Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Механика. Теоретическая механика. Учебное пособие
.pdf
и получим теорему об изменении количества движения системы в
x
x
интегральной форме
(теорема импульсов):
–,QQ S
21
e
k
так как интегралы, стоящие справа, дают импульсы внешних сил.
В проекциях на координатные оси:
–,
QQ S
21
xkx
e
–,
QQ S
21
yy ky
e
–.
QQ S
zz kz
21
e
При решении задач о движении твердого тела удобнее пользоваться
e
теоремой о движении центра масс
M
Ck
.aF
В задачах с газами,
жидкостью, реактивным движением и ударом удобнее пользоваться
теоремой об изменении количества движения
d
dt
e
F
.
k
Q
Закон сохранения количества движения системы. Из теоремы об
изменении количества движения системы можно получить следующие
следствия, выражающие закон сохранения количества движения системы.
1. Если сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна
нулю, то вектор количества движения системы будет постоянен по модулю и направлению:
e
если
F
= 0, то dQ/dt = 0, следовательно, Q = const.
k
2. Если сумма проекций всех действующих внешних сил на какуюнибудь ось равна нулю, то проекция количества движения системы на
эту ось есть величина постоянная:
e
F
= 0, то dQ
kx
/dt = 0, следовательно, Qx = const.
x
если
Пример. Пуля массой m, летящая горизонтально со скоростью u, по-
падает в установленный на тележке ящик с песком (рис. 3.23). С какой
скоростью начнет двигаться тележка после удара, если масса тележки вместе с
ящиком равна
M?
Решение
u
N
mg
N
1
2
Будем рассматривать пулю и тележку
как одну систему. Это позволяет при
решении задачи исключить силы, которые возникают при ударе пули о ящик.
91
O
Mg
Рис. 3.23
Закон сохранения количества движения. Сумма проекций прило-
M
z
z
женных к системе внешних сил на горизонтальную ось
e
F
лю, т. е.
количество движения системы до удара,
удара тележка неподвижна, то
= 0. Следовательно, Qx = const, или Q
kx
Q0x = mu.
Q
– после удара. Так как до
1
После удара тележка и пуля движутся с общей скоростью
Q
= (m + M)V.
1x
Q
Приравнивая правые части выражений
и Q1x, найдем
0x
)/.( VmmMu Ответ
Ox равна ну-
= Q
0x
1x
, где Q0 –
V. Тогда
Теорема об изменении момента количеств движения системы.
Момент количества движения
ляется равенством
KO = r × mV.
K
одной материальной точки опреде-
O
Моментом количеств движения системы (или кинетическим моментом
) KO относительно центра O называется сумма моментов
(главный момент) количеств движения всех материальных точек, входящих в систему, относительно того же центра:
Kr V
Okkk
m
.
Момент количеств движения системы является характеристикой
вращательного движения системы.
Момент количеств движения твердого те-
ла, вращающегося вокруг неподвижной оси.
Здесь представляет интерес не момент коли-
K
честв движения
h
O
только одна его проекция
твердого тела как вектор,
O
K
на ось вращения z
z
тела.
ω
Рис. 3.24
Vdm
V
Пусть твердое тело вращается с угловой
скоростью
(рис. 3.24). Выделим в теле элемент объема
массой
ω вокруг неподвижной оси z
M с
dm, и будем рассматривать его как ма-
териальную точку. При вращении тела вокруг
неподвижной оси элемент объема
гаться по окружности с центром в точке
M будет дви-
O и
92
радиусом hz. Проекция скорости V элемента объема M на касательную
J
h
к окружности равна ω
ось будет
емом
дем иметь
Vτdm = ωhz dm. Момент количества движения элемента объ-
M относительно оси z равен
Khdm
zz
, а проекция количества движения на ту же
z
2
Vdmh hdm
2
.
zz
.
Для всего тела бу-
Угловая скорость ω одинакова для всех точек тела, и, следователь-
но, ее можно вынести за знак интеграла:
2
Khdm
zz
.
