работа силы
z
z
или, обозначая (z
– z1) = Δz = h,
2
A
1−2
= − Gh.
Таким образом, работа силы тяжести равна произведению модуля
силы на вертикальное перемещение точки ее приложения. В случае,
G
s
2
dr
s
1
r
1
r
2
z
1
z
2
Δz = h
показанном на рис. 3.10, работа отрицательна, так как
G направлена
вниз, а Δz = h вверх. Если точка
перемещается вниз, то (z
– z1) =
2
= −Δz = −h и работа силы тяжести
будет положительна. Окончательно
y
A
= ± Gh.
1−2
Из полученного результата сле-
Рис. 3.10
дует, что работа силы тяжести не
74
зависит от вида той траектории, по которой перемещается точка ее
F
s
s
s
M
р
приложения. Силы, обладающие таким свойством, называются потен-
циальными силами.
Работа силы упругости. Величина силы, развиваемая в линей-
ной упругой пружине, когда пружина растягивается на длину s, определяется как F
= cs, где с – коэффициент жесткости пружины (Н/м).
пр
с
O
= 0
ds
F
пр
пр
= csF
пр
s
s
1
s
2
Рис. 3.11
1
s
2
Пусть точка (или тело) М прикреплена к свободному концу пружины (рис. 3.11, а). Если оттянуть точку от равновесного положения O,
удлинив пружину до величины s, то на точку будет действовать сила
F
упругости пружины
силой упругости пружины F
, направленная к точке O. Работа, совершаемая
пр
= cs, будет отрицательна, так как сила и
пр
перемещение имеют противоположные направления:
s
2
Acsdsss
12 2 1
()
.
s
1
c
22
2
Этот же результат можно получить по графику зависимости F
(рис. 3.11), вычисляя площадь трапеции под линией F
F
Работа силы упругости пружины
не зависит от вида траектории
пр
точки M и, следовательно, эта сила также
является потенциальной.
Работа силы трения. Пусть точка М
F
движется по шероховатой поверхности по
кривой s
точку
(рис. 3.12). Действующая на
1s2
сила трения F
равна по модулю f N,
тр
т
где f – коэффициент трения; N – нормальная
75
пр
s
1
Рис. 3.12
= cs.
N
ds
M
от s
пр
V
s
τ
2
реакция поверхности. Направлена сила трения противоположно пере-
мещению точки. Следовательно, F
AFdsfNds
12 тр
Если F
= const, то
тр
= −f N, и работа
тр
ss
22
ss
11
,AFs
12 тр
.
где s – длина дуги кривой
Величина работы силы трения зависит от длины дуги
,ss по которой перемещается точка.
12
;ss следова-
12
тельно, сила трения является силой непотенциальной.
Потенциальная и кинетическая энергия. В механике под энерги-
ей тела понимается мера – величина, характеризующая способность
тела совершать работу. При этом различают два вида так называемой
механической энергии: потенциальную и кинетическую.
Потенциальной энергией, или энергией положения, называется
энергия, зависящая только от взаимного расположения тел или частей
одного и того же тела. Потенциальная энергия тела измеряется той работой, котору
ю оно может совершить при перемещении его из данного
положения в какое-либо другое. Так, например, тело, сила тяжести которого равна G, удерживаемое на высоте h над Землей, обладает относительно этой поверхности потенциальной энергией П, равной произведению Gh или П = Gh, т. е. той работе A, котору
ю оно может совер-
шить при падении на Землю.
Понятие потенциальной энергии – понятие относительное и имеет
смысл только при указании двух сопоставляемых друг с другом положений тела. Так, потенциальная энергия тела, лежащего на Земле у
края колодца, относительно данного места земной поверхности будет
равна нулю. В то же вре
мя это тело обладает потенциальной энергией
относительно дна колодца.
Кинетической энергией тела называется энергия его механического
движения. Кинетическая энергия измеряется той работой, которую
движущееся тело может совершить при его затормаживании до остановки. Кинетическая энергия материальной точки (или поступательно
движущегося тела) зависит только от массы точки и ее скорости в
момент торм
ожения. Чем больше масса точки и чем больше скорость,
тем большей кинетической энергией обладает точка.
76
Теорема об изменении кинетической энергии материальной
M
y
. Рассмотрим точку М массой m, перемещающуюся под действи-
точки
ем приложенных к ней сил
где
F есть равнодействующая этих
F = Σ F
,
k
z
ds
Σ F
V
kτ
сил (рис. 3.13). Для получения связи
между работой сил и изменением
скорости
V точки воспользуемся ос-
новным уравнением динамики
m
a = F.
Проецируя обе части уравнения
на касательную Мτ к траектории
точки М, направленную в сторону
движения, получим
= Σ Fkτ.
ma
τ
Представим тангенциальное ускорение a
dV dVds dV
aV
dt dtds ds
x
1
Σ F
s
в виде
τ
kn
n
Инерциальная система
координат
Рис. 3.13
.
