Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Механика. Теоретическая механика. Учебное пособие
.pdf
Так как скорость VMA представляет собой ре-
A
x
A
A
A
A
A
A
зультат движения по окружности вокруг точки
A,
эта скорость может быть представлена произведением V
Тогда уравнение V
= ω × rMA (векторная формула Эйлера).
MA
= VA + VMA можно записать в
M
форме
M
V
M
V
A
V
MA
A
V
A
V
= VA + ω × rMA.
M
Рис. 2.32
Пример. Цилиндр (рис. 2.33, а) катится без скольжения по поверх-
V
ности ленты конвейера, которая имеет скорость
скорость точки
A. Цилиндр имеет радиус R = 0,5 м и угловую скорость
= 2 м/с. Определить
к
ω = 15 рад/с, направленную по часовой стрелке.
Решение
При отсутствии проскальзывания точка
скорость, что и лента конвейера, т. е.
VB = Vк (рис. 2.33, б). Так как уг-
B цилиндра имеет ту же
ловая скорость цилиндра известна, то для определения скорости V
применим уравнение V
ω
R
O
B
а б в
= VB + VAB к точкам B (полюс) и A.
A
y
ω
V
θ
O
V
к
r
B
B
VB= V
к
Рис. 2.33
V
B
ω
45°
O
45°
r
B
VB= V
0,5 м
B
к
Из кинематической диаграммы (рис. 2.33, в) имеем:
A
VAB = ωr
Компоненты скорости V
= (15 рад /с)(0,5 м /cos 45°) = 10,6 м/с.
AB
= VB + VAB в проекциях на оси x, y:
A
VAx = 2 + 10,6 · cos 45° = 9,5 м/с,
VAy = 0 + 10,6 · sin 45° = 7,5 м/с.
51
Тогда
B
A
A
B
B
A
A
x
y
A
B
22
(9,5) (7, 5) 12,1
V м/с; Ответ
A
tg θ = 7,5 / 9,5 → θ = 38,3°.
→ Теорема о проекциях скоростей двух точек:
проекции скоростей
двух точек твердого тела на прямую, соединяющую эти точки, равны
друг другу.
V
V
90°
A
V
β
90°
α
B
V
α
Рис. 2.34
cos β = VA cos α,
V
B
Рассмотрим две точки А и B
тела (рис. 2.34). Принимая точку A
за полюс, получаем
V
= VA + VBA.
B
Проецируя обе части равенства
на линию AB и учитывая, что век-
тор ,
V находим
AB
A
и теорема доказана.
Этот результат позволяет легко находить скорость данной точки тела, если известны направление движения этой точки и скорость какойнибудь другой точки этого же тела.
Пример. Найти зависимость между скоростями точек А и B линейки
эллипсографа (рис. 2.35) при данном угле φ.
Решение
Направления скоростей точек А и B известны.
Тогда, проецируя векторы
VA и V
на линию AB,
B
согласно доказанной теореме получим
V
cos φ = VB cos (90° – φ) →
A
V
= VB tg φ. Ответ
A
→ Мгновенный центр скоростей. Точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент
V
B
φ
V
Рис. 2. 35
времени равна нулю, называется мгновенным центром скоростей
(МЦС). Эту точку обозначим P.
Докажем теорему о существовании мгновенного центра скоростей:
если угловая скорость плоской фигуры отлична от нуля, то мгновенный центр скоростей существует.
52
Пусть скорость VA произвольной точки A плоской фигуры отлична
A
P
A
A
P
A
A
B
от нуля (иначе эта точка была бы мгновенным центром скоростей)
(рис. 2.36). По знаку угловой скорости ω определяем направление вращения плоской фигуры
V
вокруг точки A и в этом направлении откладываем от точки A отрезок AP = V
лярно скорости
V
.
A
/ω перпендику-
A
Докажем, что скорость полученной точки P
равна нулю, т.е. эта точка и есть мгновенный
центр скоростей. Имеем
,
APV то вектор VPA параллелен VA. Кроме
PA
V
= V
P
+ V
A
. Так как
PA
π/2
V
Рис. 2.36
ω
V
PA
того, в соответствии с правилом построения от-
V
резка AP векторы
Модуль скорости V
и VPA имеют противоположные направления.
A
= ω AP = ω (VA/ω) = VA. Два вектора, равных
PA
по величине и противоположно направленных, в сумме равны нулю.
