Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Механика. Теоретическая механика. Учебное пособие
.pdf
Единичный вектор uτ направлен
M
s
/
вдоль касательной к траектории в
точке
М в сторону положительного
отсчета дуговых координат
тор u
– по нормали, лежащей в
n
s, век-
соприкасающейся плоскости, в
сторону вогнутости траектории,
вектор u
– перпендикулярно к
b
первым двум так, чтобы векторы
, un, ub образовали правую
u
τ
тройку (систему координат).
Нормаль
центру кривизны, называется
ней нормаль
ственными осями
точкой
n, лежащая в соприкасающейся плоскости и направленная к
главной нормалью, а перпендикулярная к
b – бинормалью. Указанные оси τ, n, b называются есте-
. Естественные оси – это подвижные оси, связанные с
М и при движении точки по траектории направления есте-
ственных осей непрерывно изменяются.
Если положение осей τ,
новлено, то для определения V и a
могут быть использованы уравнения
для плоского движения.
τ
Пример. Траектория точки М –
окружность радиусом
(рис. 2.19). Начало отсчета дуговой
координаты
+
–
О
φ
a
τ
a
n
М
V
a
n
кон движения точки
рии
Рис. 2.19
O
s = 24 t – 4 t
Соприкасающаяся
плоскость
b
O
u
b
n
u
n
u
τ
Рис.2.18
n уста-
R = 10 см
s принято в точке О. За-
М по траекто-
2
(см).
Определить положение точки
времени
t
= 1 с.
1
М, ее скорость и ускорение в момент
Решение
Положение точки М на траектории удобно выразить через цен-
тральный угол φ:
φ =
s / R = (24 t – 4 t
При
t
= 1 с имеем φ = 20 / 10 = 2 рад · 57,3º = 115º. Ответ
1
41
2
) / R .
Скорость:
V = ds/dt = 24 – 8t.
t
При
= 1 с имеем V = 16 см/с. Ответ
1
Ускорение. Так как точка движется по криволинейной траектории,
то ее полное ускорение можно представить в виде двух величин: касательного а
и нормального аn ускорений.
τ
Касательное ускорение
//–8см / с .а dV dt d s dt
22 2
Эта величина остается постоянной с течением времени, такое дви-
жение называется
равнопеременным.
Нормальное ускорение
при
t
= 1 с имеем а
1
Так как
а VVR t
V > 0, а а
22 2
n
2
= 16
/10 = 25,6 см/с2.
n
< 0, то движение точки является равнозамедлен-
τ
()//24–8/10;
ным. Полное ускорение
aaa
22
= 26,82 м/с
n
2
. Ответ
2.2. Простейшие движения твердого тела
Различают два простейших вида движения твердого тела: поступательное движение и вращательное движение (вращение) вокруг неподвижной оси. Комбинированием простейших видов движения твердого
тела можно получать другие, более сложные его движения.
Поступательное движение – движение, при
котором любая прямая, жестко скрепленная с
телом, остается параллельной своему первона-
а
чальному положению в каждый момент времени. Так, поступательно движ
утся педали у велосипеда относительно его рамы во время движения, поршни в цилиндрах двигателя внутреннего сгорания относительно цилиндров. Траек-
б
Рис. 2.20
тории точек у поступательно движущегося тела
могут быть прямыми (рис. 2.20,
(рис. 2.20,
б).
42
а) и кривыми
Пусть твердое тело совершает поступательное
B
B
A
B
движение относительно неподвижной системы
координат
Oxyz (рис. 2.21).
Положение точек A и B тела определяется
их радиусами-векторами r
тор AB, соединяющий точки
r
= rA + AB,
B
и rB. Проведем век-
A
A и B. Тогда
где вектор AB постоянный по величине и
z
B
r
O
x
Рис. 2.21
A
r
y
направлению. Из полученного соотношения видно, что траектория точки
B получается из траектории точки A параллельным смещением то-
чек этой траектории на постоянный вектор AB. Таким образом, траектории точек
A и B будут одинаковыми кривыми, которые при наложе-
нии совпадают.
Скорость. Дифференцируя r
dd
rr
BA
= rA + AB по времени, получаем
B
d
()
AB
,
dt dt dt
и так как AB = const, то
d(AB)/dt = 0. Следовательно,
dd
rr
dt dt
A
, или V
= VA,
B
т. е. при поступательном движении твердого тела скорости всех его
точек в каждый момент времени равны между собой.
