Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Механика. Теоретическая механика. Учебное пособие
.pdf
MFh
A
M
M
M
M
R
а
B
l
R
б
R
в
R
R
г
R
Рис. 1.30
Решение
Пару может уравновесить только другая пара с равным, но проти-
воположно направленным моментом (рис. 1.30,
Rl = M → R = M / l =
б). Тогда
750 Н. Ответ
Отметим, что независимо от того, где приложен внешний момент,
реакции в опорах не изменяются (рис. 1.30,
в, г).
1.5. Плоская система
произвольно расположенных сил
Плоской системой произвольно расположенных сил называют та-
кую систему сил, линии действия которых лежат в одной плоскости и
не пересекаются в одной точке.
Момент силы. Моментом силы F относительно данной точки О
(рис. 1.31) называют произведение модуля силы на плечо, т. е. на длину
перпендикуляра, опущенного из точки
нию действия этой силы:
F
).(
O
Если сила стремится повернуть тело вокруг
данной точки против часовой стрелки, то момент считают положительным; если по часовой
стрелке – отрицательным.
Момент силы относительно точки равен нулю, если сила проходит
через эту точку, так как в этом случае
О на ли-
h
F
О
Рис. 1.31
h = 0.
Приведение силы к данной точке. Действие силы на тело не из-
меняется, если ее перенести параллельно самой себе в произвольно
выбранную точку
О, приложив при этом пару сил, момент которой
21
равен моменту данной силы относительно точки О. Такую пару назы-
М
вают
присоединенной, а точку О – точкой приведения. Окончательно
получается
эквивалентная система, состоящая из силы, равной задан-
ной силе по модулю и направлению, и присоединенной пары.
Пусть имеем силу
F, приложенную к телу в точке B (рис. 1.32, а).
Покажем, что силу можно переносить на другую, параллельную линию
действия.
О
B
а
Приложим в точке
F
F′′
О, выбранной за точку приведения, равновесную
F′
h
О
б в
Рис. 1.32
F
B
F′
B
О
систему двух равных по модулю, но противоположных по направлению сил
модули этих сил равны между собой:
F составит пару сил, модуль момента которой M = Fh. В итоге вме-
и
сто силы
дулю и направлению, но приложенная в точке
пара сил, модуль момента которой
F и F, параллельных заданной силе F (рис. 1.32, б). Пусть
F′ = F′′ = F. Тогда система сил F′′
F, приложенной в точке B, получена сила F, равная ей по мо-
O, и присоединенная
M = Fh (рис. 1.32, в).
Приведение системы сил к данному центру. Пусть дана произ-
вольная плоская система сил
вольно выбранной точке
n сил и n присоединенных пар.
ем
F
, F2, …, Fn. Приводя все силы к произ-
1
О, называемой центром приведения, получа-
Геометрическую сумму сил произвольной плоской системы назы-
главным вектором R этой системы
вают
R = F
+ F2 +…,+ Fn = Σ Fi.
1
Главный вектор не изменяется с изменением центра приведения.
Алгебраическую сумму моментов сил произвольной плоской системы относительно точки
системы сил относительно точки
MO = M
О называют главным моментом M
O:
+ M2 +…+ Mn = Σ M
1
.
О
Главный момент изменяется с изменением центра приведения.
22
этой
O
Теорема Пуансо: любая произвольная система сил, приложенных к
твердому телу, эквивалентна системе, состоящей из одной силы, приложенной в какой-либо точке
вольную систему сил можно привести к главному вектору
женному в центр приведения, и главному моменту
этого центра приведения).
О тела и одной пары (или, кратко, произ-
M
относительно
O
R, прило-
Теорема Вариньона
(о моменте равнодействующей силы): если
плоская система сил приводится к равнодействующей, то момент этой
равнодействующей относительно какой-либо точки равен алгебраической сумме моментов всех сил данной системы относительно той же
самой точки
. Другими словами, момент от равнодействующей равен
сумме моментов от составляющих.
Пусть система сил приводится к равнодействующей
через точку
точку
О
О. Возьмем теперь в качестве центра приведения другую
. Тогда согласно теореме имеем:
1
n
() ( )
MM
RF.
OOi
11
i
1
R, проходящей
Пример. Требуется определить момент
силы
F относительно точки О
Здесь вычисление плеча
(рис. 1.33).
1
h силы затрудни-
тельно. Для использования теоремы Вариньона разложим силу
щие
F
и F2. Тогда момент силы F отно-
1
сительно точки
О
1
F на составляю-
можно вычислить как
сумму моментов каждой из сил относи-
F
2
O
2l
O
1
h
Рис. 1.33
F
α
F
1
l
тельно этой точки:
M
(F) = − F
O1
l +F
(2l) = − (F cos α) l + (F sin α) 2l .
1
2
Условия равновесия плоской системы сил. Необходимым и до-
статочным условием равновесия системы сил является равенство нулю
главного вектора и главного момента. Для плоской системы сил:
n
0
i
i
1
MM
RF,
О – произвольная точка в плоскости действия сил.
