Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Внутренние усилия и напряжения при прямом изгибе стержней в тестах. Учебное пособие
.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
А.В. Ильяшенко, А.Я. Астахова
ВНУТРЕННИЕ УСИЛИЯ И НАПРЯЖЕНИЯ
ПРИ ПРЯМОМ ИЗГИБЕ СТЕРЖНЕЙ
В ТЕСТАХ
Учебное пособие
Москва 2014
УДК 5.39.3
ББК 30.121
И49
Р е ц е н з е н т ы :
кандидат технических наук, профессор А.Н. Леонтьев,
кафедра сопротивления материалов ФГБОУ ВПО «МГСУ»;
доктор физико-математических наук, профессор С.В. Кузнецов,
научный сотрудник Института проблем механики РАН
Ильяшенко, А.В.
И49 Внутренние усилия и напряжения при прямом изгибе стержней в
тестах : учебное пособие / А.В. Ильяшенко, А.Я. Астахова ; М-во образования и науки Росс. Федерации, Моск. гос. строит. ун-т. Москва :
МГСУ, 2014. 82 с.
ISBN 978-5-7264-0847-7
Содержатся тесты и решения к ним по теме «Внутренние усилия и напря-
жения при прямом изгибе стержней», изучаемой в дисциплинах «Сопротивление материалов» и «Техническая механика». Во введении изложен теоретический материал по темам: «Ключевые правила и формулы», «Определение поперечной силы и изгибающего момента в поперечных сечениях стержней», «Характерные особенности эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов М,
«Напряжения в поперечных сечениях балки», «Расчеты на прочность». Рассмотрены разнообразные типы задач, даны подробные комментарии к решениям. Все тестовые примеры сформулированы в соответствии с общими требованиями для тестовых заданий базового уровня.
Для студентов, обучающимся по направлениям 270800.62 «Строительство», 270100.62, 270100.68 «Архитектура», 151600.62, 151600.68 «Прикладная
механика», 231300.62 «Прикладная матемтика» (бакалавры, специалисты), для
выполнения расчетно-графических работ и эффективной самостоятельной подготовки к контрольным работам и аудиторному тестированию.
УДК 5.39.3
ББК 30.121
ISBN 978-5-7264-0847-7 © ФГБОУ ВПО «МГСУ», 2014
Предисловие
Учебное пособие позволяет студентам проверить и расширить свои
знания и навыки в освоении теоретического и практического материала по
теме «Внутренние усилия и напряжения при прямом изгибе стержней».
С помощью представленных тестов можно подготовиться к контрольным работам и прохождению тестирования по соответствующим расчетнографическим работам: «Внутренние усилия при изгибе стержней»
«Определение напряжений в балках при изгибе. Расчет на прочность».
Задания сгруппированы по четырем разделам. Так как каждый тест
снабжен комментируемым ответом, то это позволяет учащемуся контролировать уровень своей подготовки в режиме «самотестирования».
К каждому тесту (заданию) предлагаются пять вариантов ответа. Причем все ответы помечены или символом «○» (
(квадрат).
Символом «○» обозначены ответы, из которых только один является
правильным, а символом «□» — ответы, из которых правильными являются
несколько из пяти предложенных (но не более четырех). Таким образом,
тестируемому дается некоторая подсказка, в целом упрощающая задание.
В следующем за ответами комментарии содержится решение поставленной
скому материалу. В конце каждого теста предлагается правильный ответ.
сопротивления материалов действуют такие же принципы. Студент должен
ответить на пять вопросов, включающих три задачи и два теоретических
задания. Время тестирования — 15 минут. Для получения удовлетворительной
предложенных.
противления материалов МГСУ А.Н. Леонтьеву за ценные советы и замечания.
