Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Взрывные работы. Учебное пособие для вузов.pdf
Часть 3
РАСЧЕТЫ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ВЗРЫВНЫХ РАБОТАХ
241
Глава I
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ В ГОРНОМ МАССИВЕ
1.1. КОЛЕБАНИЯ
Основные понятия
Механическим колебанием называют периодичес
ки повторяющееся движение материальной точки
(тела) по какойлибо траектории, которую эта точка
проходит поочередно в противоположных направ
лениях. Для возникновения колебаний необходимы
условия:
1. Наличие у материальной точки (тела) избыточ
ной энергии (кинетической или потенциальной) по
сравнению с ее энергией в положении устойчивого
равновесия.
2. Действие на материальную точку (тело) возвра
щающей силы.
3. Избыточная энергия, полученная материальной
точкой (телом) при смещении из положения устойчи
вого равновесия, не должна полностью расходоваться
на преодоление сопротивления при возвращении в это
положение.
Колебания, которые совершает материальная точ
ка (тело) под действием только одной возвращающей
силы, называются собственными колебаниями точки
(тела).
Колебания материальной точки (тела), которые
происходят при действии на нее (тело) возвращающей
силы и силы сопротивления среды, называются сво
бодными колебаниями.
243
Часть 3. Расчеты динамических процессов при взрывных работах
Колебания тела, которые создаются периодически
действующей на тело внешней силой, называются
вынужденными колебаниями. Выраженное в секундах
время, затраченное на одно полное колебание, называ
ется периодом колебания. Число полных колебаний
тела в секунду называется частотой колебаний. Пе
риод Т и частота колебаний f находятся в зависимости:
1
f
=
T
Величина максимального отклонения колеблющей
ся точки (тела) от положения ее (его) устойчивого рав
новесия называется амплитудой колебания.
Избыточная энергия колеблющейся материальной
точки (тела) прямо пропорциональна ее массе, квадра
ту амплитуды и квадрату частоты колебаний.
Колебания, при которых смещение подчиняется
синусоидальному закону, называются гармонически
ми. В частности, колебания, которые происходят под
действием только одной возвращающей силы, пропор
циональной смещению, являются гармоническими.
Когда возвращающей силой является равнодей
ствующая силы упругости и силы тяжести, параметры
колебательного движения можно связать с параметра
ми движения точки по окружности.
Если точка совершает колебания с постоянными
амплитудой А и периодом Т, то проекция на один из
диаметров точки, равномерно движущейся по окружно
сти с радиусом А и периодом Т, совершает точно такое
же колебание (рис. 1.1). Это дает возможность изучать
особенности колебаний с помощью движения проекции
указанной выше точки по диаметру окружности (рис. 1.2).
Пусть точка С на рис. 1.2 равномерно движется по
окружности радиуса О’С = А, с угловой скоростьюω и
совершает полный оборот за время Т. Тогда проекция
точки С на прямую MN будет совершать колебания с
амплитудой А и периодом Т. Если отсчет времени вести
от момента, когда подвижной радиус занимает поло
жение О’С, а колеблющаяся точка — положение 0П, то
ϕω
за время t радиус повернется на угол
ция его конца С переместится по прямой MN на рассто
яние Х = DС1 = 0ПВ1. Смещение колеблющейся точки В
от положения равновесия из треугольника О’С1D:
244
=
t
, а проек
(1)
Глава 1. Колебания и волны в горном массиве
Ò
Ø
!
Ø
"
0
Ø
1
Ì
!
Ø
Ì
À
M
!
Ì
2
À
Ò
À
Ò
Рис. 1.1. Движение проекции точки, равномерно
перемещающейся по окружности, такое же как
колебание маятника:
1 — равномерно вращающийся диск; 2 — экран;
Ш
, Ш1... Ш4 — положение шарика на вращающемся диске;
1
М
, М2, М3 — положение маятника;
1
Т
, Т2, Т3 — положение проекции шарика и маятника на экране.
1
X=A sinϕ=A sin
ω
.
t
Здесьϕназывается фазовым углом, или фазой, и
выражается в радианах. Величинаωназывается круговой,
или циклической частотой. Отсчет времени можно
вести от любого момента, например от начальной фазы
ϕ
. Тогда фазу колебания можно выразить формулами:
0
π
ϕϕ ω ϕ
=+=+ =+
t
00 0
2
tft
ϕπ
T
2
Общее уравнение гармонического колебания примет вид:
π
2
X = Asin
ϕω ϕ
+= +
() ()
tA
00 0
sin sin
tA ft
T
ϕπ
=+
2
(3)
245
Часть 3. Расчеты динамических процессов при взрывных работах
Частота колебаний
1
ω
=
f =
2T
π
Ñ
Ñ
Ñ
!
Ñ
"
Ñ
0
#
Ñ
$
A
e
x
Ñ
D
&
Ñ
%
Â
Ì
Â
Â
!
K
Î
Â
Â
"
Â
Â
#
Â
N
Õ
\
Â
\\
\
Î
%
$
Â
T
Ò
"
Рис. 1.2. Связь между движением точки по окружности и
движением ее проекции по диаметру. (Справа дан
график гармонического колебания).
Свободные колебания упругой системы
На рис. 1.3 приведена упругая вибрационная сис
тема. Пружина представляет модель таких тел, как: бал
ка, колонна, упругое основание под фундаментом или
упругий массив.