F = Σ F
τ
2
k
Подставляем a
что точка имеет в положении s = s
в уравнение движения, интегрируем обе части с учетом,
τ
V = V1, а позже s = s2 V = V2,
1
V
22
mVdV F ds
V
11
s
,
k
s
и получаем уравнение, выражающее теорему об изменении кинетиче-
ской энергии точки в конечном виде:
22
mV mV
21
.
22
При несвободном движении точки в правую часть равенства
A
12
войдет
работа заданных (активных) сил и работа реакций связей.
В полученном уравнении половина произведения массы точки на
квадрат ее скорости называется кинетической энергией материальной
точки и обозначается
T = (1/2) mV
77
2
.
Формулировка теоремы: изменение кинетической энергии матери-
s
альной точки при переходе ее из начального в конечное (текущее) положение равно сумме работ на этом перемещении всех сил, приложенных к точке.
Пример. Автомобиль массой 1600 кг (рис. 3.14) движется по
наклонной дороге с углом наклона 10º со скоростью 6 м/с. В этот момент водитель начинает тормозить. Определить путь s автомобиля до
а
6 м/с s
остановки. Коэффициент трения
колеса о дорогу f = 0,5.
Решение 1
10º
б
n
G
N
Рис. 3.14
F
тр
10º
Используем теорему об изменении кинетической энергии, так как
она включает в себя силу, скорость
и перемещен
ие.
Работа (диаграмма статики).
мальная сила
N не совершает рабо-
ту, так как ее линия действия перпендикулярна перемещению.
Вес
G = mg = (1600 кг)(9,81 м/с
2
) = 15700 Н
на перемещении s
= (15700 Н)(s
Работа силы трения
ствия не совпадает с направлением перемещения. Для вычисления
необходимо определить
sin 10º совершает положительную работу А
sin 10º). Почему?
F
отрицательна, так как направление ее дей-
тр
N.
G
F
=
тр
Составляя уравнение равновесия на нормаль к дороге, получаем
= 0; N – G cos 10º = 0 → N – 15700 cos 10º = 0
Σ F
n
N = 15461,4 Н.
Тогда F
= f N = 7730,7 Н и работа силы трения Атр = (7730,7 Н) s.
тр
Теорема об изменении кинетической энергии:
22
mV mV
21
,
22
2
0 – (1/2)(1600 кг)(6 м/с)
= (15700 Н)(s sin 10º) – (7730,7 Н) s.
78
A
12
Решая уравнение для s, получим
s = 5,75 м.
Ответ
Решение 2
Если эту задачу решить, используя уравнение движения, то потребуется два шага. Во-первых, если использовать диаграмму статики
(рис. 3.14, б), то уравнение движения записывается вдоль наклонной
дороги:
ma
= Σ F; (1600 кг) a = (15700 sin 10º) Н – 7730,7 Н →
s
2
a = – 3,13 м/с
.
Далее, если использовать уравнение кинематики a ds = V dV, так как
a = const, то получим
22
2
= (6 м/с)2 + 2(– 3,13 м/с2)(s – 0),
(0)
2(– ),VV ass
00
s = 5,75 м.
Ответ
3.3. Динамика точки: импульс силы
и количество движения
Теорема об изменении количества движения. Так как масса точ-
ки постоянна, ее ускорение
ки m
a = Σ F можно переписать в виде
откуда следует уравнение, выражающее теорему об изменении количе-
ства движения материальной точки в дифференциальной форме
Рассматривая движение точки в интервале между
V = V
для t = t2, имеем
2
a = dV / dt, то основное уравнение динами-
d
mdt
()VF
d(m
V) = Σ F dt.
V
22
VF
md dt
V
11
79
,
V = V
t
t
для t = t1 и
1
или уравнение, выражающее теорему об изменении количества дви-
жения материальной точки в интегральной форме
t
2
VV F
mm dt
21
.
t
1
Количеством движения материальной точки называется векторная
величина
рости. Направлен вектор m
измерения в системе СИ – килограмм-метр в секунду (кг
Элементарным импульсом силы называется векторная величина d
равная произведению вектора силы
Q = mV, равная произведению массы точки на вектор ее ско-
V так же, как и скорость точки. Единица
м /с.
S,
F на элементарный промежуток
времени dt ее действия:
d
S = Fdt.
Импульс силы за любой промежуток времени от t
до t2 равен опре-
1
деленному интегралу от элементарного импульса
t
2
SF
Единица измерения импульса в системе СИ – ньютон-секунда (Н
dt
.
t
1
с).
Приведем формулировки теоремы об изменении количества дви-
жения материальной точки
уравнение d(mV) = Σ Fdt − элементарное изменение количества
с учетом введенных понятий:
движения материальной точки равно геометрической сумме элементарных импульсов сил, приложенных к этой точке;
уравнение
t
2
mm dt
VV F
21
t
1
VV Smm
21
с учетом
t
2
SF
dt
t
1
имеет вид
– изменение количества движения материальной точки за некоторый
промежуток времени равно геометрической сумме импульсов всех
действующих на точку сил за тот же промежуток времени.
Скалярные уравнения (уравнения в проекциях на оси координат):
mV
– mV1x = Σ Sx, mV2y – mV1y = Σ Sy, mV2z – mV1z = Σ Sz.
2x
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]