в тесте задачи и краткие сведения по соответствующему теоретиче-
При прохождении реального аудиторного тестирования на кафедре
оценки необходимо правильно ответить на три вопроса из пяти
Авторы выражают особую благодарность профессору кафедры «со-
кружок) или символом «□»
и
3
Введение
x
КЛЮЧЕВЫЕ ПРАВИЛА И ФОРМУЛЫ
Плоский прямой изгиб — это напряженно-деформированное состояние,
возникающее в стержне при условии, что вся внешняя нагрузка лежит в
одной из главных плоскостей инерции —
стержня, zy — главные центральные оси инерции сечения.
Во всех примерах далее силовой плоскостью будет плоскость
внутренними усилиями, возникающими в поперечном сечении стержня, будут: поперечная сила
Q
и изгибающий момент Mz. В дальнейшем в тестах
y
для простоты часто будем отбрасывать индексы и писать кратко: Q и M.
О
R
A
R
A
x
Оxy или Oxz. Ох — продольная ось
n
n
R
B
М
z
Q
y
Оxy. Тогда
• Правило знаков для поперечной силы Q
Qy > 0, если она стремится вращать отсеченную часть балки по ходу ча-
совой стрелки (независимо от того, с какой стороны балки ведeтся расчeт:
«слева направо» или «справа налево»).
Q
y
Численно поперечная сила равна сумме проекций на нормаль к оси
балки всех нагрузок (включая реакции), расположенных с одной стороны
от рассматриваемого сечения.
4
y
>
0
• Правило знаков для изгибающего момента Mz
Mz > 0
, если он растягивает нижние волокна балки (изгибает стержень
выпуклостью вниз).
Численно изгибающий момент равен сумме моментов всех нагрузок
(включая реакции), приложенных к одной из частей балки, относительно
центра тяжести рассматриваемого сечения.
Эпюра моментов строится со стороны растянутого волокна балки.
• Дифференциальные зависимости, связывающие между собой внут-
ренние усилия Qy, Mz и распределенную нагрузку q
dQ
dx
y
;
()
qx
dM
dx
z
Qx
y
()
;
• Характерные особенности эпюр поперечных сил Q
2
dM
dx
z
qx
()
2
и изгибающих
y
.
моментов Mz
1. Если на участке балки распределенная нагрузка q = const, то попе-
речная сила
изгибающий момент
Qy
в пределах этого участка изменяется по линейному закону, а
M
— по закону квадратной параболы.
z
2. Если на участке балки распределенная нагрузка q изменяется по ли-
нейному закону, то поперечная сила
ся по закону квадратной параболы, а изгибающий момент
Qy
в пределах этого участка изменяет-
M
— по закону
z
кубической параболы.
3. Если на участке балки распределенная нагрузка
этого участка поперечная сила
Qy = const
, а изгибающий момент
q = 0
, то в пределах
ется по линейному закону.
4. Если эпюра
мент
M
в этом сечении имеет экстремум.
z
Qy
пересекает осевую линию балки, то изгибающий мо-
5
M
изменя-
z
5. В сечениях балки, где эпюра Qy имеет экстремум, на эпюре Mz воз-
у
x
x
никает точка перегиба.
6. В сечении балки, где приложена сосредоточенная сила, на эпюре
возникает скачок, численно равный величине этой силы. На эпюре
Q
M
в этом сечении появляется излом, направленный в сторону действия силы.
7. В сечении балки, где приложен сосредоточенный момент, на эпюре
M
возникает скачок, численно равный величине этого момента.
z
• Формулы для напряжений
В поперечных сечениях балки при плоском прямом изгибе действуют
нормальные
x и касательные = yx =
напряжения, определяемые по
xy
формулам
отс
х
M
z
y
;
J
z
QS
yz
Jbу
z
()
()
,
где Mz, Qy — соответственно изгибающий момент и поперечная сила в рассматриваемом сечении балки;
относительно главной центральной оси
рой ищется напряжение,
сечения (на уровне точки К) относительно оси
J
— осевой момент инерции всего сечения
z
z; у — координата точки К, в кото-
отс
()
S у
— статический момент отсечeнной части
z
z; b(y) — ширина сечения на
уровне указанной точки К.
