Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Взрывные работы. Учебное пособие для вузов.pdf
Глава 1. Колебания и волны в горном массиве
Приведенное решение содержит две части. Пер
вая часть такая же как (9) и отражает движение массы
на пружине. Вторая часть представляет непрерывное
движение под действием приложенной силы Р:
1
−
2
F
ω
−
Êg
. (32)
t1
ω
cos
Z2 =
P
Ê
Частота колебаний при этом движении соответству
ет частоте изменения приложенной силы. График за
висимости полного смещения Z от времени для рас
смотренного случая приведен на рис. 1.7 (б). Из урав
нения (32) следует, что наибольшее смещение
соответствует максимальному статическому приложе
нию силы Р0, деленному на жесткость пружины К и
ω
умноженному на выражение
1
−
F
2
Êg
1
−
. Это выра
жение называется коэффициентом усиления (дина
мичности). Его можно представить в виде:
1
−
2
f
, (33)
f
n
где
f
1
=
fÊgF
()
n
2
=
ωπ
Ì
=−
1
— частота приложения внешней
2
силы;
05π,
— частота собственных колебаний
системы.
Зависимость коэффициента усиления М от отно
шения f / fn приведена на рис. 1.8. По мере того, как
f / fn приближается к единице, значение М (при отсут
ствии демпфирования) приближается к бесконечнос
ти (явление резонанса). При f / fn > 1 коэффициент
усиления становится отрицательным, что соответству
ет движению массы в направлении, противополож
ном действию силы.
При приближении f / fn к бесконечности, т.е. когда
частота приложения внешней силы становится очень
большой относительно частоты собственных колебаний
сооружения, величина смещения становится близкой к
нулю. Другими словами, тело не успевает сместиться до
того, как направление действия силы изменится.
На рис. 1.8 показано семейство значений коэффи
циента усиления для различных значений отношения
постоянной демпфирования С к его критическому зна
261
Часть 3. Расчеты динамических процессов при взрывных работах
Рис. 1.8. Усиление колебаний
упругой системы
чению Сc=2
. Как видно из рис. 1.8, даже при
ÊF g
резонансе коэффициент усиления М может иметь от
носительно низкие значения.
Пример. 1. Масса загруженного товарного вагона
без ходовой части 90 т. Осадка рессор 0,1 м. Длина
рельса 18 м. При какой скорости движения поезда
возникает резонанс колебаний подвижного состава?
Решение. 1. Расчетная схема приведена на рис. 1.9.
2. Условие резонанса колебаний: Tc = Tв,
где: Тс— период собственных колебаний системы, с;
Тв— период вынужденных колебаний системы, с.
3. Период собственных колебаний системы:
m
π
Tc = 2
;
Ê = mg/h,
Ê
где: m — масса вагона, кг;
К — жесткость рессор, Н/м;
Рис. 9. Расчетная схема:
m— масса вагона;
h— осадка рессор;
262
К— жесткость рессор.
Глава 1. Колебания и волны в горном массиве
g — ускорение силы тяжести, м/с2;
h — осадка рессор, м.
Следовательно:
T
c
m
==22
ππ
Ê
h
.
g
4. Период вынужденных колебаний системы: Тв = l /V
где: l — длина рельса, м;
V — скорость движения поезда, м/с.
5. Из условия возникновения резонанса колебаний
имеем:
hgl
2
π
=
.
V
Откуда:
l
V
=
.
h
2
π
g
В нашем случае:
V ìñ=
18
⋅
2314
,
==
28 7 103 2
01
10
,,
,
Проанализированные выше механические систе
мы являются моделями не только для сооружений,
оборудования и горных массивов, но являются осно
вой конструирования измерительных приборов.
На рис. 1.10 приведена упрощенная схема сейс
мографа. Масса поддерживается вертикально на пру
жинах и удерживается горизонтальной пружиной.
Рис. 1.10. Схема
сейсмографа
263
Часть 3. Расчеты динамических процессов при взрывных работах
Когда этот прибор используется как сейсмограф,
масса m должна быть достаточно большой, а основание
прибора должно быть закреплено в породном массиве.
Как показано ниже, этот прибор может быть использо
ван и для замера ускорений смещения массива.
В случае вертикального смещения основания база
прибора смещается по закону
y = y0sinωt, (34)
совершая гармонические колебания, вызванные зем
летрясением или взрывом. Пусть смещение массы
прибора будет Z. Относительное смещение массы и
базы изза разгрузки (удлинения) пружин будет Z–y.
Уравнение движения представится в виде:
или
2
−+− = =⋅
FFZyÊm
()
[]
2
dZ
F
2
dt
dZdtFgdZ
2
ÊgZ Êgy
+=
2
2
dt
.