На рис. 1.3 (а) показаны силы, действующие на
массу в момент отклонения ее от положения равнове
сия. Сила тяжести F направлена вниз, а реакция пру
жины F+КZ направлена вверх. Эта реакция включа
ет реакцию пружины в положении равновесия и до
полнительную реакцию, соответствующую отклонению
массы от положения равновесия на величину Z. Силы
трения не учитываются. Коэффициент К представляет
жесткость пружины, имеющую размерность Н/м.
По определению:
F=mg; m=
F
,
g
где m — масса тела;
246
g — ускорение силы тяжести.
\
!
!
\
Â
Ò
Ò
"
"
\
Â
#
\
Â
$
t
\
Â
%
Глава 1. Колебания и волны в горном массиве
Рис. 1.3. Свободные колебания упругой системы:
а — схема действующих сил;
б — траектория движения;
в — график расстояния от точки равновесия как
функция времени;
г — график изменения скорости со временем;
д — график изменения ускорения со временем.
По второму закону Ньютона:
F (F + ÊZ) = ma ,
где
a =
2
dZ
ускорение тела.
−
2
dt
Следовательно:
−=ÊZ
Fa
.
g
Получаем дифференциальное уравнение относи
тельно Z:
2
dZdtÊgZ
+=
2
. (4)
0
F
Начальное условие: Z =Z0 , при t = 0 (рис. 1.3 (б)).
Решение уравнения ищем в виде:
t
λ
Z =
e
где λ— постоянная;
t — время.
(5)
247
Часть 3. Расчеты динамических процессов при взрывных работах
Подставив Z в уравнение (4), получим:
Êg
tt
2
λλ
Сокращая на e
e
λ
t
λ
получаем характеристическое
e
+=
F
0
.
уравнение:
Êg
2
+=
λ
Это уравнение второй степени определяет значения
, при которых Z =
λ
t
λ
является решением уравнения (4).
e
0
. (6)
F
Получаем:
Êg
2
λ
=−
.
F
Корни уравнения:
=±i
Êg
F
.
λ
12,
Из общих формул теории функций комплексного
переменного:
t
λ
λλ
=+
cos sin
etit
.(7)
Поэтому:
=+
ZC tiC t
λλ
cos sin
12
или
ZC t
=
Начальное условие означает Z = Z0 в момент вре
мени t = 0.
Отсюда:
Следовательно:
ZZ t
248
где ω— круговая частота.
Êg
cos sin
12
+
F
iC t
Êg
.(8)
F
C1 = Z0 è Ñ2 = 0.
Êg
Zt=
cos cos
00
ω
=
F
Êg
=
F
ω
;
,
(9)
Глава 1. Колебания и волны в горном массиве
Дифференцируя Z по времени t, получим выраже
ния для скорости V и ускорения a в виде:
dZ
V
==−
a
==−
dt
2
dZ
dt
Z
Êg
sin
0
F
Êg
Z
cos
0
F
Êg
t
;(10)
F
Êg
t
. (11)
F
На рис. 1.3 (в) показан график смещения тела Z во
времени, представляющий гармоническое колебатель
ное движение. На рис. 1.3 (г) показано изменение ско
рости движения тела V во времени t. Этот график сме
щен влево на
по отношению к графику 3 (в).
2
π
На рис. 1.3 (д) показан график изменения ускоре
ния тела a во времени. Этот график смещен влево
на
по отношению к графику на рис. 1.3 (г).
2
π
Из рис. 1.3 (в) при t = T, Z = Z
0
Из выражения (9):
cos cos ;T
Êg
==12
F
Êg
T
F
= 2
π
π
.
Откуда находим период колебаний:
= 2
F
π
. (12)
Êg
T
Частоту собственных колебаний системы выразим как:
1
f
=
n
T
èëè
f
n
Êg
1
=
2
π
.(13)
F
Пример 1. Груз массой 5 кг кладется на пружину
с жесткостью 3000 Н/м и система приходит в колеба
тельное движение.
Определить: 1. Частоту
колебаний системы. 2. Скорости и ускорения для вре
и период Т собственных
f
n
мени Т/4, Т/2, ЗТ/4 и Т.
Начальные условия: а) начало координат соответ
ствует точке помещения груза на пружину; б) отсчет
249
Часть 3. Расчеты динамических процессов при взрывных работах
времени ведется с момента помещения груза на пру
жину.
Решение. 1. Расчетная схема приведена на рис. 1.3.
2. Дифференциальное уравнение движения:
2
dZdtÊgZ
+=
2
,
0
F
его решение:
Êg
ZZ t
cos cos
00
Zt=
=
F
ω
.
3.Частота собственных колебаний:
1
f
== = =
ω
n
2
π
Êg
1
F
2
ππ
Ê
1
m
2
1
⋅
2314
,
3000
5
4.Период собственных колебаний:
12
T
=== =⋅ =
π
f
ω
n
m
22314
π
Ê
5
,,.
3000
025
5.Скорость колебаний:
dZ
V
==−
dt
Ê
Z
sin
0
m
Ê
t
.
m
Из условия равновесия:
ÊZ mg Z
==
00
mg
;
.
Ê
Следовательно:
mgÊÊ
V
=−
sin sin
m
Ê
t
g
=−
m
m
t
Ê
Для моментов времени t1 = Т/4, t2 = Т/2, t3 = ЗТ/4 и
t4 = Т скорости движения груза составят соответственно:
250
=−
mÊTÊ
Vg
1
g
sin sin
4
=− ⋅
m
m
Ê
ìñ
04=−,
mÊÊ
π
2
4
m
;
=
41
c
Ê
.
m
g
=− =
ñ
.
m
Ê