Ускорение. Дифференцируя по времени V
dd
VV
A
, или aB = aA,
= VA, получим
B
dt dt
т. е. при поступательном движении твердого тела ускорения всех его
точек в каждый момент времени равны между собой.
Таким образом, при поступательном движении твердого тела все
его точки движутся одинаково, так как их перемещения, скорости и
ускорения одинаковы. Для изучения поступательного движения твердого тела достаточно использовать кинематику одной точки. Уравнения посту
пательного движения твердого тела имеют вид
x
= xA (t), yA = yA (t), zA = zA (t).
A
43
Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси – движение,
–
C
A
M
φ
при котором все точки тела, за исключением тех, которые лежат на оси
вращения, движутся по криволинейной траектории – окружности. Так,
при вращении тела вокруг неподвижной оси
AB любая точка M тела
описывает дугу окружности с центром в основании перпендикуляра,
опущенного из этой точки на ось вращения
1.
Кинематические характеристики вращательного движения
AB (рис. 2.22).
Положение тела определяется углом поворота φ, который изме-
ряется между неподвижной линией системы отсчета
dφ
ω
линией
плоскости и направленной от точки
ε
AB к точке M (линии OC и R лежат в одной
плоскости). Угол поворота φ считается положительным, если
B
совершается против хода часовой стрелки,
R, расположенной в затемненной
поворот dφ (рис. 2.22)
OC и радиальной
O на оси
если смотреть с положительного направле-
O
ния оси
тела угол поворота определяется по формуле
R
dφ
го движения тела вокруг неподвижной оси
AB. При известном числе оборотов N
φ = 2π
N (рад).
Кинематическое уравнение вращательно-
есть
φ = φ (
t).
Рис. 2.22
Угловая скорость. Алгебраической уг-
ловой скоростью тела
ω в какой-либо момент времени называют первую производную по времени от угла поворота в этот момент
ddt
рад / с с
В технике угловую скорость часто задают числом
1
.
n оборотов в ми-
нуту (об/мин). Тогда
2
nn
.
60 30
Положительное направление вектора ω показано на рис. 2.22. При
ω > 0 тело вращается в направлении увеличения поворота, вектор ω
44
направлен вдоль оси вращения в ту сторону, откуда вращение видно
C
A
R
M
φ
s
происходящим против хода часовой стрелки.
Угловое ускорение характеризует скорость изменения угловой
скорости во времени. Модуль этого вектора может быть записан как
dt
2
.
2
dd
dt
Угловое ускорение ε, так же как и ω, изображают скользящим вектором, направленным по оси вращения. Если ε > 0 одного знака с ω, то
направление ε совпадает с направлением ω (рис. 2.22) и вращение тела
называют
ε и ω противоположны и вращение тела называют
Исключая время
ускоренным. Если ε < 0, а ω положительное, то направления
замедленным.
dt из полученных уравнений, получаем
dφ = ω dω.
ε
Если ε = const, то полученные уравнения могут быть проинтегрированы. В результате имеем:
Здесь φ
ω = ω
φ = φ
, ω0 – начальные значения угла поворота и угловой скорости
0
+ εt; ε = const;
0
+ ω
t + (1/2)εt
0
0
22
00
2
–;)2(
; ε = const;
ε = const.
соответственно.
2.
Кинематические характеристики точек
тела при его вращении
Траектории точек тела при его враще-
нии вокруг неподвижной оси есть
сти
, расположенные в плоскостях, перпенди-
окружно-
кулярных к оси вращения. Центры этих
окружностей находятся в точках пересечения
оси вращения с указанными плоскостями
(рис. 2.23). Радиусы данных окружностей
называются также
тела. При повороте на угол φ для точки
радиусом вращения
радиусами вращения точек
M с
R закон движения точки
по траектории будет
45
B
ω
O
ψ
O
1
Рис. 2.23
V
r
s = Rφ,
A
M
s – дуговая координата, соответствующая углу поворота φ = φ(t).
где
Положение точки M характеризуется радиусом-вектором r, про-
веденным из произвольной точки оси вращения, например, точки
O
(рис. 2.23).