(35)
Представим (35) в виде:
2
dZdtÊg
+=
2
Êg
Z
F
y
F
или
2
Êg
dZ
+=
2
dt
F
Z
Êgy t
ω
sin
0
F
. (36)
Решение дифференциального уравнения (36) ищем
в виде:
Z = Z1 + Z2,
где Z1— общее решение однородного уравнения:
2
Êg
dZ
+=
2
F
dt
, (37)
Z
0
Z2— частное решение неоднородного уравнения
264
(36).
Глава 1. Колебания и волны в горном массиве
Характеристическое уравнение для (37) имеет вид:
Êg
2
+=
λ
0
.
F
Отсюда общее решение (38):
Z1 = C1 cosλt + C2 sinλt
или
Z1 = C1 cos
Êg
t
F
+ C2 sin
Êg
t
. (38)
F
Частное решение неоднородного уравнения (36)
ищем в виде:
=+
ZA tA t
21 2
ωω
cos sin
. (39)
Продифференцируем дважды это выражение по t:
/
=− +
ZA tA t
ωω ω ω
21 2
//
sin cos
2
12
−−=
2
; (40)
2
. (41)
tAtAZ
sincos
ωωωω
Подставив (40) и (41) в (36), получим:
2
1
2
2
Êg
()
tAtA
F
21
Êgy
0
=++−−
tAtA
F
Уравнение (42) справедливо для любого t, если
равны коэффициенты при sin
ω
t и
. Приравняем
cosωt
соответствующие коэффициенты:
sin sin
ωω ω
tA
cos
ωω
Êg
2
2
tA
1
F
2
Êgy
A
2
Êg
F
0
=
F
A−+
1
t−+
; (43)
.
=
0
Из уравнение (44) — А = 0.
Из уравнения (43) получаем:
Êgy
A
−+
2
Êg
ω
F
2
0
=
F
. (42)
t
sinsincossincos
ωωωωωωω
(44)
265
Часть 3. Расчеты динамических процессов при взрывных работах
Отсюда:
Êgy
A
=
2
F
0
Êg
2
−
ω
F
=
Êg F
Êgy
−
0
2
ω
и
Êgy
Êg F
−
0
ω
t
ω
sin
.
2
(45)
Z
=
2
В итоге получаем общее решение уравнения (36) как
сумму общего решения однородного уравнения () и
частного решения неоднородного уравнения (45) в виде:
Êg
ZC t
cos sin sin
12
+
F
Êg
Ct
F
+
Êg F
Êgy
−
0
ω
t=
ω
.
2
(46)
Решение (46) представляет собой сумму двух коле
бательных движений:
1) собственных колебаний системы с частотой
ω
Êg
1
f
==
n
22
π
n
F
;
π
2) вынужденных колебаний под действием внешней
ω
=
силы с частотой
f
и амплитудой колебаний базы y0.
π
2
Найдем амплитуду Z00 вынужденных колебаний
системы относительно начального положения массы m.
Неоднородную часть уравнения (46) можно пред
ставить в виде:
Z = Z00sinωt. (47)
Откуда:
Êgy
0
=
Z
00
.
2
−
FÊg
ω
Представим (47а) в виде:
Êg
y
0
F
=
266
Z
00
Êg
. (47á)
2
−
ω
F
(47à)
Глава 1. Колебания и волны в горном массиве
Так как:
Kg
=
ω
,
n
то
Введя частоты прибора fn и почвы f вместо
F
2
ω
n
=
00
Z
=
00
yZ
.
0
22
−
ωω
n
ω
и ω получим:
2
f
n
y
0
22
ff
−
n
n
(48)
или
y
=
Z
00
0
()
−
1
ff
n
.
2
(49)
Поскольку прибор реально измеряет смещение
массы относительно базы, амплитуда этого смещения
равна:
Z0 = Z00 y
.
0
(50)
С учетом (49) получим:
2
()
n
2
ff
()
n
y
=
Z
0
0
−=
−
11
2
ff
()
n
y
0
yff
0
−
или
y
=
Z
0
0
.
2
ff
()
−
1
n
(51)
При достаточно большой частоте колебаний базы f > fn,
( fn / f < 1) выражение для Z0 будет < 0. Т. е. смещение
массы m в этом случае отстает от смещения базы и их
относительное смещение будет отрицательной величиной.
При частотах
Z
y0, т. е. измеренная прибором амплитуда практи
→
0
>> →
ffff
,
()
nn
2
. Поэтому из (51)
0
чески равна амплитуде колебаний почвы.
Таким образом, если прибор используется как сей
смограф, он записывает смещение почвы. Масса при
бора m должна быть значительной, а частота его соб
ственных колебаний fn— низкой (прибор должен быть
с мягкими пружинами).
