Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Механика. Теоретическая механика. Учебное пособие
.pdf
x = x(t), y = y(t), z = z(t). (2.2)
x y
M
s
x
z
z
M
Уравнения движения точки (2.2) представляют одновременно и уравнения траектории в
параметрической форме, где роль параметра
играет время t. Если требуется получить уравнение траектории в явном виде, т. е. зависимости f(x, y, z) = 0, то следует исключить из этих
O
y
y
уравнений параметр t.
Пример. Движение точки М задано уравне-
ниями x = 2t, y = 12t
2
, z = = 0. Определить по-
x
Рис.2.2
ложение точки и траекторию ее движения.
Решение.
По заданным уравнениям можно найти:
а) в момент времени t = 0 точка находится в положении М
т. е. в начале координат; при t
= 1 c – М1 (2;12;0) и т. д.; Ответ
1
(0;0;0),
О
б) для получения уравнения движения в явном виде исключим время t: из первого уравнения имеем t = x/2; подставляя во второе уравнение, получаем уравнение траектории
y = 3x
2
. Ответ
Траекторией точки является парабола с вершиной в начале координат.
Естественный способ. При естественном способе задают:
1) траекторию АВ точки М (рис. 2.3);
2) начало отсчета на траектории с указанием положительного (+) и
отрицательного (–) направлений (точка О на траектории АВ);
z
– O +
M
1
M
2
3) закон движения точки вдоль траекто-
рии в виде s = s (t).
Задание движения осуществляется раз-
A
O
личными способами: уравнениями, табли-
B
цей, в виде графика и т.д. Кривая, пос
енная на плоскости (s,t), выражающая зави-
тро-
симость s = s(t), называется графиком
Рис. 2.3
движения. Примером естественного спосо-
ба задания движения является движение
поезда: траектория и направление движения определены рельсами, а
уравнение движения задано расписанием.
31
Взаимосвязь способов. Все рассмотренные способы задания дви-
x
y
M
жения взаимосвязаны. Пусть, например, движение задано координат-
z
M
ным способом в виде (2.2). Очевидно, что при
этом проекции радиуса-вектора
r (рис. 2.4) на
оси координат равны координатам точки М и,
k
O
i
x
Рис. 2.4
z
r
j
следовательно,
r = xi + yj + zk,
y
i, j, k – единичные векторы (орты) осей x, y, z.
Модуль
r найдем по формуле
222
rxyz
,
направление определяется направляющими косинусами:
r) = x/r, cos(y, r) = y/r, cos(z, r) = z/r.
cos(x,
Прямолинейное движение. Рассмотрим сначала простейший слу-
чай движения точки – прямолинейное движение, когда траекторией является прямая линия.
Положение. Прямолинейная траек-
тория точки определяется одной координатной осью, например осью s (рис. 2.5).
Положение точки М относительно заданного неподвижного центра О на траектории задается в момент времени t радиусомвектором
r = r(t) либо абсциссой (скалярной величиной) s = s(t). Здесь
r
O
s
Положение
Рис. 2.5
M
s
ось s направлена так, чтобы она совпадала с направлением движения
точки в начальный момент. В этом случае абсцисса s является положительной величиной. Наоборот, она отрицательна, если точка M расположена слева от центра О.
Перемещение. Перемещение
r
O
1
r
s
s
1
Перемещение
Рис. 2.6
Δr
Δs
M
точки представляет собой изменение ее положения. Например, если
1
точка движется от М к М
s
то перемещение точки за промежуток времени Δt = t
– t определяется
1
вектором перемещения точки
r = r
Δ
– r.
1
(рис. 2.6),
1
32
Этот вектор направлен вдоль самой траектории s. При естественном
M
s
способе задания движения имеем перемещение
Δs = s
– s.
1
Скорость. Отношение вектора перемещения точки Δr к соответ-
ствующему промежутку времени дает векторную величину, которая
называется средней скоростью за промежуток времени Δt:
V
= Δr/Δt.
ср
Направлен вектор
меньше промежуток времени Δt, тем величина
так же, как и вектор Δr. Очевидно, что чем
V
ср
будет точнее ха-
V
ср
рактеризовать движение точки.
Скорость точки в данный момент времени при Δt→ 0
Vlim
0
t
rr
tdt
.
r
d
Таким образом, вектор скорости точки в данный момент времени
равен первой производной от радиуса-вектора точки по времени.