V
Следовательно,
= VA + VPA = 0, т. е. скорость точки P равна нулю.
P
Выберем теперь за полюс точку P. Тогда ско-
V
V
Рис. 2.37
рость произвольной точки A плоской фигуры
найдеся по формуле (рис. 2.37)
B
V
= VP + ω × PA = ω × PA,
A
V
так как
= 0. Отсюда следует, что скорости
P
точек тела при его плоском движении распределяются так же, как и при вращательном движении
(рис. 2.37). Роль неподвижной оси играет мгновен-
ная ось, проходящая через МЦС перпендикулярно
плоскости движения. Таким образом, скорости всех точек фигуры перпендикулярны отрезкам, соединяющим эти точки с МЦС, а модули
скоростей пропорциональны расстоян
иям до МЦС (VA = ω PA).
Рассмотрим способы определения мгновенного центра скоростей
(МЦС), представленные на рис. 2.38.
V
1. Заданы
перпендикуляре к скорости
= VA/ω. Отметим, что здесь МЦС лежит сверху и вправо от точки A,
r
AP
так чтобы
как и угловая скорость
, ω (рис. 2.38, а). В этом случае МЦС находится на
A
V
, проведенном из точки A на расстояние
A
V
обеспечило вращение вокруг точки P по часовой стрелке,
A
ω.
53
A
P
A
P
AP
BP
A
A
B
P
APrBP
A
B
A
P
A
A
AP
BP
P
A
A
B
Центроида
VP = 0
r
V
ω
AP
V
B
V
а
ω
V
V
r
r
V
r
B
B
ω
в
V
г
Рис. 2.38
r
ω
r
б
V
О
V
O
д
2. Известны направления двух непараллельных скоростей VA и VB
V
(рис. 2.38, б). Из точек A и B восстановлены перпендикуляры к
V
. Точка P находится на их пересечении.
B
и
A
3. Если скорости точек A и B параллельны друг другу и AB перпендикулярна к векторам скоростей, то МЦС (точка P) определяется построением, показанным на рис. 2.38, в, г.
В случае, если тело движется поступательно,
дится в бесконечности: r
= rBP → ∞, ω = (VA / rAP) = (V
AP
V
= VB, то МЦС нахо-
A
/ r
) → 0.
B
BP
4. При качении без скольжения одного тела по поверхности другого
(рис. 2.38, д) МЦС совпадает с точкой соприкосновения тел (при от-
сутствии скольжения скорость точки соприкосновения равна нулю).
Пример. В кривошипно-шатунном механизме (рис. 2.39) криво-
шип OA длиной r = 0,5 м вращается с угловой скоростью ω
= 2 с–1.
0
Длина шатуна AB l = 2r. При заданном угле φ = 45° вычислить угловую скорость ω
шатуна AB и скорость VB ползуна B.
AB
54
Решение
B
B
A
B
P
A
φ
1. Модуль скорости точки A кривошипа
= ω0r = 2 · 0,5 = 1 м/с.
V
A
V
Вектор скорости
V
направлен пер-
A
A
пендикулярно OA в сторону вращения
кривошипа.
2. Вектор скорости ползуна
направлен вдоль направляющих ползу-
ω
0
V
B
O
h
C
V
B
на. Восстановим перпендикуляры к векторам
V
и VB. Точка МЦС (точка P)
A
Рис. 2.39
лежит на их пересечении.
Рассматривая геометрию задачи, вычислим AP и BP. При заданном
угле φ = 45° имеем:
из ΔOAC → OC = r cos φ = 0,5 · 0,7 = 0,35 м; h = r sin φ = 0,35 м;
ω
AB
B
из ΔABC →
22 222
44sin0,94CB r h r r м;
BP = OB = OC + CB = 0,35 + 0,94 = 1,29 м;
21,2921,82OP OB м; AP = OP – r = 1,83 – 0,5 = 1,33 м.
3. Угловая скорость шатуна AB
= V
ω
AB
/AP = 1/1,33 = 0,75 с–1. Ответ
A
4. Скорость ползуна (скорость в точке B)
V
B
= ω
PB = 0,75 1,29 = 0,97 м/с. Ответ
AB
Плоское движение тела: ускорение. Уравнение, которое опреде-
ляет зависимость ускорений двух точек тела, можно получить непосредственным дифференцированием векторного уравнения для скоро-
сти
V
= V
B
+ VBA, справедливого в любой момент времени. Имеем
A
ddd
VVV
ABA
.
dt dt dt
Здесь (рис. 2.40): / ,
относительно неподвижной системы координат, /
ddt
Va /
ddtVa – ускорения точек B и A
B
A
ddt
Va –
ABA
ускорение точки B от вращательного движения тела вокруг полюса A.