Получившийся интеграл зависит только от характера распределения
массы в теле и не зависит от его кинематического состояния. Он называется
символом
моментом инерции тела относительно оси z и обозначается
J
:
z
2
.
hdm
zz
В этих обозначениях будем иметь
KJ
zz
,
т. е. момент количества движения твердого тела, вращающегося вокруг
неподвижной оси, относительно оси вращения равен произведению
момента инерции тела относительно этой оси на угловую скорость
тела.
Краткие сведения о моменте инерции. Моментом инерции
материальной точки относительно оси называется произведение мас-
m этой точки на квадрат ее расстояния h до оси, т. е. величина mh
сы
2
.
Моментом инерции системы относительно оси называется сумма мо-
ментов инерции всех точек относительно той же оси.
Момент инерции является положительной величиной, имеет размерность в системе СИ [кг
Часто вводят
радиус инерции тела относительно оси, понимая под
м
2
].
ним расстояние ρ от оси до точки, в которой нужно сосредоточить
массу
M всего тела, чтобы момент инерции точки относительно данной
оси равнялся моменту инерции тела относительно той же оси. По
определению имеем
J = Mρ
2
.
93
Моменты инерции некоторых тел
M
x
z
С
x
z
1.
Однородный тонкий стержень массой M и длиной l. Ось z про-
ходит перпендикулярно к стержню через его торец
Направим ось
выделим элемент длиной
h
от этого элемента до оси z рав-
ние
z
но
x, масса единицы длины стержня
равна
мента
M/l, а масса выделенного эле-
dm = (M/l)dx. Момент инерции
O
hz = x
l
dx
Рис. 3.25
стержня относительно оси
22
JhdmxMldx
zz
l
(/)
0
(рис. 3.25).
x вдоль стержня и
dx. Расстоя-
z:
2
l
.
3
2. Однородный тонкий стержень массой M и длиной l. Ось z проходит перпендикулярно к стержню через его центр тяжести
(рис. 3.26). Момент инерции стержня относительно оси z
2
JMl
Cz
/12.
С
3. Момент инерции кругового однородного цилиндра массой
радиусом
R относительно оси z цилиндра (рис. 3.27) равен
2
/2.
JMR
z
z
R
M и
l/2
l/2
H
Рис. 3.26
Рис. 3.27
Теорема об изменении момента количеств движения системы
(теорема моментов). Ранее для точки была доказана теорема моментов. Для всех точек системы получим
K
d
O
dt
MF MF
ei
Ok Ok
94
.
Но последняя сумма по свойству внутренних сил системы равна нулю.
x
r
A
Окончательно получим уравнение, выражающее
момента количеств движения системы
K
d
O
dt
производная по времени от вектора момента количеств движения системы, вычисленного относительно неподвижного центра, равна сумме
моментов всех внешних сил системы относительно того же центра.
Закон сохранения момента количеств движения системы. Из тео-
ремы можно получить два следствия, выражающие собой з
нения момента количеств движения системы
1. Если сумма моментов всех внешних сил относительно данного
неподвижного центра равна нулю, то момент количеств движения системы относительно того же центра не изменяется по модулю и
направлению:
e
если
2. Если сумма моментов всех внешних сил относительно некоторой
неподвижной оси (например, оси
движения системы относительно этой оси не изменяется в процессе движения:
если
Пример. На барабан весом P и радиусом r
(рис. 3.28) намотана нить с грузом
конце. Пренебрегая массой нити и трением в оси,
определить угловое ускорение барабана при вертикальном движении груза, если радиус инерции
барабана относительно его оси равен ρ.
Решение
Теорема об изменении момента количеств движения системы
Применим эту теорему относительно оси О:
MF
MF
или
Ok
e
= 0, то dK
k
K
= const.
x
= 0, то dK
dK M (д)
OOk
MF
x) равна нулю, то момент количеств
x
e
Ok
/dt = 0, или KO = const.
