Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы несплошного статистического наблюдения. Учебное пособие
.pdf
прямого пересчета, сначала определяется среднее количество детей
0
1
01
y
y
YY
возрастной категории 6-8 лет, основываясь на выборке. Если это число
равняется 2,4 ребенка, то для выявления общего количества мест,
необходимо произвести умножение этого среднего на общую численность
генеральной совокупности. В итоге, расчеты показывают, что для
первоклассников нужно предусмотреть 2400 мест.
Метод коэффициентов используется, когда выборочное исследование
направлено на верификацию и детализацию результатов полного
обследования.
В этом случае используется формула [8]:
, (4.6)
где Y1 – численность совокупности с поправкой на недоучет;
Y0 – численность совокупности без этой поправки;
у0 – численность совокупности в контрольных точках по
первоначальным данным;
у1 – численность совокупности в тех же точках по данным
контрольных мероприятий.
Этот метод находит применение в анализе социальных и
экономических данных, поскольку всестороннее изучение различных
явлений и динамик возможно лишь через систематическое наблюдение.
Метод коэффициентов также активно используется для верификации
данных, полученных методом выборочного исследования, особенно когда
требуется высочайшая степень достоверности и размер выборки включает
тысячи или даже десятки тысяч элементов. При таком подходе перечни
элементов выборочного исследования служат фундаментом для
формирования «контрольной» выборки, что в свою очередь представляет
собой выборку внутри первоначальной выборки.
При детализации информации через систематическое исследование с
101
использованием статистических выборок, осуществляется корректировка для
исправления пробелов в данных (поправка на недоучет), методика, часто
используемая при исследовании ограниченных групп населения или
объектов, количество которых не превышает нескольких сотен или тысяч.
Следует отметить, что второй способ используется для
распространения данных выборочного наблюдения, если его результаты
значительно уступают в точности данным статистической отчетности или
точность собранного статистического материала вызывает сомнение.
4.4 Малая выборка
В процессе оценки репрезентативности выборочной совокупности
ключевую роль играет ее размер. Размер выборки влияет на размер
допустимой погрешности выборки с заданной вероятностью и на методику ее
расчета.
В контексте рыночной экономики часто прибегают к анализу так
называемых малых выборок небольшого объема.
Малая выборка – это такое выборочное наблюдение, численность
единиц которого не превышает 30.
В контексте статистического анализа действий субъектов мелкого и
среднего бизнеса, кредитных организаций, аграрного сектора и прочих, где
как общее их количество, так и основные экономические индикаторы (к
примеру, количество работников) могут быть относительно невысокими,
применение выборок небольшого размера становится более обыденным по
сравнению с прошлым. Это идет вразрез с основным правилом выборочных
исследований, предполагающим улучшение качества и точности данных с
увеличением объема выборки, однако в определенных ситуациях необходимо
довольствоваться ограниченным количеством данных для анализа.
102
Англичанин Вильям Сили Госсет, известный под псевдонимом
МВ
xx
t
~
1n
МВ
n
xx
i
2
~
МВМВ
t
"Стюдент", в 1908 году стал пионером в разработке теории малых выборок.
Он продемонстрировал, что разница между средним значением выборки
малого объема и средним значением генеральной совокупности подчиняется
уникальному закону распределения.
При оценке результатов малой выборки величина генеральной
дисперсии в расчетах не используется. Для определения возможных пределов
ошибки применяется критерий Стьюдента [7]:
, (4.7)
где
малой выборке.
Величина вычисляется на основе данных выборочного наблюдения и
равна:
Предельная ошибка малой выборки определяется по формуле:
В контексте распределения t Стьюдента, в отличие от сценариев с
мера случайных колебаний выборочной средней в
. (4.8)
(4.9)
обширными выборками, вероятностное значение оценки зависит как от tстатистики, так и от размера выборки, при условии, что максимально
допустимая погрешность не будет превышать умноженную на t стандартную
ошибку в случаях с ограниченным объемом данных.
Также важно подчеркнуть, что выводы, сделанные на основе малых
выборок, обладают практической значимостью лишь в случае, когда
103
распределение изучаемого параметра в генеральной совокупности следует
нормальному или приближается к нему (асимптотически нормальное
распределение). Вдобавок, стоит принять во внимание факт, что
статистическая достоверность выводов на основе малых выборок уступает
точности, достигаемой при анализе больших объемов данных.
