Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Взрывные работы. Учебное пособие для вузов.pdf
Глава 1. Колебания и волны в горном массиве
Приложенная работа на единицу площади составит:
2
σ
Àl
== =
σσσλ
∆
EE
. (54)
λ
Эта работа равна упругой энергии, накопленной в
зоне волны и кинетической энергии частиц стержня:
22
σλσ
vEE+=
2
mV
0
, (55)
22
где vо— объем стержня единичной площади сечения
на длине волны λ;
m — масса стержня на длине волны;
V — скорость частиц стержня.
Объем
v0 = S λ=λ,
поскольку S=1 — площадь сечения стержня;
λ
ρ=ρ
,
λ
m = S
гдеρ— плотность материала стержня.
Следовательно,
22
σλ σλ
=+
EE
22
ρλ
2
V
(56)
или
2
σλ
E
22
2
V
ρλ
=
.
Отсюда:
22
σρ
= EV
;
σρ
05,
=
Å
()
и
σ
==
V
ρ
()
σρ
00,5
E
,5
−
Å
()
.
(57)
Эта формула получена при прямоугольной форме
волны (рис. 1.11(в)). Однако можно показать, что она
верна и для любой формы волны при плоском фронте
этой волны. Если фронт волны сильно искривлен (как
271
Часть 3. Расчеты динамических процессов при взрывных работах
при сферическом фронте волны вблизи места взрыва
сферического заряда), указанная формула будет непри
менима.
Используя выражение
Ft = mV , (58)
где F — сила;
t — время действия силы;
m — масса;
V — скорость.
И учитывая, что для единичной площади величина
F численно равна σ, а величина m =
0505,
σ ρλ ρλσ ρ σλ ρ
== =
tV E E
−
()
ρ
, получим:
λ
,
()
,
откуда
t =λ(ρ/E)
0,5
(59)
и
Cp = λ/ t = (Å/ρ)
0,5
, (60)
где Ср— скорость продольной волны.
Таким образом, скорость распространения упру
гой волны в стержне не зависит ни от величины на
пряжения σ, ни от продолжительности его приложе
ния t.
Соответственно, длина волны:
= Cp t = t (Å/ρ)
λ
0,5
. (61)
В случае растягивающего напряжения скорость вол
ны не изменится, а ее направление совпадает с направ
лением волны сжатия. Приведенные выше формулы по
зволяют найти выражения для других величин. Так как:
0,5
σρ
=
VE
()
,
то относительная деформация:
0,5
ρ
E
272
== = =
VVE
EE C
/
()
()
σ
ερ
V
0,5
.
p
Глава 1. Колебания и волны в горном массиве
Ускорение частиц:
a =
dV
dt
d
εσ
p
C
==⋅
p
dtCEddt
.
Смещение частиц:
C
y =
Vdt C dt
==
εσ
p
∫∫∫
p
.
dt
E
Так как сейсмограф регистрирует либо смещение,
либо ускорение, то для нахождения скорости частиц
необходимо: либо дифференцировать график смеще
ния, либо интегрировать график ускорения.
Используя графики рис. 1.11 (б) и рис. 1.11 (г) мож
но исследовать взаимодействие двух или более волн.
На рис. 1.12 (а) и 1.12 (в) мы имеем случай двух волн,
движущихся навстречу друг другу. На рис. 1.12 (б) и
1.12 (г) показано, что взаимодействие волн сводится к
их алгебраическому сложению.
После того, как волны минуют друг друга, они вновь
принимают начальную форму. Такая же закономер
ность имеет место при наложении волн, движущихся
в одном направлении.
Как было показано выше на распространение уп
ругих волн оказывают влияние модуль упругости (или
жесткость) материала и его плотность. Изменения этих
характеристик в стержне можно представить измене
нием его поперечного сечения, как показано на рис.
1.13 (а). Рассмотрим стержень с произвольной площа
дью поперечного сечения, отличной от единицы. Пусть
масса стержня на единицу длины будет m, а модуль
упругости выразим через жесткость стержня К = SE
(где S — площадь сечения стержня).
Тогда скорость перемещения частиц будет:
05
,
PSmSÊ
05
,
==⋅
VE
−
σρ
()
−
=
PmÊ
S
05
,
−
()
, (62)
где Р — сила, приложенная в концу стержня.
На переходном сечении I–I (слева от перехода)
имеет место зависимость:
V = Vi Vr = Vt ,
273
Часть 3. Расчеты динамических процессов при взрывных работах
где Vi— скорость приближающейся волны;
Vr— скорость отраженной волны;
Vt— скорость прошедшей волны.