O
/dt = 0,
А весом Q на
e
теорему об изменении
–
.
O
.F
акон сохра-
ω
V
Q
Рис. 3.28
95
Движущаяся система состоит из двух тел. Поэтому
M
KK K
O
бар груза
.
Груз, движущийся поступательно, рассматриваем как материаль-
ную точку. Его скорость
V = ωr. Барабан вращается вокруг неподвиж-
ной оси. Следовательно,
груза
()(//;) KQgVrQgr
2
KJ Pg
бар
KQrP g
O
(;)/
O
22
2
/.()
Подставляя это значение в равенство (д), получаем
22
Qr P d
Qr
.
gdt
Отсюда
dQrg
dt
22
Qr P
. Ответ
Теорема об изменении кинетической энергии системы
Кинетической энергией системы называется скалярная величина T,
равная арифметической сумме кинетических энергий всех точек системы:
mV
1
2
kk
.
2
TT
k
n
T
k
Если система состоит из нескольких тел, .
Вычислим кинетическую энергию при различных видах движения
твердого тела.
1.
Поступательное движение. Здесь все точки движутся с одинако-
выми скоростями, равными скорости центра масс,
22
mV V
kC C
Tm
22
, или
k
T
Vk = V
V
2
:
C
2
C
,
так как
m = M – сумма масс всех точек тела.
k
96
2. Тело вращается вокруг неподвижной оси. Пусть тело вращается
J
относительно оси
бой
k-й точки тела равен, как известно, произведению угловой скоро-
сти ω тела на расстояние
Oz с угловой скоростью ω. Модуль скорости V
h
от точки до оси вращения: V
k
= ωh
k
лю-
k
. В этом
k
случае
где
2
mV
Tmh
2
mh
= Jz – момент инерции тела относительно его оси враще-
kk
kk
22
2
2
kk
, или
T
2
J
z
,
2
ния.
3.
Плоское (плоскопараллельное) движение. При этом движении все
точки тела совершают вращательное движение вокруг оси, проходящей через мгновенный центр скоростей, следовательно,
2
J
P
,
T
2
где
J
– момент инерции тела относительно оси, проходящей через
P
мгновенный центр скоростей. Это величина переменная, так как положение мгновенного центра скоростей (точки
J
ся. Выразим
через постоянный JС (момент инерции относительно
P
P) при движении меняет-
параллельной оси, проходящей через центр масс). Для этого воспользуемся
осей
теоремой о моментах инерции относительно параллельных
(теоремой Гюйгенса–Штейнера): момент инерции тела относи-
тельно данной оси равен моменту инерции относительно оси, ей параллельной, проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы всего тела на квадрат расстояния между осями.
Согласно этой теореме (рис. 3.29)
2
JMd
PC
J
– момент инерции тела относительно оси, про-
где
C
ходящей через центр масс
,
С тела и параллельной
V
C
C
90°
мгновенной оси, проходящей через мгновенный центр
скоростей
чертежа);
ние между рассматриваемыми параллельными осями.
Тогда
P (обе оси перпендикулярны плоскости
M – масса тела; d = PC = V
/ω – расстоя-
C
ω
P
Рис. 3.29
97
22 2 22
C
(1 / 2) (1 / 2) .
TJMd JMd
CC
Так как точка
P – мгновенный центр скоростей, то ωd = ω PC = V
22
MV JT
CC
.
и
C
22
Таким образом, при плоскопараллельном движении кинетическая
энергия тела равна сумме кинетических энергий поступательного движения со скоростью центра масс и вращательного движения вокруг
оси, проходящей через центр масс тела и перпендикулярной к той неподвижной плоскости, параллельно которой движется тело.
Пример. Система состоит из трех тел (рис. 3.30, а): груз В массой
6 кг, диск
со скоростью
без скольжения каток
D массой 10 кг и каток K массой 12 кг. При опускании груза
V
= 0,8 м/с трос, разматываясь, приводит в движение
B
K. Определить кинетическую энергию системы в
рассматриваемый момент.