При естественном способе задания
движения (рис. 2.7) имеем:
sds
lim
t
0
tdt
Vs
,
т. е. численная (алгебраическая) вели-
O
V
Скорость
Рис. 2.7
M
Δs
M
1
s
чина скорости точки в данный момент
времени равна первой производной от расстояния s точки по времени.
Знак V совпадает со знаком Δs, так как всегда Δt > 0. Если величина
V > 0, то вектор скорости
a
M
O
V V
Ускорение
Рис. 2.8
V направлен в положительном направлении
отсчета расстояния s, а если V < 0, то в
отрицательном. Следовательно, числен-
1
ная величина скорости определяет одновременно и модуль вектора скорости
1
и сторону, в которую он направлен.
В международной системе единиц СИ
для измерения скорости применяется
единица 1 м/с.
Ускорение. В том случае, если известна скорость движения точки
из положения М в положение М
(рис. 2.8), среднее ускорение точки
1
33
есть
M
s
a = ΔV/Δt, где приращение скорости ΔV = V
ср
– V > 0 за проме-
1
жуток времени Δt.
Ускорение точки в данный момент времени
lim
t
0
VV
tdt
aV
,
d
по модулю
dt
2
.
2
2
.
dV d s
a
dt
Для измерения ускорения применяется единица 1 м/с
Если вектор скорости и вектор ускорения направлены в одну сторо-
ну, то движение называется ускоренным (рис. 2.8), если в противопо-
ложные – замедленным. На рис. 2.9 показано замедленное движение, если V
ΔV = V
− V < 0 и a < 0 (направлено влево).
1
< V,
1
Исключая время dt в уравнениях для
скорости и ускорения, получаем следующее
уравнение:
O
− a
V V
Замедление
Рис. 2.9
M
1
1
a ds = V dV.
Равномерное прямолинейное движение. В этом случае а = 0.
Равнопеременное прямолинейное движение. Здесь а = const. В этом
случае имеем:
а) для скорости: полагая в начальный момент t = 0 V = V
, инте-
0
грируем равенство a = dV/dt и получаем
tV
adt dV
0
→ V = V0 + at, a = const;
V
0
б) для положения: интегрируем V = ds/dt = V
ный момент
st
ds V at dt
s
0
t = 0 s = s
0
0
и получаем
0
→
ss Vt a
00
34
+ at, если в началь-
0
2
at
, const
2
;
в) для скорости как функции положения: исключая время в форму-
s
s
(+)
s
(−)
лах для скорости и ускорения, или интегрируя
ных условиях
V = V
, s = s0, получаем формулу, связывающую поло-
0
a ds = V dV при началь-
жение (абсциссу) и скорость точки:
s υ
ads VdV
s υ
00
→
22
2( ), constVV ass a
00
.
Пример. Автомобиль движется по прямой линии (рис. 2.10). Для
малого промежутка времени скорость автомобиля определяется уравнением
через
О
V = (3t
t = 2 с, если при t = 0 s = 0.
динатой
ления
s используем формулу /Vdsdt
2
+ 2t). Определить положение и ускорение автомобиля
V, a
Решение
Система координат.
Начало отсчета на траектории задаем неподвижным центром
О, положительное
направление отсчета вправо.
Рис. 2.10
Положение. Положение автомо-
биля однозначно определяется коор-
s, равной расстоянию от центра О до автомобиля. Для опреде-
. Так как при t = 0 s = 0, мы
имеем:
2
(3 2 ) /ttVdsdt
,
st
ds t t dt
00
t = 2 c получаем s = 12 м. Ответ
При
2
(3 2 )
,
stt
32
()
00
t
,
32
tt
Ускорение. Зная V = f (t), ускорение определяем по формуле
dυ d
attt
2
(3 2 ) 6 2.
dt dt
t = 2 c получаем а = 14 м/с
При
2
. Ответ
Криволинейное движение. Криволинейное движение имеет место
в случае, когда точка движется по криволинейной траектории.
Векторный способ задания движения. Так как траектория движе-
ния точки часто описывается в трехмерном измерении, для формули-
35
рования положения, скорости и ускорения может быть использован
М
векторный анализ (векторный способ исследования).