Если материал не разрушается, результирующие
скорости частиц слева от сечения и справа от него
должны быть равны:
PP
1
0,5 0,5 0,5
mK mK mK
()()()
11 11 2 2
r
−=
p
t
,
(64)
где Pi— сила, обусловленная бегущей волной;
Pr— сила, обусловленная отраженной волной;
Pt— сила, обусловленная прошедшей через сече
ние I–I волной.
Рис. 1.12. Взаимодействие упругих волн:
а — график волн напряжений до взаимодействия;
б — график волн напряжений при взаимодействии;
в — график скоростей до взаимодействия;
г — график скоростей при взаимодействии.
Схема расположения сил относительно сечения I–I
приведена на рис. 1.13 (б). Предполагается, что волна
имеет форму прямоугольника и скорость в сечении
волны постоянна, т. е. ускорение в волне отсутствует и
сумма сил поэтому равна нулю.
Уравнение для сил имеет вид:
274
Pi + Pr Pt = 0. (65)
Глава 1. Колебания и волны в горном массиве
Рис. 1.13. Влияние границ раздела
на поведение упругих волн:
а — расчетная схема;
б — схема сил;
в — образование страженной
волны.
При этом направление силы Pr принимается поло
жительным (оно неизвестно и определяется в каждом
отдельном случае). Из выражения (64) и (65) находим:
Следовательно,
Полагая:
получим
Pr = Pt P
−+
PPP P
iti t
0,5 0,5
mK m K
()()
11 2 2
2
PP P
it t
=+
0,5 0,5 0,5
mK mK mK
()()()
11 11 22
2
P
t
mK mK mK
()
11 11 22
2
PP
it
mK m K
()( )
=
P
t
0,5 0,5 0,5
()( )
mK m K
()( )
11 2 2
=
mÊ
()
=
n
mÊ
()
=+
21PP n
it
i
=
11 2 2
0,5 0,5
mK
()
22
11
22
;
0,5 0,5
+
⋅
+
0,5
0
,
0,5,5
()
;
;
.
275
Часть 3. Расчеты динамических процессов при взрывных работах
или
P
P
2
=
t
()
+
1
t
, (66)
n
но
или
Pt = Pi + P
21P
t
()
+
n
r
=+
PP
ir
.
Откуда:
P
2
i
=
P
r
()
−+
21
PnPnPn
iii
=
P
r
()
+
1
=
PP
ri
−
P
()
+
1
i
n
()
21
=
()
()
−
1
n
.
()
+
1
n
;
−−
+
1
;
n
(67)
Принимая во внимание, что
mSKESC E
;
ρρ
== =
è /
p
0,5
()
и что изменение сечения стержня соответствует изме
нению массы и жесткости К (условно приняв S =
const), получим
0
()
11
==
n
mÊ
()
22
ρ
0
,5
ρ
22
,5
mÊ
SE S
11
SE S
0
,5 ,5
ρ
11
=
ρ
22
0
E
.
E
Поскольку
0,5 0,5
EC
111
0,5 0,5
EC
222
ρ
=
=
;
p
ρ
,
p
следовательно,
то есть
276
,
05
C
ρ
1
n
=
ρ
2
C
n
=
C
ρ
p
11
⋅
p
11
p
22
ρ
ρ
,
C
ρ
p
22
. (68)
Глава 1. Колебания и волны в горном массиве
Порода А Порода В
I
Рис. 1.14. Расчетная схема
r
Произведение ρСр называется характеристичес
ким импедансом.
Уравнение для прошедшего
σ
и отраженного
t
σ
напряжения в соответствии с выражениями (66) и (67)
может быть записано в виде:
σ
2
i
=
σ
t
=
σ
σ
r
;
()
+
1
n
()
−
1
n
i
.(70)
()
+
1
n
(69)
Пример 1. Продольная волна, проходящая через
породу А со скоростью 4880 м/с и напряжением 70 мПа
сталкивается под прямым углом с породой В, скорость
продольной волны в которой 3660 м/с. Плотность по
роды А — 2900 кг/м3, а породы В — 2600 кг/м3.
Определить напряжения в отраженной и прошед
шей волнах.
Решение. 1. Расчетная схема дана на рис. 1.14.
2. По формуле (68) находим значение:
r
C
ρ
4880 2900
p
11
C
p
22
=
ρ
n
=
⋅
3660 2600
⋅
= ,
1 487
.
3.По формуле (69) напряжение в прошедшей волне:
σ
2
i
=
σ
t
= 2.70/ (1+1,487) = 56,3 ìÏà.