55
B
A
A
A
точек A, B
Траектории
a
B
Плоское
движение
а
a
A
B
ε
= +
ω
BB
Поступательное
движение
Рис. 2.40
a
A
a
BA
a
A
(aBA)
τ
Вращение вокруг
полюса A
б в
ω ε
r
(aBA)
BA
Ускорение aBA, как и в случае вращения тела вокруг неподвижной
оси, состоит из касательной и нормальной составляющих (
a
:
(
BA)n
()(),
ABA BAn
aa a
a
причем
= εrBA, (aBA)n = ω2rBA,
(a
BA)τ
22 24
aa ar
()()
BA BA BA n BA
.
Окончательно форма уравнения для ускорения имеет вид
a
= aA + (aBA)τ + (aBA)n.
B
n
BA)τ
и
Касательное ускорение (
резку AB в сторону дуговой стрелки углового ускорения
ускорение (
a
соответственно направлено по линии AB от точки B к
BA)n
a
направлено по перпендикуляру к от-
BA)τ
ε. Нормальное
полюсу A. Все четыре ускорения этого уравнения
(aBA)
представлены графически на кинематических диа-
τ
граммах, приведенных на рис. 2.40. Можно построить
aB
(aBA)
в выбранном масштабе многоугольник ускорения для
n
точки B (рис. 2.41).
Таким образом, ускорение какой-либо точки плос-
aA
B
Рис. 2.41
кой фигуры при плоском движении равно векторной
сумме у
скорения полюса и ускорения этой точки от
вращательного движения плоской фигуры вокруг полюса.
56
В общем случае, если движение полюса A является криволинейным,
M
N
P
M
N
P
получим
a
= (aA)τ + (aA)n + (aBA)τ + (aBA)n.
B
Пример. Колесо радиусом R катится
без скольжения по неподвижной поверхности (рис. 2.42). Угловая скорость
колеса ω, угловое ускорение ε. Опреде-
ω
ε
(aMO)
(aMO)
a
O
n
τ
a
лить ускорения точек М, N и Р.
(aNO)
Решение
За полюс выберем точку О. Ускоре-
ние точки М вычислим по формуле
a
= aO + (aMO)τ + (aMO)n.
M
a
O
O
a
(aPO)
n
a
n
(aNO)
a
O
τ
Ускорение полюса a
= ε R. Для ка-
O
(aPO)
a
τ
O
сательной и нормальной составляющих
ускорения точки М от вращения колеса
Рис. 2.42
вокруг точки О имеем:
a
= εOM = ε R; (aMO)n = ω2OM = ω2R.
MO)τ
a
направлено от точки М к полюсу О. Ускорение
MO)n
Ускорение (
(
a
перпендикулярно отрезку ОМ и направлено в сторону, указыва-
MO)τ
(
емую дуговой стрелкой ε. Модуль ускорения в точке М:
aaa a
M O MO MO n
() ()
22
242 24
Для точки N имеем:
aaa a RRR
NONOn NO
() () ( )
22
22 22
Для точки Р:
aaa a RR R R
POPO POn
() () ( )
22
242 2
Направление ускорений показано на рис. 2.42.
.
.
57
2.4. Сложное движение точки
M
x x
y
y
z
z
A
C
r
Основные определения
. В ряде случаев целесообразно изучать
движение точки одновременно по отношению к двум системам отсчета, из которых одна считается условно неподвижной, а другая движется по отношению к первой. Движение, совершаемое при этом точкой,
называется составным или сложным.
Например, шар, катящийся по палубе движущегося парохода, мож-
но считать совершающим по отношению к бе
регу сложное движение.
Это движение состоит из качения по отношению к палубе (подвижная
система отсчета) и движения вместе с палубой по отношению к берегу (неподвижная система отсчета). Таким путем сложное движе-
ние шара разлагается на два более простых и более легко исследуемых,
что определяет практическую ценность теории сложного дви
Рассмотрим движение точки M,
а
перемещающейся по траектории AB
по отношению к подвижной системе
координат O
1x1y1z1
, которая, в свою
очередь, движется относительно другой системы координат Oxyz, условно
принятой нами в качестве неподвижной (рис. 2.43). Каждая из этих систем связана с некоторым телом, не
O
V
O
1
B
m
V
D
V
e
жения.