Прибором подобной конструкции можно замерить
также ускорение движения почвы.
267
Часть 3. Расчеты динамических процессов при взрывных работах
При смещении базы по указанному выше закону:
=
yy t
,
ω
sin
0
ускорение почвы
2
yd
a
2
dt
2
−==
0
tsiny
ωω
,
амплитуда ускорения
2
ay
00
.
=
ω
Следовательно, замеряя амплитуду y0 и частоту
колебаний почвы
f
=
, можно определить ускоре
2
ωπ
ние движения почвы. В этом случае прибор должен
иметь жесткие пружины.
Пример 2. Сейсмограф имеет частоту собственных
колебаний 20 Герц. Покажите расчетом, в каком слу
чае прибор будет замерять смещение почвы:
а) частота колебаний почвы находится в пределах
от 2 до 5 Герц;
б) частота колебаний почвы находится в пределах
от 100 до 200 Герц.
Решение.
1. Амплитуда смещения массы прибора относитель
но базы по формуле (51) равна:
y
=
Z
0
0
,
2
−
ff
()
n
1
где: y0— амплитуда смещения базы (почвы);
fn— частота собственных колебаний прибора;
f — частота колебаний базы (почвы).
2. Возьмем для анализа частоты колебаний базы
(почвы) f1 =2 Гц и f2 =100 Гц.
Соответственно получим смещения массы прибора:
yy
0
=
Z
01
20 2 1
()
y
=
Z
02
0
20 100 1
()
2
−
2
−
0
=− ≈
99
25
=− ≈−
24
Следовательно, во втором случае прибор будет
замерять амплитуду смещения почвы.
268
y
001
,
0
yy
00
Глава 1. Колебания и волны в горном массиве
1.2. Волны
Основные понятия
Волновым движением (волнами) называют распро
странение колебаний в среде. Волны, в которых коле
бания частиц среды происходит перпендикулярно к
направлению распространения волны, называют по
перечными. Поперечные волны возможны только в том
случае, когда изменение формы сопровождается появ
лением упругих возвращающих сил. Поскольку этим
свойством обладают только твердые вещества и повер
хность жидкости, поперечные волны могут возникать
только в твердых телах и на поверхности жидкостей.
Волны, в которых колебания частиц происходят по
прямой, вдоль которой распространяется волна, назы
вают продольными. Сдвиг частиц в этой волне проис
ходит по линии, соединяющей их центры, т. е. вызыва
ет изменение объема. Поскольку возвращающие силы
при изменении объема возникают не только в твердых
телах и жидкостях, но и в газах, продольные волны
возможны в твердых телах, жидкостях и газах.
Непрерывное геометрическое место точек волны,
колеблющихся в одинаковых фазах, называют волно
вой поверхностью. Переднюю волновую поверхность,
т. е. наиболее удаленную от источника, создающего
волны, называют фронтом волны.
Линию, вдоль которой происходит распростране
ние фронта волны, называют лучом. Перемещение
волновой поверхности за один период колебания на
зывают длиной волны. Для поперечных волн длиной
волны является кратчайшее расстояние между двумя
ближайшими выпуклостями, или впадинами.
Для продольных волн длиной волны служит крат
чайшее расстояние между центрами двух соседних
сгущений или разрежений.
Упругие волны
Исследуем действие кратковременного приложения
напряжения на конце стержня единичной площади сече
ния, как показано на рис. 1.11 (а). Результатом приложе
ния напряжения в течение короткого отрезка времени t
269
Часть 3. Расчеты динамических процессов при взрывных работах
Рис. 1.11. Характеристики упругой волны:
а — образование волны; б — длина волны;
в — график напряжения; г — график скорости.
является создание напряженияσ и сжатие конца стерж
ня. Весь стержень не будет сжат (как это имеет место при
статической нагрузке), так как время, необходимое для
деформации всего стержня, больше времени t .
Кроме сжатия некоторой зоны стержня, где при
ложено напряжение, частицам стержня в этой зоне
будет сообщена некоторая скорость. Эта зона будет
воздействовать на соседнюю вдоль стержня зону, вы
зывая в ней напряжение и скорость частиц. Таким
образом, волна напряжения или волна скорости будет
передаваться вдоль стержня. Длина этой волны:
λ
= Ñt
, (52)
p
где: Ср— скорость распространения фронта волны в
стержне;
t — продолжительность приложения напряжения
на конец стержня.
Рассмотрим механику одномерного распростра
нения волн.
Для установления динамики процесса рассмотрим
энергетические зависимости.
Деформация стержня единичной площади попереч
ного сечения в результате сжатия зоны длинойλ равна:
σ
∆lE=
λ
, (53)
где
270
— напряжение;
σ
Е — модуль упругости Юнга.