ω
D
V
D
A
10 кг
VB = 0,8 м/с
6 кг
0,1 м
B
E
0,1 м
C
C
12 кг
K
а
Рис. 3.30
V
ω
K
E
E
V
ω
K
C
P
б
Решение
Для определения кинетической энергии диска и катка необходимо,
прежде всего, определить ω
, ωK, V
D
VB = r
. Из кинематики для диска
C
;
D ωD
0,8 м/с = (0,1 м) ω
→ ω
D
98
= 8 рад/с.
D
Так как каток (рис. 3.30, б) вращается без скольжения, то в точке P
B
находится мгновенный центр скоростей. Тогда
VE = VB = 0,8 м/с;
V
E
= r
; 0,8 м/с = (0,2 м) ωK → ωK = 4 рад/с.
EP ωK
VC = V
/ 2 = 0,4 рад/с.
E
Груз В. Движется поступательно:
TMV
(1 / 2 )
2
= (1/2) (6 кг) (0,8 м/с)2 = 1,92 Дж.
BB
Диск D. Вращается вокруг неподвижной оси:
TJ Mr
DDD DDD
(1/2) 1/2 10 кг 0,1 м 8 рад / с 1, 6 0 Дж)( ) .( ( )
222
((1 / 2) (1 / 2) 1 / )2
22
Каток K. Участвует в плоском движении:
(1 / 2 ) (1 / 2 )
TMVJ
KKCCK
1/ 2 (1/ 2) 1/ 2()()
()( ) ()(1 / 2 ) 1 2 кг 0, 4 м / с (1 / 2 ) 1 / 2 1 2 кг 0,1 м() 4рад / с() ( )
222
MV M r
KC KK K
222
22
= 1,44 Дж.
Кинетическая энергия всей системы:
T = T
+ TD + TK = 4,96 Дж. Ответ
B
Теорема об изменении кинетической энергии системы. Для каждой
точки системы будет справедлива ранее доказанная теорема об изменении кинетической энергии материальной точки:
22
mV mV
12 11
22
ei
,
AA
11
………………………….
22
mV mV
21
nn nn
22
ei
,
AA
nn
99
e
Y
X
C
A
где
A
точки
k
i
и
A
– работа сил
k
M. Складывая почленно все равенства, получим
e
F
k
i
и
F
на действительном перемещении
k
nnnn
kkkk
22
mV mV
21
kk kk
22
1111
ei
AA
kk
или, учитывая выражение для кинетической энергии,
e
T
– T1 = A
2
где
T
– начальное значение кинетической энергии; A
1
+ A
i
,
e
i
и A
– работа
всех внешних и внутренних сил системы.
Полученное равенство выражает
ской энергии системы
: изменение кинетической энергии системы при
теорему об изменении кинетиче-
переходе ее из начального в текущее (конечное) положение равно
сумме работ на этом перемещении всех внешних и внутренних сил,
приложенных к точкам системы.
Пример. Стержень АВ длиной l подвешен на шарнире в точке А.
Пренебрегая трением в шарнире, найти, какую наименьшую угловую
скорость ω
надо сообщить стержню,
0
чтобы он отклонился до горизонтального
C
1
положения (рис. 3.31).
B
1
Решение
h
C
l
C
0
G
В число данных и искомых в задаче
величин входят ω
системы, определяемое углом
, ω1 = 0 и перемещение
0
В0АВ
1
Следовательно, для решения задачи
можно воспользоваться теоремой об из-
B
0
Рис. 3.31
менении кинетической энергии системы.
Кинетическая энергия. Обозначим М –
масса стержня. В начальном положении
.
(1 / 2 ) (1 / 2) 1 / 3 1 / 6 .() ) (
T J Ml Ml
10 0 0
А
В конечном положении
22222
Т
2
= 0, так как скорость стержня равна нулю.
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]