где
n
()0
O О i
i
F ,
1
23
1-я форма условий равновесия. Так как
x
R
x
R
R
22
RR,
y
n
F
,
ix
1
i
n
F
yiy
,
1
i
уравнения равновесия имеют вид
n
i
F
ix
1
0
,
i
n
F
iy
1
0
,
i
n
1
M
Oi
()0
F .
2-я форма условий равновесия выражает равенство нулю алгебраи-
ческих сумм моментов всех сил относительно двух любых точек
А и В
и равенство нулю алгебраической суммы проекций всех сил на ось, не
перпендикулярную прямой, проходящей через две выбранные точки:
Здесь ось
n
()0
M
1
F ,
А i
i
x не перпендикулярна отрезку АВ.
i
n
M
1
()0
F ,
Bi
i
n
0
F
1
.
ix
3-я форма условий равновесия выражает равенство нулю алгебраи-
ческих сумм моментов всех сил относительно любых трех точек
А, В, и
С, не лежащих на одной прямой:
i
n
M
1
()0
F ,
А i
i
n
M
1
()0
F ,
Bi
i
n
1
M
Ci
()0
F .
Пример. К балке приложены сосредоточенная сила F = 16 кН,
равномерно распределенная нагрузка интенсивности
(рис. 1.34). Угол α = 30°,
а = 3 м, b = 7 м, L = 12 м. Сила тяжести балки
q = 1,2 кН/м
G = 5 кН. Определить реакции опор.
Решение
Диаграмма свободного тела.
акциями
щей
X
, YA, YB, а распределенную нагрузку – ее равнодействую-
A
Q = q(L – b), приложенной в середине отрезка DB (рис. 1.34).
Действие опор на балку заменяем ре-
Уравнения равновесия. Определяем реакции опор:
n
()0
M
1
i
Y
F ; − (F sin α)a – GL / 2 – Q (b + (L – b) / 2) + Y
А i
= 9,25 кН. Ответ
B
L = 0,
B
24
A
BAB
D
B
z
A
y
a=3м
Y
А
F = 16 кН
α = 30°
b =7м
F
α = 30°
q = 1,2 кН/м
L =12м
q
x
Y
X
А
C
G = 5кН
n
()0
M
1
i
Y
n
F
ix
1
i
F ; −Y
Bi
0
; X
L + (F sin α)(L – a) + GL / 2 + Q (L – b) / 2 = 0,
A
= 9,75 кН. Ответ
A
– F cos α = 0 → XA= F cos α = 13,8 кН. Ответ
A
D
Q
Рис. 1.34
1.6. Равновесие пространственной системы
произвольно расположенных сил
Момент силы относительно оси. Введем
понятие проекции силы на плоскость. Пусть
задана сила
xOy, перпендикулярная оси z (рис.1.35).
мер,
F и некоторая плоскость, напри-
Опустим из начала и конца вектора силы
перпендикуляры на эту плоскость.
Проекцией силы на плоскость называется
вектор, начало и конец которого совпадает с
x
проекцией начала и проекцией конца силы на
эту плоскость. Так, проекцией силы
плоскость
xOy будет вектор F
(см. рис. 1.35).
xy
F на
25
O
B
B
1
F
Рис. 1.35
F
y
A
1
xy
Момент силы относительно оси равен произведению модуля про-
x
y
y
екции силы на ее плечо, взятому с соответствующим знаком:
M
О
(F) = Mz(Fxy) =
z
F
xy
h,
h – плечо силы F
h
где
относительно точки О
xy
(рис. 1.36). Если наблюдатель видит со стороны
F
xy
Рис. 1.36
положительного направления оси
стремится повернуть тело вокруг оси
хода часовой стрелки, то берется знак «плюс»; в
противном случае – знак «минус».
z, что сила F
z против
xy
Отметим, что проекция силы на ось есть скалярная величина, про-
екция силы на плоскость – вектор.
Частные случаи:
если сила параллельна оси, то ее момент относительно этой оси
1)
F
равен нулю (
2)
если линия действия силы пересекает ось, то ее момент относи-
тельно оси равен нулю (
= 0);
xy
h = 0).
Пример. Вычислить относительно осей x, y, z моменты силы F,
которая действует на горизонтальную плиту
(рис. 1.37).
Решение. Координаты точки С приложе-
ния нагрузки:
x = a/2, y = b/2, z = 0.
Проекции силы
F
Моменты силы
M
F на оси:
= 0, Fy = 0, F
x
= –F.
z
F относительно осей x, y, z :
(F) = –Fb/2, My(F) = Fa/2, Mz(F) = 0. Ответ
x
x
z
О
a
Рис. 1.37
b
C
F
Уравнения равновесия пространственной системы произвольно
расположенных сил.
