Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Механика. Теоретическая механика. Учебное пособие
.pdf
необходимо найти из условий равновесия сил, действующих уже на
R
/
R
R
свободное тело (рис. 1.12, б).
Определение реакций связей имеет практическое значение, когда,
зная их, мы согласно аксиоме 4 будем знать и силы давления на связи.
Последние нужны для расчета прочности элементов конструкций в
курсе «Сопротивление материалов».
1.2. Система сходящихся сил
Силы называются сходящимися, если линии действия всех сил, составляющих систему, пересекаются в одной точке. Система сходящихся сил либо приводится к равнодействующей
новесии.
R, либо находится в рав-
Геометрический способ сложения сил.
Геометрическая сумма R двух сил F
и F
1
(рис. 1.13) находится согласно аксиоме о па-
раллелограмме сил
модуль
R = F
R определяется выражением
22
FF FF FF .
12 12 12
+ F2,
1
2cos(,)
Наиболее простым будет способ построения силового многоугольника (рис. 1.14). Для
нахождения этим способом суммы сил
F
откладываем от произвольной точки О в
4
масштабе вектор
ем начало вектора
F
, к концу его прикладыва-
1
F
и т. д. После этого нача-
2
F
, …,
1
ло первого вектора О соединяем с концом по-
F
следнего вектора
, направив R навстречу
4
последней силе. Этот вектор дает величину и
направление равнодействующей
4
R = F1 + F2 + F3 + F
=
4
iF
F
1
2
A
F
4
O
.
i
1
F
2
Рис. 1.13
O
F
F
1
F
Рис.1.14
F
1
F
2
3
F
2
F
3
4
11
n
x
F
F
/
x
yFz
/
/
x
x
x
/
В
В случае действия n сил R =
F .
i
1
i
Таким образом, система сходящихся сил имеет равнодействующую,
равную геометрической сумме этих сил и приложенную в точке их пересечения.
Аналитический способ сложения сил
. Аналитический метод
задания силы заключается в том, что, выбрав произвольно прямо-
z
z
В
γ
A
F
α
F
β
F
O
x
x
F
, Fy, Fz. Обозначим через α, β, γ углы, образованные направлением
x
силы
Рис. 1.15
F с направлением осей координат.
угольную систему координатных осей
Оxyz (рис. 1.15), задают проекции силы
на координатные оси: , ,
FF и ко-
ординаты точки А приложения силы.
y
Для получения проекции силы
(рис. 1.15) в точку А поместим систему
координат Аxyz, проведем через конец
y
вектора В три плоскости, перпендикулярные координатным осям, и отсечем
этими плоскостями на осях проекции
F
yz
F
Проекцией силы на ось называется скалярная величина, равная
взятой с соответствующим знаком длине отрезка, заключенного между
проекциями начала и конца силы.
Проекция силы
= AB1 = ab = F cos.
F
x
Если сила перпендикулярна оси, то ее
проекция на эту ось равна нулю.
С учетом данного определения проекции
силы на ось будем иметь (см. рис. 1.15):
F
= Fcos , Fy = Fcos, Fz = Fcos .
x
F на ось х (рис. 1.16):
B
F
A
α
1
F
O
a
b
Рис. 1.16
С другой стороны, используя известное свойство диагонали прямоугольного параллелепипеда, определяем модуль равнодействующей
силы и косинусы углов ее с осями координат:
FFFF
222
xyz
,
cos / , cos / , cos /
FFFFF .
xyz
12
Аналитический способ сложения сил. Используется теорема
x
R
R
7
геометрии: проекция вектора суммы на какую-нибудь ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось, т. е.
nnn
, ,
FR FR F
ix y iy z iz
111
iii
где R
, Ry, R
x
щей на оси x, y, z; F
лы
F
на те же оси.
i
– проекции равнодействую-
z
, Fiy, Fiz – проекции си-
ix
Так, для системы сил, представленных на
рис. 1.17, имеем следующий результат:
F F F F ab bc cd de ae
1234
xx xx x
,
a
F
2
F
1
R
e
b
Рис.1.1
F
3
F
4
x
d
c
.
Условия равновесия системы сходящихся сил. Для равновесия
системы сходящихся сил, действующих на тело, необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая этих сил равнялась нулю, т. е.
R = 0.