()
+
1
n
4. По формуле (70) напряжение в отраженной волне:
()
−
1
σ
i
()
+
1
n
= 70 (11,487) / ( 1+1,487) = 13,7 ìÏà .
n
=
σ
r
277
Часть 3. Расчеты динамических процессов при взрывных работах
В отраженной волне имеет место растягивающее
напряжение.
Из уравнений (69) и (70) можно сделать следую
щие выводы:
1. Длина отраженной волны λ= t Cp илиλ = t ( E /ρ )
0,5
должна быть такой же, как и бегущей; длина прошедшей
волны будет отличной от длины бегущей волны.
2. При n > 1 отраженная волна будет отрицатель
ной, т. е. с растягивающим напряжением. Проходящая
волна всегда сжимающая.
При n < 1 отраженная волна будет сжимающей.
При n =∞ отраженная волна по величине равна бегу
щей, но противоположна по знаку. Это означает, что
когда бегущая волна сжимающая доходит до конца
стержня, она отражается как растягивающая с той же
амплитудой.
Указанные выводы можно подтвердить экспери
ментом. Возьмем стержень из хрупкого материала и
ударим по его торцу или взрывом вызовем сжимаю
щее напряжение, меньшее прочности на сжатие. От
другого конца волна отразится как растягивающая и,
если напряжение в ней примерно на 10 % выше проч
ности стержня на растяжение, в стержне появится
разрыв, как показано на рис. 1.13 (в). Это поясняет по
явление отслоений обнажений пород в выработках при
взрывных работах.
Рассмотрим действие страженной волны напря
жений в стержне. Опыт показывает, что удар по од
ному концу стержня может привести к откалыванию
части стержня на другом его конце, как это показано
на рис. 1.15.
При плоском фронте волны напряжений длина
отколовшейся части FB стержня может быть определе
на из следующих соотношений (рис. 1.15):
278
откуда
FB = MÊ / 2
σ
Td
MÊ AJTdFB
0
==
AJ
FB =
2
σ
2
.
0
,
Глава 1. Колебания и волны в горном массиве
Рис. 15. Откол
породы
отраженной
волной в
стержне
Здесь АJ — длина волны;
τσ
жне от удара;
ной волны; Бр— прочность стержня на растяжение.
0
≈−
, напряжение на фронте отражен
o
t
σ
— напряжение в стер
i
Число отколовшихся кусков n получаем из соотношения:
σσ
=
.
0 p
Отсюда:
σ
0
=
n
.
σ
p
(71)
Пример 2. По торцу стержня из горной породы нано
сится удар молотком в условиях, приведенных в табл. 1.1.
Таблица 1.1
Площадь поперечног о сечения стержн я, см 2 10
Прочно сть сте ржня н а растя жение, МПа 6. 0
Масса молотка, кг 2, 0
Скорость удара, м/с 10
Продолжительн ость удара, с 0, 001
К. п. д. удара 0, 8
Скорость прод ольной волн ы в стержне, м/с 3000
Установить:
1. Произойдет ли отрыв части стержня на проти
воположном удару конце?
2. Если да, то какова длина оторвавшейся части?
3.Сколько частей оторвется от стержня?
Решение: 1. Расчетная схема приведена на рис. 1.16.
2. Силу удара находим из выражения:
mV = Ft,
где m — масса молотка, кг;
V — скорость удара, м/с;
F — сила удара, Н;
t — продолжительность удара, с.
279
Часть 3. Расчеты динамических процессов при взрывных работах
Откуда:
210
⋅
20000
F = mV / t =
Рис. 1.16. Расчетная схема
0 001
,
=
3. Напряжение в стержне от удара:
F
η
=
=
σ
i
S
⋅
20000 0 8
0 001
,
,
=
16
где F — сила удара;
η
— КПД удара;
S — площадь сечения стержня, м2 ;
Так как
> 6 , то часть стержня оторвется.
σ
i
4. Длина оторвавшейся части стержня:
λσ
p
,
=
σ
2
i
где
∆l
— длина упругой волны в стержне, м;
λ
— прочность стержня на растяжение, мПа;
σ
p
— напряжение от удара, мПа.
σ
i
5. Длина упругой волны:
H
ìÏà ,
.
= Cp t ,
λ
где Cp— скорость упругой волны в стержне, м/с;
t — время удара, с;
= 3000
λ
⋅ 0 001,
= 3 ì.
Следовательно:
⋅
36
280
∆l =
⋅
216
= 0,56 ì.