4.5 Общие понятия и схема статистической проверки гипотез
Для проверки предположений о характерах или параметрах
распределения случайной величины в генеральной совокупности широко
используются в статистике результаты выборочных наблюдений.
Предположения, которые планируется проверить с помощью специальных
статистических методов, называются статистическими гипотезами.
Поверка статистической гипотезы заключается в том, чтобы оценить,
можно ли считать случайным расхождение между выдвинутой гипотезой и
результатами выборочного обследования. Такая оценка всегда носит
вероятностный характер. Если расхождения между эмпирическими и
теоретическими значениями не выходит за пределы случайной ошибки, то
можно считать, что с заданной вероятностью выдвинутая гипотеза не
опровергается. При этом справедливость самой гипотезы не доказывается, а
лишь делается вывод о том, можно ли ее считать допустимой или
необходимо отвергнуть.
Гипотеза, подвергающаяся проверке, называется основной и
обозначается через
H0 : x x
. В ходе ее проверки необходимо убедиться в
0
отсутствии систематической ошибки между исследуемым параметром
генеральной совокупности и заданным его значением. Таким образом,
проверяется гипотеза о нулевом расхождении между ними, поэтому
основную гипотезу называют также нулевой.
104
Гипотеза, альтернативная основной, обозначается через H
: x x
1
.
0
В ходе проверке гипотезы используются данные выборочного
наблюдения, поэтому вывод о ее допустимости носит вероятностный
характер, т.е. не исключена возможность ошибки.
Различают следующие ошибки:
- ошибка первого рода заключается в том, что проверяемая
гипотеза является в действительности верной, но результаты проверки
приводят к отказу от нее;
- ошибка второго рода заключается в том, что проверяемая
гипотеза в действительности является ошибочной, но результаты проверки
приводят к ее принятию.
С целью определения соответствия результатов выборочного
наблюдения выдвинутой гипотезе, необходимо принять определенный
критерий, в соответствии с которым устанавливается, при каких результатах
выборочного обследования основная гипотеза не может быть отклонена, а при
каких от нее необходимо отказаться.
Критическая область – это такое подмножество, при попадании в
которое выборочной характеристики основная гипотеза должна быть
отклонена. Границы критической области устанавливаются так, чтобы
вероятность попадания в нее значений выборочной характеристики при
условии справедливости выдвинутой гипотезы была величиной достаточно
малой. Указанная вероятность называется уровнем значимости критерия
( ). Если критерий попадает в критическую область при верной нулевой
гипотезе, то эта гипотеза должна быть отвергнута, т.е. будет допущена
ошибка первого рода, вероятность которой равна
.
Если уменьшить
уровень значимости, то снижается вероятность появления ошибки первого
рода. Если же основная гипотеза неверна, то, уменьшая , мы увеличиваем
область допустимых значений и вероятность появления ошибки второго
рода. При устанавливании уровня значимости следует стремиться
минимизировать возможные потери, связанные с возникновением этих
105
ошибок. Обычно уровень значимости принимается равным 0,05; 0,01; 0,005;
axH :
0
axHaxH :,:
11
axH :
1
axH :
1
ax
0,001. В случае верности нулевой гипотезы, вероятность ее принятия равна
(1 −) [16].
Критическая точка – это точка, которая разделяет критическую
область и область принятия нулевой гипотезы.
Если обозначить вероятность ошибки второго рода через , то можно
определить вероятность того, что при использовании для оценки гипотезы
определенного критерия неверная гипотеза не будет принята. Эта
вероятность определяет мощность критерия, и она равна (1 − ).
Увеличение мощности критерия при неизменном объеме выборки
приводит к расширению критической области, т.е. повышению вероятности
ошибки первого рода. Если увеличить объем выборки, то можно снизить
вероятность их появления, но это не всегда возможно.
При заданном уровне значимости различают одностороннюю или
двустороннюю критическую область в зависимости от сформированной
альтернативной гипотезы.
Допустим, необходимо проверить гипотезу о среднем значении
признака в генеральной совокупности
, и в качестве критерия
принята выборочная средняя. «
Альтернативная гипотеза может быть представлена следующим
образом:
«1
. При достаточно большом объеме выборки распределение
, или
.»
возможных значений выборочной средней приближается к нормальному
распределению.
При случайном расхождении между выборочной и генеральной средней
они должны быть сгруппированы около величины
. Если же выборочная
средняя значительно меньше, чем а, то выдвинутая гипотеза должна быть
отклонена. В таком случае критическая область является левосторонней
(рисунок 4.1).»