Геометрическое условие равновесия – силовой многоугольник,
построенный на силах, замкнут.
Аналитические условия равновесия:
для пространственной системы сил R
i
n
F
ix
1
n
0
,
F
1
i
= 0, Ry = 0, Rz = 0 или
x
n
0
,
F
iy
i
iz
1
0
;
для плоской системы сходящихся сил
i
n
F
ix
1
n
0
,
i
1
0
F
.
iy
Пример. Вычислить натяжение Т троса АВ и усилие R стрелы АС
мачтового крана, несущего груз весом G = 2 кН (рис. 1.18, а).
Решение
Диаграмма свободного тела. Рассмотрим равновесие стрелы АС.
В точке А к ней приложена активная сила
G (сила тяжести груза).
Мысленно освободимся от связей и заменим их реакциями (рис. 1.18, б).
В точке А приложена реакция
В точке С к стреле приложена реакция
T троса АВ, направленная от А к В.
R опоры С, направленная вдоль
стрелы.
13
x
y
А
R
R
B
15°
15°
A
G
T
A
180° − 30°
G
C C
а
б в
Рис. 1.18
30°
15°
T
G
15°
Геометрический способ. Так как все три силы G, T, R, приложенные к стреле, уравновешены и пересекаются в одной точке А, то силовой треугольник должен быть замкнут (рис. 1.18, в). С использованием
силового треугольника по теореме синусов с учетом sin (180° − α) = sin α
получим следующее решение:
GT R
sin15 sin15 sin(180 30 )
,
T = G, S = 1,93 G.
Ответ
Аналитический способ. Перенесем точку приложения силы R вдоль
линии ее действия в точку А и рассмотрим условия равновесия этой
точки (рис. 1.19). Выберем в точке А оси координат
xy. Запишем условия равновесия для точки А:
n
0
1
i
n
F
i
1
ix
0
F
. cos15 cos30 0RT G .
iy
cos 60 cos75 0TR
,
T
15°
R
Рис. 1.19
G
Решая совместно два уравнения, получаем:
T = G, R = 1,93 G.
Ответ
Теорема о трех непараллельных силах: если под действием трех
непараллельных сил тело находится в равновесии, а линии действия
двух сил пересекаются, то все силы лежат в одной плоскости и их линии действия пересекаются в одной точке.
14
Пусть на тело действует система
B
R
A
B
A
A
B
B
F
трех сил
ствия сил
(рис. 1.20). Согласно следствию из аксиомы 2 силы
в точку О, а по аксиоме 3 их можно заменить одной силой
+ F2. Таким образом, рассматриваемая
система сил приведена к двум силам
и
F
F
должны иметь общую линию действия, но тогда линии действия
3
F
, F2, F3, причем линии дей-
1
F
, F
пересекаются в точке О
1
2
F
, F2 можно перенести
1
R, причем R = F
F
3
+
1
F
1
О
F
2
Рис. 1.20
A
R
. Так как тело находится в равновесии, то по аксиоме 1 силы R и
3
1
F
2
всех трех сил должны пересекаться в одной точке.
Пример. Тяжелая однородная балка ВС весом G = 15 кН и длиной
2l = 6 м поднимается за концы на двух тросах длиной а = 4 м и b = 3 м
(рис. 1.21, а). Определить натяжение тросов.
Решение
Диаграмма свободного тела. Рассмотрим равновесие балки. К ней
приложена активная сила
циями
Т
и Т2. Так как Т1 и Т2 направлены вдоль тросов и пересека-
1
G. Отбросим связи (тросы), заменив их реак-
ются в точке подвеса А, то согласно теореме о равновесии трех непараллельных сил и вертикальная сила
G пройдет через точку А. Таким
образом, балка займет такое положение, при котором ее середина и
точка подвеса будут находиться на одной вертикали.
а б
a
2l
C
T
в г
1
C
G
O
b
T
2
Рис. 1.21
C
a
G
b
O
2l
T
2
T
1
15
Геометрический способ. Прежде всего необходимо правильно рас-
R
k
положить балку от точки подвеса. Построим в определенном масштабе
треугольник АВС (рис. 1.21, б) по трем сторонам a, b, 2l и проведем
медиану АО. Затем построим тот же треугольник, но ориентированный
так, чтобы медиана АО была расположена вертикально (рис. 1.21, в).