показанным на чертеже. Введем
определения.
1. Движение точки M относитель-
но подвижной системы координат
O
1x1y1z1
Рис. 2.43
, называется относительным движением. Траектория AB,
описываемая точкой в относительном движении, называется относи-
тельной траекторией. Скорость движения точки M по отношению к
осям O
1x1y1z1
рение точки в этом движении – относительным ускорением
При вычислении
называется относительной скоростью Vr(V
V
и ar оси O1x1y1z1 можно считать неподвижными.
r
), а уско-
отн
ar (a
отн
).
2. Движение, совершаемое подвижной системой координат O1x1y1z1
и всеми связанными с ней точками пространства по отношению к неподвижной системе Oxyz, является для точки M переносным движени-
ем. Скорость той неизменно связанной с подвижными осями O
1x1y1z1
58
точки m, т. е. с которой в данный момент совпадает движущаяся точка M,
называется переносной скоростью
ускорением
a
). Таким образом, Ve = Vm, ae = am, где m – непо-
e(aпер
движная по отношению к осям O
V
e(Vпер
1x1y1z1
), ускорение – переносным
точка, с которой в данный мо-
мент совпадает движущаяся точка M.
3. Движение, совершаемое точкой M по отношению к неподвижной
системе Oxyz, называется абсолютным, или сложным движением.
Траектория CD – абсолютная траектория, скорость – абсолютная
V
скорость
, ускорение – абсолютное ускорение aa.
a
В приведенном выше примере движение шара относительно палубы
парохода будет относительным; движение парохода по отношению к
берегу будет для шара переносным движением; движение шара по отношению к берегу будет абсолютным движением.
Для решения задач необходимо установить зависимости между вве-
денными скоростями и ускорениями.
Сложение скоростей.
Теорема: при сложном движении абсолютная скорость точки равна
геометрической сумме переносной и относительной скоростей:
V
= V
+ V
a
.
e
r
Доказательство. Рассмотрим сложное движение точки M (рис. 2.44).
За время Δt = t
вершает относительное перемещение, определяемое вектором
Сама кривая AB перейдет за тот же
промежуток времени в новое положе-
ние A
. Одновременно точка m кри-
1B1
– t по своей относительной траектории AB точка M со-
1
MM.
z
M'
B
B
1
M
1
вой AB, с которой в момент t совпала
точка M, совершит переносное пере-
мещение
mm
= Mm1. В результате
1
этих движений точка M при перемещении в точку M
перемещение
угольника Mm
и совершит абсолютное
1
MM
. Из векторного тре-
1
имеем
1M1
MM
1
= Mm1 + m
x
1M1
M
O
m
Рис. 2.44
.
m
1
A
1
A
y
59
Разделив обе части равенства на Δt и переходя к пределу, получим
x
M
r
A
MM Mm m M
lim lim lim ,
ttt
1111
ttt
000
или
V
= V
+ V
.
a
e
r
Если между V
Построенная фигура на рис. 2.43 с
и V
есть угол α, то по модулю
e
r
VVVVV
aerer
22
.
2cos
V называется параллелограммом
скоростей.
Пример. Точка M (рис. 2.45) движется внутри трубки OA вдоль ее
оси со скоростью
y
V
V, а сама трубка вращается в плоскости xy вокруг
V
a
e
центра O с угловой скоростью ω. Определить скорость точки M относительно
осей Oxy в зависимости от расстояния r.
Решение
ω
Vr = V
Рассмотрим движение точки M как
сложное, состоящее из относительного
движения ее вдоль оси трубки OA с от-
O
Рис. 2.45
носительной скоростью по модулю
V
= V и вращательного движения вме-
r
сте с трубкой. Вращательное движение
трубки вокруг центра O является для точки M переносным движением,
а скорость той точки оси трубки, с которой в данный момент совпадает
точка M, будет переносной скоростью
V
. Так как точка оси трубки
e
движется по окружности радиусом OM = r, то по модулю переносная
скорость
V
= ωr (Ve перпендикулярна OM).
e
Строя на векторах
скорость
V
движения точки M по отношению к осям Oxy. Так как Ve
a
перпендикулярна
V
и Vr параллелограмм, найдем абсолютную
e
V
, то по модулю
r
VV r. Ответ
a
222
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]