Скорость любой точки тела, вращающегося вокруг неподвиж-
ной оси, называется
ки естественным образом
линейной скоростью. При задании движения точ-
s = Rφ величина линейной скорости будет
равна
VsR R
, или
V = ωR.
Как показано на рис. 2.23, скорость направлена по касательной к траектории в сторону вращения и перпендикулярна радиусу вращения
R.
Величина и направление вектора скорости V также вытекает из
определения векторного произведения двух векторов ω и r, т. е.
V = ω × r.
Эта формула называется
векторной формулой Эйлера.
Модуль линейной скорости V равен модулю векторного произведения векторов ω и r, т. е.
V = ωr sin ψ = ωR,
R = r sin (ω, r) = r sin ψ.
где
Ускорение. При естественном способе задания движения s = Rφ
полное ускорение точки можно вычислить как векторную сумму каса-
ω, ε
O
O
B
тельного а
разим эти ускорения через кинематические
характеристики вращательного движения тела
a
a
n
R
1
a
r
ω и ε. Имеем
V
откуда на основании формул
получаем
τ
Нормальное ускорение направлено по ра-
диусу вращения к центру вращения (рис. 2.24).
и нормального аn ускорений. Вы-
τ
а
= V 2/ρ = V 2/R, а
n
= d 2s/dt
τ
s = Rφ и V = ωR
2
а
= ω
R, аτ = ε R.
n
Касательное ускорение направлено по касательной к траектории в сторону вращения,
Рис. 2.24
1
2
,
46
если движение ускоренное (ε > 0), и в сторону, противоположную
А
x
А
вращению, если движение замедленное (ε < 0).
Модуль полного ускорения
22 2 4
aaaR
.
n
Пример. На шкив радиусом R = 0,2 м намотана нерастяжимая нить,
на которой висит груз
вертикально вниз из состояния покоя по урав-
нению
x = 4t
2
(где x – расстояние от неподвиж-
ной горизонтальной оси
приводит во вращение шкив. Найти закон вра-
B (рис. 2.25). Двигаясь
mn в метрах), груз
R
m
O
ω, ε
n
φ
щательного движения, угловую скорость и угловое ускорение шкива, а также полное ускорение точки обода колеса.
Решение
B
V
B
Система состоит из трех тел: шкива, груза и
нити. Шкив совершает вращательное движение,
а груз и свисающая часть нити – поступательное движение. Отметим точку
A, которая при-
надлежит одновременно двум телам – шкиву и
нити. Скорость точки
A, принадлежащей нити,
VA = VB = dx / dt = 8t.
m
a
O
a
Рис. 2.25
n
n
a
τ
Так как по условию задачи нить нерастяжима, то
VA = Rω = 0,2ω.
Тогда
0,2ω = 8
t → ω = 40t. Ответ
Угловое ускорение шкива находим дифференцированием
ε =
По условию φ
= 0, ω0 = 0. Следовательно, закон вращательного
0
dω / dt = 40 с
–2
. Ответ
движения шкива принимает вид
φ = φ
+ ω
0
Касательное ускорение точки
a
= εR = 40 · 0,2 = 8 м/с2;
τ
t + (1/2)εt
0
2
= 40t2/ 2 = 20t2. Ответ
A
нормальное ускорение
an = ω2R = (40t)
2
· 0,2 = 320t2.
47
Полное ускорение точки A
y
z
y
A
y
x
A
x
A
y
x
A
K
7
aaa t t
22 2 22 4
. Ответ
8 (320 ) 8 1 1600
n
2.3. Плоское движение твердого тела
Плоским (или плоскопараллельным) называется такое движение
твердого тела, при котором все его точки перемещаются параллельно
O
Рис. 2.26
xy (рис. 2.27). При плоском движении любая прямая AK, прове-
кости
денная в теле перпендикулярно плоскости
ступательно, т. е. траектории, скорости и ускорения всех точек этой прямой будут одинаковы.
Таким образом, для определения движения тела
необходимо знать движение лишь одной точки
на каждой прямой, проведенной перпендикулярно плоскости
xy. Взяв точки в одной плоскости,
параллельной плоскости
что плоское движение твердого тела определяется движением плоской фигуры
пересечения тела любой плоскостью П, параллельной плоскости
плоскость
его сечение
O
Oxy с плоскостью рисунка, а вместо тела изображать только
S (плоскую фигуру).
B
φ
Рис. 2.28
некоторой неподвижной плоскости.