Такое положение будет соответствовать равновесному положению
лки. Из силового треугольника, в котором сила
ба
Т
лю и по направлению, а силы
и Т2 – по направлению (рис. 1.21, г), с
1
G известна и по моду-
учетом масштаба находим:
Т
= 18 кН, Т2 = 13,5 кН. Ответ
1
1.3. Параллельные силы
Приведение к равнодействующей двух параллельных сил,
направленных в одну сторону
ствуют две параллельные силы
приложенные в точках А и B (рис. 1.22). Требуется найти их равнодей-
A
R.
1
F
a
2
C
Рис. 1.22
O
P
2
b
m
F
2
P
F
1
F
1
ствующую
P
1
Q
1
точку О, где пересекаются их линии действия, и разложим на первоначальные составляющие. После этого в точке О будут действовать две
P
уравновешенные силы
вдоль одной прямой силы
и P2, которые отбросим, и две направленные
1
F1 и F
меним их равнодействующей
(сложение сил). Пусть на тело дей-
F1 и F
, направленные в одну сторону и
2
Соединим точки приложения
данных сил отрезком АВ. На основе аксиом 1 и 2 перейдем от данной системы сил к эквивалентной
ей системе сходящихся сил
P
B
2
Q
. Для этого приложим в точках
2
А и В две уравновешенные силы
и
P
(P
= − P1), направленные
2
2
вдоль прямой АВ. Сложим силы
Q
2
P
и P
1
с силами F
2
и F
1
вилу параллелограмма. Полученные силы
. Эти силы перенесем в точку С и за-
2
Q1 и Q
перенесем в
2
R:
R = F1 + F
,
2
Q1 и
по пра-
2
P
1
16
модуль которой R = F1 + F2. Очевидно, что линия действия равнодей-
F
F
А
С
R
ствующей параллельна линиям действия слагаемых. Из подобия треугольников Оак и ОАС, а также Оbm и ОBС получим соотношение
F
/ F2 = BC/AC.
1
По этому соотношению определяется точка приложения равнодействующей.
Таким образом, система двух параллельных сил, направленных в
одну сторону, имеет равнодействующую, параллельную этим силам,
причем ее модуль равен сумме модулей слагаемых; линия действия
равнодействующей делит расстояние между точками приложения слагаемых сил внутренним образом на части, обратно пропорциональные
модулям этих сил.
Приведение к равнодействующей двух параллельных сил,
направленных в разные стороны
(сложение сил). Пусть F
1
> F
(рис. 1.23). Приведем (без вывода) окончательные результаты:
модуль равнодействующей
R = F
– F2,
1
положение точки С
F
/ F2 = BC/AC или АС=АВ
1
F
2
.
F
12
2
В
F
1
Рис.1.23
F
Таким образом, две не равные по модулю противоположно направленные параллельные силы имеют равнодействующую, параллельную
этим силам, причем ее модуль равен разности модулей слагаемых; линия действия равнодействующей делит расстояние между точками
приложения слагаемых сил внешним образом на части, обратно пропорциональные модулям этих сил.
2
Распределенные силы. Так как все теоремы и аксиомы статики
формулируются для сосредоточенных сил, то необходимо рассмотреть
способы перехода от распределенных сил к сосредоточенным силам.
Ограничимся случаем распределенных сил по длине линии. Распределенные силы по длине линии задаются их интенсивностью:
lim
q
L
0
(Н/м),
L
где ΔF – сила, действующая на элемент длины линии ΔL.
17
1. Силы равномерно распределены вдоль отрезка прямой (рис. 1.24).
R
R
R
B
B
B
Равнодействующая R равна
n
qL qL
i
1
i
R (показана пунк-
,
A
R = qL
q
L/2
L
Рис. 1.24
qL
L
i
i
qL
где
– сосредоточенная сила, дей-
i
ствующая на малом отрезке длиной
L
(рис. 1.24).
i
Равнодействующая
тиром на рис. 1.24) параллельна распределенным силам и приложена
вследствие симметрии распределенных сил в середине отрезка
Силы распределены по отрезку
2.
прямой с интенсивностью, изменяющейся по линейному закону
(рис.
1.25). Обычно – это треугольник. Рав-
нодействующая
где
q
– наибольшая интенсивность
max
силы. Наиболее просто
R равна
(1/2 )
qL ,
max
R можно
A
qΔx
x
(2/3)L
Δх
L
Рис. 1.25
АВ.