y
z
z
z
О
К
y
отс
А
yx
)
y
(
b
y
6
Наибольшие (наименьшие) нормальные напряжения возникают
M
M
z
J
h
ниж
h
верх
z волокнах:
;
ниж
W
z
,
верх
W
z
в наиболее удаленных от нейтральной оси
MM
ниж
х
верх
х
zz
J
z
MM
zz
J
z
где
W
ниж
z
и
верх
W
− моменты сопротивления сечения для нижних и верх-
z
них волокон.
x
(
верх
х
р
е
в
h
-
)
> 0
z
О
ж
и
н
К
h
+
ниж
y
z
к
Наибольшие (наименьшие) нормальные напряжения в
симметричном
относительно нейтральной оси z сечении возникают в крайних волокнах
балки и определяются по формуле
z
нб
,
W
z
ниж верх
== =
WWW
где
zz z
.
h
2
7
• Правило знаков для нормальных напряжений
Знак плюс на эпюре нормальных напряжений
растянутых волокон, знак минус − со стороны сжатых.
• Правило знаков для касательных напряжений
x
ставится со стороны
x
Касательное напряжение
ной силы в рассматриваемом сечении: если
< 0
.
имеет такой же знак, как и знак попереч-
Qy > 0
, то
> 0
; если
Qy < 0
, то
Наибольшие касательные напряжения в симметричном относительно
центральной оси z сечении возникают в точках на уровне нейтральной оси.
Значения
ляет определить формула Д.И. Журавского:
для прямоугольного, круглого и двутаврового сечений позво-
нб
отс
QS у
yz
Jb y
z
при
у = 0
:
а)
8
б)
с
)
Главные напряжения
в балке при поперечном изгибе определяются
1,2
по формуле
2
.
1,2
2
.
xy
Углы наклона
х x
1, 2
22
главных напряжений к оси балки x вычисляются так:
1,2
tg
1,2
• Условия прочности при плоском прямом изгибе по методу предель-
ных состояний
⌂ Для балок из пластичного материала
(R
рас
= R
= R)
с несимметрич-
сж
ным относительно нейтральной оси поперечным сечением должно выпол-
няться условие прочности по нормальным напряжениям:
9
M
R
z
J
R
z
R
R
нб
нб
W
нм
,
с
где наименьший момент сопротивления
нейтральной оси
z до наиболее удаленного от нее волокна; M
Wy
нм
, yнб — расстояние от
нб
— наиболь-
нб
ший по абсолютной величине расчетный изгибающий момент. Сечение, в
котором действует
⌂ Для балок из
M
, называется опасным.
нб
пластичного материала с симметричным относительно
нейтральной оси сечением условие прочности по нормальным напряжениям упрощается:
M
где
WWW
нм нб
нб
нб с
W
z
.
,
⌂ Для балок из хрупкого материала (R
рас
R
) при расчете на прочность
cж;
необходимо удовлетворить двум условиям − на растяжение и на сжатие:
рас
нб расс
R
и
сж
с
нб сж
.
⌂ Условия прочности по касательным напряжениям записывают с помощью расчетного сопротивления материала при сдвиге
.
нб cs
Для деревянных балок
Rs = Rcк
расчетное сопротивление древесины
—
R
:
s
скалыванию вдоль волокон.
•
Разрушающая нагрузка при изгибе балки …
За пределом упругости характер распределения напряжений зависит от
диаграммы растяжения и сжатия материала. Используем идеализированную диаграмму Прандтля, в которой площадка текучести распространяется
безгранично. Тогда в предельном состоянии, когда напряжения во всех волокнах балки достигнут предела текучести, в опасном (наиболее напряженном) сечении появится так называемый
щий момент в этом сечении станет
пластический шарнир. Изгибаю-
разрушающим:
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]