106
S
)(/
1
PSS
05,0
05,0)(
1
P
x
~
1
0
2
05,0
2
1
2
1
)
~
(
2
t
t
dtetaxP
0
2
45,0
2
1
2
t
t
dte
t
t t
tt
dtedtetP .9,0
2
2
2
1
)(
0
22
22
axH :
1
Критическая
область
1
(критическая точка)
a
Рисунок 4.1 – Левосторонняя критическая область
«Если обозначить общую площадь, ограниченную кривой, отражающей
распределение выборочной средней, через S, а площадь критической области
через
значение выборочной средней
, то получим следующее:
, получим
. При уровне значимости
. Если в качестве критерия используется
, а критическая точка
случайную ошибку выборки, то можно записать» :[21]
Следовательно,
.
В таком случае значение интеграла вероятностей Лапласа в пределах
от –t до +t имеет вид:
представлена через
. (4.10)
2
. Критическая область при такой альтернативной гипотезе
является правосторонней (рисунок 4.2).
(4.11)
107
,05,0)
~
(
taxP
.05,0
2
1
2
1
)
~
(
0
2
2
t
t
dtetaxP
t
t
dte
0
2
45,0
2
1
2
axH :
1
05,0)
~
()
~
(
21
xPxP
.025,0
2
05,0
)
~
()
~
(
21
xPxP
1
2
.,
21
tata
Критическая
область
(критическая точка)
Рисунок 4.2 – Правосторонняя критическая область
При = 0,05 вероятность
т.е.
(4.12)
Из этого следует, что
.
3
. В этом случае строится двусторонняя критическая
область, вероятность попадания в которую при = 0,05 равна сумме двух
вероятностей:
.
Для того чтобы на основе одного уравнения найти две неизвестные
критические точки, вероятности попадания в правую и левую ветви
критической области принимаются равными (рисунок 4.3).
Следовательно, критические точки
равном расстоянии от величины а, т.е.
и
должны располагаться на
Тогда для расчета t-статистики используется значение интеграла
вероятностей Лапласа в пределах от – t до +t:
108
t
t
t
dtetaxP .05,0
2
1
1)
~
(
2
2
(4.13)
t
t
t
dte 95,0
2
1
2
2
Кр
итическая
Кр
итическая
1
a
2
(критическая точка)
Следовательно,
.
Рисунок 4.3 – Двусторонняя критическая область
«Полученные значения t при
= 0,05 справедливы лишь в том случае,
если объем выборочной совокупности достаточно велик. Если же выборка
малая, то для нахождения t-статистики при заданном уровне значимости
используется распределение Стьюдента.»
Проверка статистических гипотез состоит из следующих этапов [21]:
- формулируется основная и альтернативная гипотезы;
- для проверки справедливости гипотезы выбирается статистический
критерий;
- определяются критическая область и область допустимых значений,
значения критерия в критических точках;
- проводится выборочное обследование, по результатам которого
рассчитывается фактическое значение выбранного критерия;
- на основе сравнения фактического и критического значений
критерия делается вывод о принятии или отклонении выдвинутой гипотезы.
Для проверки разных видов гипотез (о среднем значении, законе
109
распределения, взаимосвязи признаков и т.д.) выбираются соответствующие
2
axH :
0
axt
~
30n
параметрические и непараметрические критерии (t-статистика (или
коэффициент доверия), t-статистика Стьюдента,
- критерий Пирсона; F-
критерий Фишера и др.). Для проведения оценки с использованием параметрических критериев необходимо знать закон распределения
генеральной совокупности. Непараметрические критерии могут применяться
при любом законе распределения, но при этом должна быть независимость
испытаний при формировании выборочной совокупности, на основе которой
проверяется выдвинутая гипотеза.
4.6 Проверка гипотез о средней
Чаще всего в статистической практике проверяются следующие
гипотезы о средних величинах:
- гипотеза о равенстве средней величины установленному нормативу;
- гипотеза о равенстве средних значений признака двух
совокупностей [21].
При проверке гипотезы о равенстве среднего значения признака в
генеральной совокупности некоторой величине
, в качестве
критерия используется нормированное отклонение выборочной средней от
заданной величины:
, (4.14)
где
средняя квадратическая ошибка выборочной средней, т.е.
средняя ошибка выборки.
В случае большого объема выборочной совокупности (
),
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]