R
q
max
C
определить путем интегрирования:
LL
q x qdx q x L dx q L
00
где
чении
x. Точка С приложения равнодействую-
max max
/qq xL – текущее значение силы в се-
max
щей смещается в сторону, где интенсивность силы больше, и совпадает с центром тяжести площади треугольника, т. е.
3.
Силы равномерно распределены по дуге
окружности
(рис. 1.26). Равнодействующая R
АС = (2/3) L.
O
n
lim ( / ) (1/ 2) ,
y
R
A
x
x
q
0
1
i
h
равна
Рис. 1.26
18
R = qh.
1.4. Пара сил
F
F
F
A
F
F
A
Понятие пары сил. Пусть имеем две равные по модулю противо-
||.||
FF
положно направленные параллельные силы
дуль равнодействующей равен нулю (
R = F
12
− F2 = 0), а линия дей-
1
ствия ее находится на бесконечном удалении от линии действия слагаемых сил. Такая система сил называется
пара сил − система двух сил,
равных по модулю, параллельных и направленных в противоположные
стороны.
Пара сил представляет собой неуравновешенную систему, которая
не может быть заменена одной силой. Говорят, что пара сил не имеет
равнодействующей. Действие пары сил на твердое тело сводится к
вращательному эффекту. Пара сил является неприводимым (не упрощаемым) элементом ст
атики; наряду с силой
она является вторым самостоятельным элементом статики
.
Пример пары сил: если лист бумаги при-
колоть к поверхности булавкой и приложить
к телу пару сил (рис. 1.27), то тело будет
вращаться вокруг булавки в плоскости поверхности.
Момент пары сил. Для характеристики вращательного эффекта
вводится понятие момента пары. Здесь рассмотрим свойства пары сил,
лежащих в одной плоскости (рис. 1.28).
h
B
Плоскостью действия пары называется плос-
кость, проходящая через линии действия сил пары
Плечом пары
называется кратчайшее расстояние h
между линиями действия сил пары (длина перпендикуляра, опущенного из любой точки на линии
действия одной из сил пары на линию действия
Рис. 1.28
Моментом пары сил на плоскости
другой силы этой пары)
.
называется величина, равная
произведению модуля одной из сил пары на ее плечо, взятому с соответствующим знаком:
M = ± Fh.
Тогда мо-
B
Рис. 1.27
.
19
Принимаем «+» в случае, если пара стремится повернуть тело против
MM
F
M
A
хода часовой стрелки, и «–» в случае, если вращение – по ходу часовой
стрелки. Единица измерения момента – ньютон на метр (Н
· м).
Свойства пары сил. Не изменяя действия на тело, пару сил можно:
как угодно перемещать в ее плоскости;
переносить в любую плоскость, параллельную плоскости дей-
ствия этой пары;
изменять модуль сил и плечо пары, но так, чтобы ее момент (т.е.
произведение модуля силы на плечо) и направление вращения оставались неизменными.
Отметим еще два полезных свойства пары:
алгебраическая сумма проекций сил, образующих пару, на лю-
бую ось равна нулю;
алгебраическая сумма моментов сил, образующих пару, относи-
тельно любой точки постоянна и равна моменту пары.
Таким образом, чтобы задать пару сил, лежащую
в плоскости, достаточно задать ее момент; чему при
этом равны силы пары или ее плечо и где пара расположена в плоскости действия – несущественно.
На практике пару сил часто изображ
ают круговой
стрелкой, указывающей направление поворота, не
Рис. 1.29
изображая сами силы. На рис. 1.29 показано, что на
тело действуют сила
F и пара сил с моментом M.
Сложение пар. Система пар, лежащих в одной плоскости, эквива-
M
лентна одной равнодействующей паре
, момент которой равен ал-
R
гебраической сумме моментов слагаемых пар, т. е.
.
Условие равновесия пар сил
R
. Плоская система пар находится в
равновесии, если алгебраическая сумма моментов всех пар равна нулю, т. е.
Σ M = 0.
Пример. На балку длиной l = 2 м, свободно опирающуюся на глад-
кий уступ
ментом
А и шарнирно укрепленную в точке В, действует пара с мо-
М = 1500 Нм
(рис. 1.30). Определить реакции в опорах.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]