Примером плоского движения тела может
служить качение цилиндра по горизонтальной
плоскости, при котором его основание остается
все время параллельным плоскости
xz (рис. 2.26).
Задание движения. Пусть все точки тела
перемещаются в плоскостях, параллельных плос-
xy, будет перемещаться по-
xy, можно утверждать,
S, полученной от
O
Рис. 2.2
xy (рис. 2.27). В дальнейшем будем совмещать
Положение сечения
S в плоскости Oxy определя-
ется положением какого-нибудь проведенного в
этом сечении отрезка
редь, положение отрезка
зная координаты
отрезок
ку
ния
AB образует с осью x (либо с осью y). Точ-
A, выбранную для определения положения сече-
S, называют полюсом.
AB (рис. 2.28). В свою оче-
AB можно определить,
x
, yA точки A и угол φ, который
A
S
48
При движении тела величины xA, yA точки A и угол φ будут изме-
A
M
φ
y
y
x
x
y
A
M
x
x
yφ y
A
B
няться. Чтобы знать закон движения тела, надо знать зависимости или
уравнения плоского движения твердого тела:
xA = f
(t), y
1
A
= f
2
(t), φ = f3(t).
Первые два уравнения определяют поступательное движение полюса
(φ = const), третье уравнение определяет вращательное движение сече-
ния вокруг полюса (
xA = const, yA = const).
Траектории точек тела. Рассмотрим точку M тела, положение
которой в сечении
углом
BAM = α (рис. 2.29). Движение тела
S определяется расстоянием b = AM от полюса A и
задано уравнениями плоского движения тела
xA = f
ординаты
Полученные равенства определяют закон
движения точки
временно дают уравнение траектории этой
(t), y
= f
1
(t), φ = = f3(t). Тогда ко-
A
2
x, y точки M в плоскости Oxy
x = x
+ b cos(φ + α),
A
y = y
+ b sin(φ + α).
A
M в плоскости Oxy и одно-
B
A
O
x
A
Рис. 2.29
точки в параметрическом виде. Обычное уравнение траектории получим, исключив из системы время
t.
Пример. Ползуны A и B, к которым прикрепляется линейка эллип-
сографа, перемещаются по взаимно перпендикулярным направляющим
(рис. 2.30). Расстояние
лить траекторию точки
V
B
Решение
Принимая за полюс точку
ляем положение точки
резком
AM = b. Положение самой ли-
AB = l. Опреде-
M .
A, опреде-
M на линейке от-
нейки задается углом φ. Тогда для координат
O
x и y точки M находим:
x = (b – l) cosφ, y = b sinφ.
V
Рис. 2.30
Исключая параметр φ, получаем, что
траекторией точки
49
M будет эллипс
22
M
M
A
M
A
M
M
A
x
/
/
xy
22
()
bl b
Ответ
1
с полуосями a = |b – l| и b и с центром в точке O.
Плоское движение тела: скорость. Введем две системы коорди-
нат (рис. 2.31):
перемещающаяся вместе с полюсом
y
Oxy – неподвижная система, Axy – подвижная система,
A поступательно. Положение точ-
ки
Подвижная
y
система координат
M определяется по отношению к
осям
Oxy радиусом-вектором
rrr
AMA
,
r
r
O
Неподвижная
система координат
Рис. 2.31
r
где r
MA
x
rAM – вектор, определяющий
положение точки
осей
– радиус-вектор полюса A,
A
MA
M относительно
Axy.
Скорость точки M:
rrr
ddd
V
M
dt dt dt
AMA
.
В полученном равенстве:
r
d
A
V
– скорость полюса А,
dt
r
d
MA
V
– скорость, которую точка M получает при rA = const,
dt
т. е. при вращении тела вокруг полюса
При этом величина скорости V
нии вокруг полюса
A
A будет
VMA = ω r
= VA + VMA.
V
M
MA
(V
MA
A. Окончательно получаем
точки M во вращательном движе-
r
MA
),
MA
где ω – угловая скорость вращения тела.
Таким образом, скорость какой-либо точки тела при его плоском
движении равна векторной сумме скорости полюса и скорости этой
точки в ее вращении вместе с телом вокруг этого полюса.
Модуль и направление скорости V
находятся построением парал-
M
лелограмма (рис. 2.32).
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]