Положение. Рассмотрим материальную точку М, находящуюся в
момент времени
начала отсчета (рис. 2.11,
неподвижного центра
мент времени
t на пространственной кривой на расстоянии s от
а). Положение точки относительно заданного
О (система отсчета) будет определяться в мо-
t радиусом-вектором r = r(t). Этот вектор является функ-
цией времени, так как и величина, и направление вектора изменяются
при движении точки по траектории.
Перемещение. Предположим, что за малый промежуток времени Δt
точка пройдет расстояние Δ
ложение
(рис. 2.11,
М
, которое определится радиусом-вектором r
1
б). Перемещение Δr представляет собой изменение положения
материальной точки и определяется как векторная разность Δ
Скорость. Отношение Δr / Δt есть средняя скорость V
за время Δ
t, т. е. V
= Δr/Δt. Средняя скорость не имеет конкретной
ср
точки приложения на траектории, параллельна вектору Δ
и в общем случае зависит от времени осреднения Δ
траектория
M
O
r
s
Положение
а
s вдоль кривой линии и займет новое по-
r (рис. 2.11, б)
t.
V
ср
М
Δs
1
s
O
r
r
1
Δr
Перемещение
Рис. 2.11
s
б
V
O
Скорость
= r + Δr
1
r = r
– r.
1
точки
ср
М
r
s
в
Скорость точки в данный момент времени есть
Vr r
.
t → 0 длина
Скорость
lim lim ( / )
VV r, или /ddt
ср
00
tt
V точки – это вектор, направленный по касательной к тра-
t
ектории в сторону движения точки (рис. 2.11, в). При Δ
вектора Δ
r приближается к длине дуги Δs и можно записать:
lim ( / ) lim ( / )
Vrt st
или V = ds / dt.
00
tt
36
Ускорение. Если точка имеет скорость V в момент времени t и
M
sТр
скорость
ускорение
VV + V
1
в момент времени t + Δt (рис. 2.12, а), то среднее
точки аср =ΔV/Δt, где ΔV = V1 – V.
V
1
V
М
1
Траектория
а
М
ΔV
/
М
V
Годограф
Рис. 2.12
V
1
б
V
O
1
a
Годограф
в
O
Чтобы изобразить приращение скорости ΔV, совместим начала двух
векторов скорости в одной общей точке
направлений (рис. 2.12,
б). При этом концы векторов расположатся на
кривой линии. Эта кривая линия называется
М траектории (рис. 2.11, а) будет соответствовать своя изображаю-
ке
щая точка
М на годографе вектора скорости (рис. 2.12, б).
Ускорение точки в данный момент времени есть предел, к которо-
му стремится среднее ускорение
lim lim ( V / )
aa
ср
00
tt
а
ср
t
По определению производной вектор ускорения
направлен по касательной к годографу вектора
скоростей (рис. 2.12,
в) внутрь вогнутости траекто-
рии (рис. 2.13).
Таким образом, вектор скорости V всегда
направлен по касательной к траектории, а вектор
ускорения
дографу вектора скоростей
а всегда направлен по касательной к го-
.
Координатный способ задания движения. Пусть точка М дви-
жется по отношению к данной системе отсчета
декартовой системы координат (рис. 2.14а).
Положение. Положение точки М на криволинейной траектории
по отношению к системе отсчета
картовыми координатами (
x, y, z) и радиусом-вектором r = xi + yj + zk.
Oxyz (рис. 2.14а) определяется ее де-
О
, не изменяя их величин и
1
годографом. Каждой точ-
при Δt → 0, т. е.
или /ddt
aV = d2r/dt
а
Ускорение
Oxyz – прямоугольной
2
.
аектория
а
Рис. 2.13
1
37
Вследствие движения точки ее координаты являются функциями
x
x
x
x
x
O
O
Р
времени, т. е.
z
k
i
x
x = x(t), y = y(t), z = z(t) и, следовательно, r = r(t). Направ-
r указывается компонентами
u
= r/r. Величи-
r
r всегда положительна и
222
rxyz
.
Скорость. Так как единичные
i, j, k выбранной системы
ddxdydz
r
Vijk
dt dt dt dt
s
r = xi + yj + zk
j
Положение
Рис. 2.14а
ление
M(x,y,z)
единичного вектора
на (модуль)
определяется как
z
y
y
x
векторы
координат постоянны, то имеем
или
VVV
Vijk,
yz
,
VdxdtxVdydty
где /, / ,
xy
сти
V на координатные оси x, y, z соответственно; они равны первым
/
Vdzdtz
z
– проекции скоро-
производным по времени от соответствующих координат точки.