к твердому телу, главный вектор
Если при равновесии системы сил, приложенных
R = 0, то его проекция на каждую ко-
ординатную ось также равна нулю. Это справедливо и для главного
момента, если
M = 0. Из этих векторных условий равновесия про-
странственной системы сил следует шесть уравнений равновесия:
nn
00
FF
ix ix
ii
11
,
n
0
F,
iy
1
i
i
n
0
F
1
,
iz
26
nn
C
K
A
()0 () 0
MM
ii
11
FF
xi xi
,
n
i
1
M
yi
()0
F ,
i
n
M
1
()0
F .
zi
Следовательно, для равновесия пространственной системы сил,
приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы три
суммы проекций всех сил на оси декартовых координат были равны
нулю и три суммы моментов всех сил относительно трех осей координат также были равны нулю.
Пример. Груз Q = 500 Н поднимается при помощи вертикального
ворота (рис. 1.38, а). Определить горизонтальную силу
Р, приложен-
ную к рукоятке ворота под углом α = 30°, а также реакции подшипников А, В, если участок веревки ЕК параллелен рукоятке CD. Сила тяжести барабана G = 200 Н, r = 10 см, а = 25 см, b =35 см, с = 15 см,
CD = l = 50 см.
Решение
Диаграмма свободного тела. Рассмотрим равновесие ворота
(рис. 1.38, б). К нему при
ложены активные силы G, Q, P. Отбросим свя-
зи, заменив их реакциями. Реакция веревки приложена к вороту в точке Е
Z
и численно равна Q. Подпятник А дает три реакции
а опора В – две
X
, YB. Всего имеем шесть неизвестных (Р и пять
B
, XA, YA,
A
реакций).
c
b
E
a
B
A
l
D
P
r
Q
а б
Рис. 1.38
z
C
c
X
B
E
a
X
x
Z
l
D
B
Y
B
P
Q
G
Y
A
y
A
27
Система координат. Направим оси координат с началом в точке А,
B
B
B
B
A
как показано на рис. 1.38, б.
Уравнения равновесия
n
0
F, sin 0
ix
1
i
n
0
F, cos 0
iy
1
i
n
0
F,
iz
1
i
n
()0
i
i
i
M
1
n
M
1
n
M
1
F , cos ( ) ( ) 0
xi
()0
F , ( )sin ( ) 0
yi
()0
F , sin 0Qr Pl
zi
PXX
PYQY
GZ
PabcYabQa
Pa b c X a b
, (1)
, (2)
0
A
A
A
, (3)
, (4)
, (5)
. (6)
Решая уравнение (6), получим:
(sin ) 200 НPQrl
. Ответ
Из уравнения (4):
()cos
Pabc Qa
Y
B
ab
8,3 Н
. Ответ
Из уравнения (3) находим
200 Н
ZG . Ответ
Решая уравнение (5), получим:
()sin
X
Pa b c
B
ab
28
125 Н
. Ответ
Из уравнений (1) и (2) соответственно имеем:
XP X
AB
YP YQ
AB
sin 25 Н,
cos 335 Н.
Ответ
Таким образом, принятые направления XB и YA следует изменить на
противоположные.
Темы для самостоятельного изучения
Для самостоятельного изучения предлагаются следующие темы.
1. Центр тяжести.
2. Трение.
Указанные темы изучаются по учебникам, приведенным в библиографическом списке для раздела «Теоретическая механика», в рамках
выделенных часов для самостоятельной работы с конспектированием
основных положений.
29
2. КИНЕМАТИКА
M
2.1. Кинематика точки
Определения. Траекторией точки называется геометрическое ме-
сто ее последовательных положений в пространстве с течением времени относительно рассматриваемой системы отсчета.
Если траектория точки является прямой линией, то движение точки
называют прямолинейным. Если же траектория – кривая линия (не обязательно плоская), то движение точки называется криволинейным.
Основными кинематическими характеристиками движения точки
являются ее положение, перемещени
Задачи, решаемые в кинематике: найти способы задания движения
и исходя из них найти методы определения скорости и ускорения.
Способы задания движения. Задать движение точки – это значит
указать способ, позволяющий в любой момент времени определить ее
положение по отношению к выбранной системе отсчета.
Векторный способ. Движение точки M относительно рассматри-
ваемой системы отсчета задается радиусом-вектором
функции времени (рис. 2.1):
Траектория
r
r = r (t). (2.1)
Задание векторного уравнения движения (2.1)
полностью определяет движение точки. При изменении t точка опишет кривую в пространстве. Эта кри-
O
вая называется годографом радиусом-вектора и является траекторией точки.
Положение
Рис. 2.1
Годографом какого-либо вектора называют кри-
вую, которую вычерчивает конец этого вектора при
изменении его аргумента.
Координатный способ. Положение точки по отношению к какой-
либо системе координат полностью определяется координатами точки.
В кинематике используются системы координат: прямоугольная декартова, цилиндрическая, сферическая, полярная. Выбор конкретной
системы координат определяется содержанием решаемой задачи.
Так, при использовании прямоугольной декартовой системы координат задаются координаты x, y, z точки М как известные функции
времени (рис. 2.2):
е, скорость и ускорение.
r этой точки как
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]