Модуль скорости равен
V VVV,
222
yz
а направление скорости определяется
z
s
a
направляющими косинусами
cos( , ) / ,
Вектор скорости всегда направлен
VVV cos( , ) / ,
x
cos( , ) /V
zVV.
yVV
V
y
z
x
Скорость, ускорение
ис. 2.14б
по касательной к траектории (рис. 2.14б).
Ускорение. Ускорение точки
ddta a a
aV x
где
,
x
aV y
yy
вектора ускорения на координатные оси
aV i j k,
/
,
aV z
zz
38
yz
. Здесь: a
, ay, a
x
– проекции
z
x, y, z; они равны первым про-
M
V
y
изводным по времени от проекций скорости или вторым производным
x
/O/
/
s
от соответствующих координат. Модуль ускорения
aaaa,
222
yz
а направление определяется компонентами единичного вектора
/
aua.
а
Ускорение точки характеризует быстроту изменения скорости движения точки. Вектор ускорения в отличие от вектора скорости не
направлен по касательной к траектории (рис. 2.14б).
Естественный способ задания движения. Если траектория дви-
жения точки задана, то удобно рассматривать движение в осях
n ,
которые направлены соответственно нормально и тангенциально к
траектории и движутся вместе с точкой.
Плоское движение
Положение.
ванной кривой (рис. 2.15,
отсчитываемой от центра отсчета
Оси
n
движутся вместе с точкой. Ось
направлена по касательной к траектории в сторону положительного отсчета
расстояния
ложительное направление единичным
вектором
нормальной оси заметим, что геометрически кривая состоит из серии малых
дуговых сегментов
Каждый сегмент лучше всего аппроксимирует элемент дуги окружности,
имеющей радиус, равный радиусу кривизны кривой ρ и центр кривизны
Нормальная ось
оси
и направлена от точки М в
τ
направлении к центру кривизны
(рис. 2.15, а). Это положительное
направление, которое всегда направлено в сторону вогнутости траектории, бу-
дем указывать единичным вектором
Пусть точка М движется в плоскости вдоль фиксиро-
а). Ее положение определяется координатой s,
О.
имеют начало в точке М и
s; будем указывать это по-
u . Для выбора направления
ds (рис. 2.15, б).
O.
– +
O
O
ρ
ρ
O
n
u
n
M
u
Положение
а
ρ
n перпендикулярна к
u
О
n
ds
.
ds
Радиус кривизны
б
Рис. 2.15
τ
τ
ds
ρ
ρ
/
O
39
Координатная плоскость, проходящая через касательнуюτи нормаль n,
/
называется
соприкасающейся плоскостью.
Скорость. Закон движения точки по траектории задан в форме
s= s(t), где s – дуговая координата точки (рис. 2.15, а), заданная как
O
ρ
ρ
M
Скорость
Рис. 2.16
/
V
функция времени. Как было показано ранее,
скорость
V направлена по касательной к траек-
тории (рис. 2.16) и величина определяется по
формуле
V = ds / dt. Тогда
V = Vu
.
τ
Ускорение. Ускорение по определению
характеризует быстроту изменения во времени
скорости движения точки. Тогда
VV
aV u u
.
В окончательном виде (дается без вывода) ускорение
а можно запи-
сать как сумму двух составляющих
aa
au u,
где касательное ускорение
рение
2
aV
n
/
. Эти две взаимно перпендикулярные составляющие
aV
показаны на рис. 2.17. Модуль ускорения
aaa
Если движение точки
волинейное
aa V
с V = const, то 0aV
2
/
n
. Следовательно, нормальное
22
.
n
равномерное кри-
ускорение характеризует быстроту изменения скорости по направлению. Нормальное
ускорение
эта компонента называется как
a
всегда направлено к центру кривизны траектории; иногда
n
центростремительное ускорение.
nn
или ads VdV
и
, а нормальное уско-
O
ρ
a
n
a
M
Ускорение
Рис. 2.17
a
τ
Пространственное движение. Как известно из дифференциальной
геометрии, в каждой точке пространственной кривой есть три взаимно
перпендикулярных направления: касательная нормаль, главная нормаль и бинормаль, единичные векторы (орты) которых обозначим со-
ответственно u
, un, ub (рис. 2.18).
τ
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]